Penjumlahan Vektor pada Bidang

STATIKA I (P2T)

PERTEMUAN ViII

GEOMETRI DAN VEKTOR PADA BIDANG PERTEMUAN iii

DRAGA HASAN SAPUTRA, ST., MT., IPM

1. PENJUMLAHAN VEKTOR

Konsep vektor dan aljabar pada bidang digambarkan sebagai garis yang menghubungkan satu titik ke titik selanjutnya. Dua buah vektor pada bidang dapat kita ukur panjangnya apabila vektor tsb sejajar serta mengarah ke satu titik. Kita akan membahas definisi dari sejumlah vektor yaitu vektor negative, hasil kali titik

(dot product)

, serta hasil kali silang

(cross product)

dari dua buah vektor pada bidang. Vektor adalah besaran yang mempunyai arah dan besar atau disebut juga sebagia vektor gaya, dan selanjutnya disebut gaya.

Dua buah vektor dikatakan sama apabila besar dan arah kedua vektor itu sama. Sebuah vektor juga dapat digerakan jika panjang dan arahnya tidak berubah. Penjumlahan dari dua buah vektor ditunjukkan pada gambar di bawah ini:

1. PENJUMLAHAN VEKTOR

Vektor C merupakan vektor hasil penjumlahan dari vektor A + B:

C = A + B = B + A

Besarnya vektor C dapat dihitung dengan rumus:

C² = A² + B² – 2AB Cos θ atau C = 𝐴 + 𝐵 − 2𝐴𝐵 cos 𝜃

Serta besar sudut antara vektor C dan A diperoleh dari hubungan:

atau

α =

Metode lain untuk menghitungn jumlah dari dua buah vektor adalah dengan mencari diagonal konkuren jajaran genjang, yang mana sisi-sisinya merupakan vektor yang akan dijumlahkan misalnya vektor A dan B. Metode ini dilakukan dengan cara menarik vektor A dan B ke titik pangkal yang sama, untuk jelasnya perhatikan gambar slide berikutnya.

1. PENJUMLAHAN VEKTOR

Vektor C pada gambar di samping merupakan vektor hasil penjumlahan dari vektor A + B.

Seandainya vektor A dan B sejajar atau berlawanan arah maka vektor C yang merupakan vektor hasil penjumlahan kedua vektor itu dapat dihitung dengan cara gambar di bawah ini:

1. PENJUMLAHAN VEKTOR

Apabila terdapat lebih dari dua vektor (polygon) maka kita dapat menentukan penjumlahan dari dua vektor sembarang kemudian hasil ini dijumlahkan secara vektorial dengan

vektor ketiga dan seterusnya.

2. SELISIH VEKTOR

Pengurangan vektor dengan vektor lainnya sama halnya dengan penambahan dengan vektor negative pengurang. Bedanya, dalam hal ini vektor negative didefinisikan sebagai vektor yang besarnya sama tetapi arahnya berlawanan dengan vektor lain, misalnya:

A – B = A + (- B)

Perhatikan gambar di bawah ini, untuk mencari selisih A dan B kita daqpat menggunakan metode jajaran genjang (b) atau metode segitiga (c):

Vektor C merupakan hasil selisih dari vektor A – B : C = A - B

3. KOMPONEN VEKTOR

Menentukan komponen vektor sam halnya dengan menguraikan vektor itu terhadap sumbu-sumbunya (sumbu x dan sumbu y). Andaikan vektor A pada gambar di bawah ini diurai dan θ merupakan sudut antara vektor A dengan sumbu x maka komponen vektor A yaitu:

A_x = A cos θ dan A_y = A sin θ

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar:

Vektor A diurai terhadap sumbu x dan sumbu y dan θ merupakan sudut antara vektor A dengan sumbu x.

4. SIFAT ALJABAR VEKTOR PADA BIDANG

Andaikan A, B dan C merupakan vektor pada bidang lalu s dan t merupakan scalar, maka:

a) A + B = B + A b) A + (B + C) = (A + B) + C

c) A + 0 = A d) A + (- A) = 0

e) (

st

) A =

s

(

t

A) f)

s

(A + B) =

s

A +

s

B g) (

s

+

t

)A =

s

A +

t

A h) IA = A

Vektor A, B dan C pada bidang disebut coplanar jika ketiga vektor itu menempati titik tangkap yang sama seperti gambar di bawah ini:

4. SIFAT ALJABAR VEKTOR PADA BIDANG

Teori 1:

Tiga buah vektor disebut coplanar jika dan hanya jika berkaitan dengan scalar a, b dan c, rumusnya:

a A + b B + c C = 0

Dimana:

a = 0, b = 0, c = 0

Vektor satuan i dan j dalam arah sumbu x dan y positif (dalam bidang xy non coplanar) merupakan garis yang berdiri sendiri seperti gambar di bawah ini:

i dan j disebut vektor standard dasar (

basic

standard vector

) di bidang xy.

