TUGAS PERTEMUAN 1 GEOMETRI TRANSFORMASI
Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi yang diampu oleh Dr. Tina Sri Sumartini, M.Pd.
Disusun Oleh :
DISUSUN OLEH:
ASTRI NUR ANGGRAENI 20516001
ATIN SUPARTINI 20516002
KELAS 3A
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS ILMU TERAPAN DAN SAINS
INSTITUT PENDIDIKAN INDONESIA GARUT
2023
Tugas Pertemuan 1
Buktikan:
1. Ketiga garis berat dalam setiap segitiga melalui satu titik.
2. Ketiga garis tinggi dalam setiap segitiga melalui satu titik.
Penyelesaian:
1. Garis berat yaitu suatu garis yang menghubungkan sebuah titik sudut ke titik tengah dari sisi yang berhadapan, sehingga membagi sisi tersebut menjadi dua bagian yang sama panjang.
Perhatikan gambar ∆DEF berikut:
Apabila EG adalah garis berat sudut DEF maka sisi dihadapannya terbagi menjadi dua bagian yang sama panjang yaitu FG = GD
Apabila FH adalah garis berat sudut DFE maka sisi dihadapannya terbagi menjadi dua bagian yang sama panjang yaitu DH = HE
Apabila DI adalah garis berat sudut EDF maka sisi dihadapannya terbagi menjadi dua bagian yang sama panjang yaitu ED = DF
Andaikan EG, FH, dan DI berpotongan di titik O.
Berdasarkan gambar ∆DEF di atas, dapat terlihat bahwa masing-masing garis berat terhadap titik O memiliki perbandingan 2:1 yaitu
EO OG=2
1=2:1 FO
OH=2 1=2:1 DO
OI =2 1=2 :1
Titik O letaknya sama jauh dari tiap garis berat dengan perbandingan yang sama sebesar 2:1. Maka dari itu titik O berada pada ketiga garis berat ∆DEF.
Jadi terbukti ketiga garis berat dalam setiap segitiga melalui satu titik.
2. Garis tinggi yaitu garis yang melalui sebuah titik sudut segitiga dan tegak lurus pada sisi yang berhadapan dengan titik sudut tersebut.
Perhatikan gambar ∆ABC berikut:
D
G
I H
E F
Apabila AD adalah garis tinggi sudut CAB maka AD tegak lurus dengan sisi BC, dan sudut ADC membentuk sudut siku-siku.
Apabila CE adalah garis tinggi sudut ACB maka CE tegak lurus dengan AB.
Andaikan AD dan CE berpotongan di titik X.
Titik X merupakan titik potong antara garis tinggi AD dan CE. Jika titik sudut B ditarik garis secara tegak lurus ke AC maka garis tinggi untuk sudut ABC akan berpotongan dengan garis tinggi yang lain di X.
Jadi terbukti bahwa ketiga garis tinggi dalam setiap segitiga melalui satu titik.
Tugas Pertemuan 2
1. Andaikan g dan h dua garis yang sejajar pada bidang Euclides V. A sebuah titik yang terletak di tengah antara g dan h. Sebuah T padanan dengan daerah asal g yang didefinisikan: Apabila P∈g maka P'=T(P)= ´PA ∩h .
a. Apakah daerah nilai T?
b. Apabila D∈g , E∈g , D ≠ E , buktikan bahwa
D'E'=DE:D'=T(D), E'=T(E) ? c. Apakah T injektif?
2. Diketahui tiga titik A, R, S yang berlainan dan tidak segaris. Ada padanan T yang didefinisikan: T(A) = A, T(P) = P' sehinggga P titik tengah AP´ ' . a. Lukislah R'=T(R)
b. Lukislah Z sehingga T(Z) = S c. Apakah T suatu transformasi?
3. Diketahui P(0,0), C1 =
{
(x , y)∨x2+y2=1}
,C2={
(x , y)∨x2+y2=25}
T:C1→ C2 adalah suatu padanan yang didefinisikan: Bila x∈C1makaT(X)=X'= ´PX ∩C2
a. Apabila A = (0,1) tentukan T(A) b. Tentukan prapeta dari B (4,3)
c. Apabila Z sebarang titik daerah pada daerah asal T, tentukan jarak ZZ', dengan Z'=T(Z)
Penyelesaian:
1. Garis g dan h dapat digambarkan sebagai berikut (h sejajar dengan g).
E
A
C
B D
X
Titik P diletakan pada garis g. Titik A diposisikan di tengah-tengah antara kedua garis itu.
