Geometri pada Bidang VEKTOR

12  32  Download (1)

Teks penuh

(1)

G

EOMETRI PADA

B

IDANG

:

V

EKTOR

A. Kurva Bidang: Representasi Parametrik

Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parametrik:

( )

xf t , yf t( ) t dalam interval I

dengan f dan g kontinu pada interval I.

Secara umum, kurva dengan persamaan parametrik di atas mempunyai titik awal

( ( ), ( ))f a g a dan titik akhir ( ( ), ( ))f b g b dengan a t b.

Untuk mengenali suatu kurva jika diketahui persamaan parametriknya, hal yang dapat dilakukan adalah dengan mengeliminasi parameternya. Perhatikan contoh berikut.

>> Contoh 1

Kurva apakah yang dinyatakan oleh persamaan parametrik berikut

2 2

x t t , y t 3 a t b

Jawab:

3 3

y tt y

2 2 2

2 ( 3) 2( 3) 8 15

x  t t y  y yy

Persamaan 2

8 15

xyy merupakan persamaan parabola dengan titik puncak ( 1, 4)  dan terbuka ke kanan.

>> Contoh 2

Kurva apakah yang dinyatakan oleh persamaan parametrik berikut cos

xt , ysint 0 t 2 Jawab:

Perhatikan bahwa

2 2 2 2

cos sin 1

xytt Jadi, titik ( , )x y bergerak pada lingkaran satuan x2 y2 1.

Perhatikan pula bahwa parameter t dapat ditafsirkan sebagai sudut (dalam radian). Bila t

bergerak dari 0 ke 2 , titik ( , ) (cos ,sin )x yt t bergerak sekali mengelilingi lingkaran dengan arah yang berlawanan arah jarum jam dan mulai dari titik (1, 0).

Teorema 1

Misalkan f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan secara kontinu dengan f t'( )0 pada

a t b. Maka, persamaan parametrik

( )

xf t , yf t( )

dapat didefinisikan dengan y sebagai suatu fungsi yang terdiferensialkan terhadap x, dan

/ /

(2)

>> Contoh 3

Tentukan turunan pertama dari fungsi yang memiliki persamaan parametrik: 5cos

B. Vektor pada Bidang: Pendekatan Secara Geometri

Vektor dapat dinyatakan secara geometri sebagai ruas garis terarah atau anak panah pada ruang berdimensi n. Arah anak panah menunjukkan arah vektor, sementara panjang anak panah menggambarkan besarannya. Ekor anak panah disebut titik awal, dan ujung anak panah disebut titik akhir. Secara simbolis, vektor dinyatakan dengan huruf kecil tebal (misalnya a, b, v, w) atau dengan huruf kecil yang disertai setengah anak anah pada bagian

Penjumlahan vektor dengan hukum jajargenjang:

Jika v dan w adalah vektor dimensi-dua sehingga posisi dari titik-titik awal mereka seletak, maka kedua vektor tersebut membentuk sisi yang berdekatan dari suatu jajargenjang, dan jumlah v + w adalah vektor yang diwakili oleh anak panah dari titik awal v dan w menuju titik yang ada di seberangnya.

Penjumlahan vektor dengan hukum segitiga:

Jika v dan w adalah vektor dimensi-dua sehingga titik awal w merupakan titik akhir v, maka jumlah v + w adalah vektor yang diwakili oleh anak panah dari titik awal v

(3)

>> Contoh 5

a) b)

C. Vektor pada Bidang: Pendekatan Secara Aljabar

Vektor dimensi-dua adalah pasangan terurut bilangan riil a = a a1, 2 . Bilangan a1 dan a2 merupakan komponen-komponen dari a.

C.1

Diberikan titik P( , )x y1 1 dan Q( ,x y2 2) vektor a dengan representasi PQ 

adalah:

a = x2x y1, 2y1

>> Contoh 6

Carilah vektor yang dinyatakan oleh ruas garis lurus dengan titik awal A(2, 3) dan B( 2,1) . Jawab:

a = AB =  2 2,1 ( 3)  = 4, 4

C.2 Panjang Vektor

Panjang vektor dimensi-dua a = a a1, 2 adalah:

|a| = a12a22

C.3

Vektor nol (dalam hal ini vektor nol dimensi-dua 0 = 0, 0 ) merupakan satu-satunya vektor yang panjangnya nol. Selain itu, vektor ini juga merupakan satu-satunya vektor yang tidak memiliki arah yang tertentu.

Jika a adalah vektor taknol sebarang, maka a adalah bentuk negatif dari a yang didefinisikan sebagai vektor yang besarnya sama dengan a, tetapi memiliki arah yang berlawanan.

C.4 Penjumlahan Vektor

Jika a = a a1, 2 dan b = b b1, 2 , maka:

a + b = a1b a1, 2b2

C.5 Perkalian Vektor dengan Skalar Jika c adalah skalar dan a = a a1, 2 , maka:

(4)

C.6 Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1.

Jika a adalah vektor dimensi-dua taknol sebarang dengan a = a a1, 2 , maka:

𝒖= 𝒂 |𝒂|

C.7 Vektor Basis Baku

Vektor basis baku dimensi-dua adalah:

i = 1, 0 dan j = 0,1

Vektor basis baku memiliki panjang sama dengan 1.

Sebarang vektor a = dapat dinyatakan secara unik dalam bentuk i dan j, yaitu:

a = a a1, 2 = a1 1,0 a2 0,1 = a1 i + a2 j

Teorema 2 Sifat-Sifat Vektor

Jika a, b, dan c adalah vektor di Vn, dan d serta e adalah skalar, maka: 1) a + b = b + a 5) d (a + b) = da + d b

2) a + (b + c) = (a + b) + c 6) (d + e) a = d a + e a

3) a + 0 = a 7) (de) a = d (ea)

4) a + (–a) = 0 8) 1 a = a

>> Contoh 7

Jika a = 2i– 3j dan b = i + 5j, carilah |a|, ab, dan 3a + 4b. Jawab:

|a| = 22 ( 3)2  4 9  13

ab = (2 – 1) i + (–3 – 5) j = i + (–8) j = i– 8j

3a + 4b.= 3(2i– 3j) + 4(i + 5j) = (6i– 9j) + (4i + 20j) = (6 + 4) i + (–9 + 20) j = 10i + 11j

C.8 Hasil Kali Titik (Dot Product) Jika a = a a1, 2 dan b = b b1, 2 , maka:

ab = a b1 1a b2 2

Hasil dari hasil kali titik ini bukanlah vektor, melainkan berupa bilangan riil, yakni skalar. Oleh karena itu, hasil kali titik kadang-kadang disebut hasil kali skalar atau hasil kali dalam.

Teorema 3 Sifat Hasil Kali Titik

Jika a, b, dan c adalah vektor di Vn, dan d adalah skalar, maka:

1) aa = |a|2 4) (ca)  b = c (ab) = a  (c b)

2) ab = ba 5) 0a = 0

3) a  (b + c) = ab + ac

(5)

Teorema 4

Jika 𝜃 adalah sudut antara vektor a dan b, maka:

ab = |a| |b| cos 𝜃 Akibatnya,

cos𝜃 = 𝒂𝒃 𝒂 |𝒃| dengan syarat a dan b bukanlah vektor nol.

Teorema 5

Misalkan a dan b adalah vektor-vektor taknol pada Vn.

0 < 𝜃< 𝜋

2 jika dan hanya jika ab > 0.

𝜋

2 <𝜃 <𝜋 jika dan hanya jika ab < 0.

𝜃 =𝜋

2 jika dan hanya jika ab = 0. Dengan kata lain, a dan b ortogonal.

>> Contoh 8

Jika vektor a dan b mempunyai panjang 4 dan 6, serta sudut kedua vektor tersebut adalah / 6

 , carilah ab. Jawab:

ab = 4 6 cos 6

  = 4 6 1 3

2

  = 12 3

D. Fungsi (Bernilai) Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva

Fungsi (bernilai) vektor adalah fungsi yang daerah asalnya berupa himpunan bilangan riil dan daerah hasilnya berupa himpunan vektor.