Tarik garis lurus yang melalui titik A dan P, sehingga nantinya garis tersebut memotong garis h. Titik potongnya adalah P'=T(P) dan merupakan daerah nilai (range) T.
a. Apakah daerah nilai T?
Jawab:
Daerah nilai T adalah garis h.
b. Apabila D∈g , E∈g , D ≠ E , buktikan bahwa D'E'=DE:D'=T(D), E'=T(E)
? Jawab:
Dari segitiga ADE dan A D'E' diketahui ∠DAE=∠D'A E' karena sudutnya bertolak belakang dan DA = AD' serta EA= AE' (sebab A berada di tengah-tengah garis g dan h).
Berdasarkan teorema kekongruenan segitiga dapat dikatakan bahwa kedua segitiga ini kongruen (sisi-sudut-sisi).
Oleh karena itu, haruslah D'E'=DE (terbukti).
c. Apakah T injektif?
Ambil dua titik X dan Y pada g, dengan X ≠Y . Akan ditunjukan bahwa T(X) ≠ T(Y) dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan T(X) = T(Y).
Perhatikan bahwa T(X) = XA ∩ H´ dan T(Y) = YA ∩ H .´ Dalam hal ini, XA´ dan YA´ memiliki dua titik sekutu (titik potong), yaitu titik A dan T(X) = T(Y) (dari pengandaian). Ini berarti, garis XA´ berhimpit dengan garis YA ,´ sehingga haruslah X=Y. Hal ini menghasilkan kontradiksi, sebab para redaksi awal telah dikatakan bahwa X ≠Y . Jadi, pengandaian diingkari. Dengan demikian, T(X) ≠ T(Y) dan dapat disimpulkan bahwa T injektif (terbukti).
2. Jawaban a) dan b).
c). Untuk membuktikan bahwa T transformasi, harus dibuktikan bahwa T surjektif dan injektif.
(1). T surjektif jika ∀Y∈V terdapat prapeta X sehingga Y= T(X). Jika Y = A, maka prapetanya adalah A sendiri, karena T(A) = A. Apabila Y ≠ 1A, maka terdapat X tunggal dengan Y ∈ AY´ sehingga AX = AY. Didapat X titik tengah AY´ . Artinya, Y=T(X). Dapat disimpulkan bahwa untuk setiap Y ∈ V terdapat prapeta X sehingga Y = T(X). Jadi, T surjektif.
(2). T injektif
Ambil titik P, Q ≠ A, P ≠ Q, P, Q, A tidak segaris (kolinear). Andaikan T(P) = T(Q). Oleh karena T(P) ∈ AP´ dan T(Q) ∈ AQ ,´ maka dalam hal ini dan AP´ dan AQ´ memiliki dua titik sekutu, yaitu A dan T(P) = T(Q). Ini berarti kedua garis itu berimpit, sehingga berusaha Q ∈ AP´ . Dengan kata lain, P, Q, A segaris dan ini jelas kontradiktif dengan redaksi awal. Pengandaian salah dan harus diingkari. Jadi, T(P) ≠ T(Q). Berarti, T injektif. Berdasarkan (1) dan (2), T adalah suatu transformasi.
3. Penyelesaian:
a. Apabila A = (0,1) tentukan T(A)
Posisikan titik A (0,1) pada koordinat Kartesius. Titik A terletak pada lingkaran C1 . Tarik garis yang melalui titik A dan P sedemikian sehingga memotong lingkaran C2 di (0,5) yang tepat pada sumbu Y. Jadi, T(A) = (0,5).
b. Tentukan prapeta dari B (4,3) Ket: P = (0,0) B = (4,3) sQ = (4,0)
Perhatikan segitiga APC dan PQB. Kedua segitiga ini sebangun sehingga berlaku
PC PQ=PA
PB=AC BQ PC
PQ=PA
PB⟺PC 4 =1
5 PC = 4
5 , AC BQ=PA
PB ⟺AC
3 =1 5
AC = 3 5
Jadi, prapeta B adalah A =
(
45,3 5)
.c. Apabila Z sebarang titik daerah pada daerah asal T, tentukan jarak ZZ', dengan Z'=T(Z)
Jawab:
Misalkan Z berada pada C1 dan Z' berada pada C2 sedemikian sehingga Z'=T(Z). Karena PZ = 1 (jari-jari lingkaran kecil 1) dan PZ'=5 (jari-jari lingkaran besar 5), maka jarak Z Z' adalah