Jika f t( ) dan g t( ) adalah komponen dari fungsi vektor r (t) = f t g t( ), ( ) , maka f t( )

dan g t( ) adalah fungsi bernilai riil yang disebut fungsi komponen dari r (t), dan dapat dituliskan sebagai berikut:

r (t) = f t g t( ), ( ) = f t( ) i + g t( ) j

>> Contoh 9

Jika r (t) = ln(3t), t , tentukanlah daerah asal dari r.

Jawab:

Fungsi komponennya adalah:

( ) ln(3 )

f t  t , g t( ) t

Daerah asal dari r terdiri atas semua nilai t sedemikian rupa sehingga r (t) terdefinisi.

( ) ln(3 )

f t  t terdefinisi saat 3 t 0 sedemikian sehingga didapat t3.

( )

g tt terdefinisi saat t0.

(6)

Dengan demikian, daerah asal dari r adalah:

| 0 3 ;

Dt  t t

Selanjutnya, akan dipelajari bentuk limit, turunan, dan integral dari suatu fungsi vektor.

D.1 Limit Fungsi Vektor

Jika r (t) = f t g t( ), ( ) = f t( ) i + g t( ) j, maka:

lim

ta r (t) = lim ( ), lim ( )ta f t ta g t = lim ( )ta f t i + lim ( )tag t j asalkan limit dari masing-masing fungsi komponen ada.

>> Contoh 10

D.2 Turunan Fungsi Vektor

Turunan r ′ dari fungsi vektor didefinisikan sebagai berikut: 𝑑𝒓

𝑑𝑟 = 𝒓′ 𝑡 = lim𝑕→0

𝒓 𝑡+𝑕 − 𝒓 𝑡 𝑕

D.3 Vektor Singgung Satuan

𝑻 𝑡 = 𝒓

𝑡

𝒓′ 𝑡

Teorema berikut memberikan sebuah metode yang tepat untuk menghitung turunan dari suatu fungsi vektor r ; diferensialkan saja masing-masing fungsi komponen dari r.

(7)

Teorema selanjutnya memperlihatkan bahwa rumus diferensiai untuk fungsi bernilai riil mempunyai rumus-rumus rekanannya untuk fungsi bernilai vektor.

Teorema 8 Aturan Diferensiasi

Misalkan u dan v adalah fungsi vektor yang terdiferensialkan, c adalah suatu skalar, dan f

adalah fungsi bernilai riil, maka:

1) d

D.4 Integral Fungsi Vektor

Jika r (t) = f t( ) i + g t( ) j, maka:

𝒓 𝑡 𝑑𝑡= 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝒊+ 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 𝒋+𝒄 dengan 𝒄 merupakan konstanta pengintegralan vektor.

Integral tentu dari suatu fungsi vektor kontinu 𝒓(t) dapat didefinisikan dengan cara yang sama seperti untuk fungsi bernilai riil, kecuali bahwa integralnya berupa vektor. Integral dari r dapat dinyatakan dalam bentuk integral dari fungsi-fungsi komponennya.

Teorema 9 Integral Tentu

a. Dengan menggunakan Teorema 8 nomor 3, maka didapat:

D𝑡 𝑡3.𝒓 𝑡 = 3𝑡2 𝑡2𝒊+𝑒−𝑡𝒋 +𝑡3 2𝑡𝒊 − 𝑒−𝑡𝒋 = 5𝑡4𝒊+ 3𝑡2 − 𝑡3 𝑒−𝑡𝒋 b. Dengan menggunakan Teorema 9, maka didapat:

(8)

Selanjutnya, akan diperkenalkan mengenai vektor posisi, vektor kecepatan, kelajuan, dan juga vektor percepatan.

D.5 Gerak Sepanjang Kurva

Diberikan 𝒓(t) = f t( ) i + g t( ) j. Misalkan 𝒓′(t) ada dan kontinu serta 𝒓′(t) ≠ 0. Maka, vektor kecepatan, kelajuan, dan vektor kelajuan didefinisikan sebagai berikut:

Kecepatan : 𝒗 (t) = 𝒓′(t)

Kelajuan : ds

dt = | 𝒓

(t) | = | 𝒗 (t) |

Turunan kelajuan :

2

2 d s

dt =

d dt | 𝒓

(t) | = d

dt |𝒗 (t) | Percepatan : 𝒂 (t) = 𝒗′(t) = 𝒓′′(t)

>> Contoh 12

Vektor posisi dari suatu benda yang bergerak pada bidang diberikan oleh 𝒓(t) = 3

t i + 2

t j, dengan t≥ 0. Carilah kecepatan, kelajuan, dan percepatan ketika t = 1.

Jawab:

Kecepatan dan percepatan pada saat t adalah:

𝒗 𝑡 =𝒓′ 𝑡 = 3𝑡2𝒊+ 2𝑡𝒋 𝒂 𝑡 =𝒓′′ 𝑡 = 6𝑡𝒊+ 2 𝒋 dan, laju pada saat t adalah:

𝑑𝑠

𝑑𝑡 = 𝒗(𝑡) = 3𝑡2 2+ 2𝑡 2 = 9𝑡4+ 4𝑡2 Ketika t = 1, maka:

𝒗 1 = 3 𝒊+ 2 𝒋 𝒂 1 = 6 𝒊+ 2 𝒋 𝒗(1) = 13

E. Kelengkungan dan Percepatan

Jika C adalah kurva mulus yang didefinisikan oleh fungsi vektor 𝒓(t), maka turunannya tidak sama dengan vektor nol [𝒓′(t) ≠ 0]. Kelengkungan C pada suatu titik yang diberikan adalah ukuran seberapa cepat kurva berubah arah di titik tersebut. Secara khusus, didefinisikan kelengkungan sebagai besarnya laju perubahan vektor singgung satuan berdasarkan panjang busur.

Kelengkungan sebuah kurva adalah:

𝜅= 𝑑𝑻 𝑑𝑠 dengan 𝑻 adalah vektor singgung satuan.

(9)

𝜅= 𝑻

(𝑡)

𝒓′(𝑡) =

𝑻′(𝑡)

𝒗(𝑡)

>> Contoh 13

Hitunglah kelengkungan sebuah lingkaran yang berjari-jari a. Jawab:

Misalkan saja ada suatu lingkaran yang berpusat di titik asal (0,0) dan berjari-jari a. Maka, persamaan vektor posisinya dapat dituliskan sebagai berikut:

𝒓 𝑡 = 𝑎cos𝑡 𝒊+𝑎sin𝑡 𝒋 Maka,

𝒗 𝑡 = −𝑎sin𝑡 𝒊+𝑎cos𝑡 𝒋 𝒗 𝑡 = −𝑎sin𝑡 2+ 𝑎cos𝑡 2 =𝑎

𝑻 𝑡 = 𝒓

𝑡

𝒓′ 𝑡 =

𝒗(𝑡) 𝒗(𝑡) =

−𝑎sin𝑡 𝒊+𝑎cos𝑡 𝒋

𝑎 = −sin𝑡 𝒊+ cos𝑡 𝒋

𝑻′ 𝑡 = cos𝑡 𝑖 −sin𝑡 𝑗

𝑻′(𝑡) =cos𝑡 2+sin𝑡 2 = 1

Dengan demikian,

𝜅= 𝑻

(𝑡)

𝒗(𝑡) = 1 𝑎

Berdasarkan Contoh 13, oleh karena didapat 𝜅 adalah kebalikan dari jari-jari pada suatu lingkaran, semakin besar lingkarannya, maka semakin kecillah kelengkungan pada lingkaran tersebut.

Berikut adalah teorema yang penting mengenai kelengkungan sebuah kurva.

Teorema 10 Kelengkungan Kurva pada Bidang

1) Misalkan diketahui kurva parametrik bidang xf t( ) dan yg t( ) sedemikian sehingga r(t) = f t g t( ), ( ) , maka:

𝜅= 𝑥

𝑦′′ − 𝑦′𝑥′′

𝑥′ 2+ 𝑦′ 2 3/2

2) Jika kurva bidangnya memiliki persamaan yf x( ) sehingga r(t) = x f x, ( ) , maka:

𝜅= 𝑓

′′(𝑥)

1 + 𝑓′(𝑥) 2 3/2

>> Contoh 14

Hitunglah kelengkungan pada elips

3cos

xt, y2sint pada titik 𝑡 = 0 dan 𝑡= 𝜋/2.

Jawab:

Cari terlebih dahulu turunan pertama dan kedua dari x dan juga y.

' 3sin

x   t y' 2cos t '' 3cos

(10)

Selanjutnya, dengan menggunakan Teorema 10 nomor 1,

Di suatu titik pada suatu kurva yang mulus r (t), terdapat banyak vektor yang ortogonal terhadap vektor singgung satuan T(t), salah satunya adalah vektor normal satuan.

E.1 Vektor Normal Satuan

𝑵 𝑡 = 𝑻

𝑡

𝑻′ 𝑡

Ketika mempelajari gerak partikel, seringkali bermanfaat apabila percepatan diuraikan ke dalam dua komponen; satu dalam arah singgung (percepatan tangensial), dan yang lainnya dalam arah normal (percepatan normal).

E.2

Vektor percepatan dapat diekspresikan dalam bentuk: 𝒂= 𝑎𝑇 .𝑻 + 𝑎𝑁 .𝑵

dengan 𝑻 adalah vektor singgung satuan dan 𝑵 adalah vektor normal satuan.

Berdasarkan E.2, dapat dilihat bahwa vektor percepatan dapat diuraikan dalam komponen tangensial (𝑎𝑇) dan komponen normal (𝑎𝑁).

Teorema 11 Percepatan Tangensial dan Percepatan Normal

(11)

𝑎𝑁 =𝜅 𝑑𝑠𝑑𝑡

Perlu diingat kembali bahwa vektor normal satuan merupakan vektor yang ortogonal dengan vektor singgung satuan, sehingga terbentuklah Teorema 12 berikut ini.

Teorema 12

Jika 𝒂 merupakan vektor percepatan, maka: 𝒂 2 = 𝑎

𝑇 2+ 𝑎𝑁 2

>> Contoh 16

Tanpa menghitung 𝜅, ekspresikanlah vektor percepatan dari suatu partikel dalam bentuk 𝑻 dan 𝑵 jika vektor posisinya diberikan seperti pada Contoh 15.

Jawab:

(12)

L A T I H A N

1. Tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi yang memiliki persamaan parametrik:

2 3

xt , 3 2

yt ; t0

2. Hitunglah

1 2

0

(x 4 )y dx

jika x t 1 dan 3

4

y t .

3. Misalkan: a  2, 5 ; b  1,1 ; c  6, 0 . Tentukan: a. 3a– 2b

b. a  (b + c) c. |c| cb

4. Tentukan besar sudut  yang dibentuk oleh a dan b jika: a. a = 3i +2j ; b = –i + 4j

b. a  7, 0 ; b  5,1

5. Tentukanlah nilai x sehingga a  8, 6 dan b  3,x saling tegak lurus.

6. Tentukan 𝒓′(t) dan 𝒓′′(t) jika 𝒓(t)  sin , cos 2t t .

7. Hitunglah:

a. 𝒓 𝑡 𝑑𝑡 jika 𝒓 𝑡  cost, sint

b. 𝜋/4𝒓(𝑡)

0 𝑑𝑡 jika 𝒓 𝑡 = cos 2𝑡i + sin 2𝑡j

8. Suatu partikel bergerak memulai pergerakannya dari posisi awal r(0)  1, 0 dengan kecepatan awal v(0) = ij. Percepatannya adalah a(t) = 4ti + 6tj. Carilah kecepatan dan posisi partikel tersebut pada saat t.

9. Hitunglah kelengkungan 𝜅 dari titik P jika:

a. 2

yxx saat P (1,0)

b. r(t) = (tt3)i + (tt2)j saat P (2,2)

10. Hitunglah percepatan tangensial (aT) dan percepatan normal (aN) dari suatu gerakan benda dengan:

a. r(t) = 2

t i + tj saat t = 1

b. r(t) = acos , sint a t saat t = 𝜋

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...