4. SIFAT ALJABAR VEKTOR PADA BIDANG

Setiap vektor pada bidang xy dapat dinyatakan dalam kombinasi linier dari i dan j. Kita tinjau vektor R yang berada pada bidang xy seperti ditunjukkan oleh gambar di bawah ini:

Jika ingin menggeser titik tangkap vektor R ke titik asal 0 maka kita harus mengerti bahwa vektor R = 0P yang merupakan posisi vektor dari titik P = (x, y), yang mana titik Q = (x, y) yang merupakan titik perpotongan titik P terhadap bidang xy. Di sini Q P sejajar dengan vektor satuan j, maka Q P = yj, sehingga:

R = 0 Q + Q P atau dapat juga kita rumuskan: R = xi + yj

Dimana, x dan y merupakan komponen scalar dari R dengan berpegangan pada vektor standard dasar (

basis standard vector

) i dan j.

Penjumlahan A + B, selisih A – B, dan hasil

s

A dapat dihitung melalui komponen – komponen vektor A dan B pada bidang xy jika:

A = a₁ i + a₂ j dan B = b₁ i + b₂ j Sehingga akan didapatkan rumus:

1. A + B = (a1 + b1) i + (a2 + b2) j 2. A - B = (a1 + b1) i - (a2 + b2) j 3. s A = (sa1) i + (sa2) j

4. SIFAT ALJABAR VEKTOR PADA BIDANG

Contoh 1

Misalkan A = 2i - 3j dan B = i + 2j Tentukan:

a. A + B b. A – B c. 7A d. 7A – B Jawab:

a. A + B c. 7A

A = 2i – 3j B = i + 2j 7A = 7(2i – 3j) = 14i – 21j

A + B = (2 + 1) i + (-3 + 2) j = 3i + j

b. A – B d. 7A – B

A - B = (2 - 1) i - (-3 - 2) j = i - 5j 7A – B = (14 – 1) i + (-21 – 2) j

= 13i – 23j

4. SIFAT ALJABAR VEKTOR PADA BIDANG

Rumus R = xi + yj merupakan bentuk dari dua komponen scalar yaitu x dan y yang dimiliki oleh R sehingga dapat ditulis R = (x, y). Rumus tersebut dapat digunakan untuk penyelesaian contoh 2 berikutnya.

4. SIFAT ALJABAR VEKTOR PADA BIDANG

Contoh 2

Misalkan A = 2i - 3j dan B = i + 2j Tentukan:

a. A + B b. A – B c. 7A d. 7A – B Jawab:

Jika A = 2i – 3j dan B = i + 2j, maka:

a. A + B b. A – B

A + B = (2 – 3) + (1 + 2) = (3, - 1) A - B = (2 - 3) - (1 + 2) = (1, - 5)

c. 7A d. 7A – B

7A = 7(2 – 3) = (14, - 21) 7A – B = 7(2 – 3) – (1 + 2)

= (14, - 21) – (1 + 2) = (13 + 23)

4. SIFAT ALJABAR VEKTOR PADA BIDANG

Dianjurkan agar menggunakan cara double vektor yang sesuai untuk vektor pada bidang xy.

Sudut θ yang terbentuk antara dua vektor A dan B pada bidang xy yang memiliki titik tangkap vektor sama sehingga besarnya sudut dapat diketahui dengan cara dot produk dari A dan B.

A B = A B cos θ maka; cos θ =

Dimana A dan B merupakan panjang atau nilai dari vektor A dan B.

4. SIFAT ALJABAR VEKTOR PADA BIDANG

Andaikan A, B dan C merupakan vektor pada bidang dan s dan t merupakan scalar maka:

a. A B = B A

b. (A + B) C = A C + B C c. A A = 0 jika A = 0

d. A A = A ² ≥ 0

e. (sA) B = s(A B) = A (sB)

f. A B = 0 jika dan hanya jika A dan B berpotongan

Jika i dan j merupakan vektor satuan pada bidang xy maka menggunakan rumus g) dan h) di bawah ini:

g. i i = j j = 1

h. i j = 0 merupakan perpotongan vektor satuan Dot Product Pada Vektor di Bidang xy

5. HASIL KALI TITIK (DOT PRODUCT)

VEKTOR PADA BIDANG

Teorema 1

Andaikan: A = ai + bj dan B = xi dan yj Maka:

A B = ax + by

Yang dimaksud dengan komponen scalar dalam hal ini adalah proyeksi scalar (comp_BA). Proyeksi scalar adalah vektor A dalam arah vektor B yang ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

5. HASIL KALI TITIK (DOT PRODUCT) VEKTOR PADA BIDANG

Proyeksi scalar dapat dihitung dengan rumus:

compBA = Pastikan B ≠ 0

Contoh 3

Misalkan A = 3i – 2j dan B = 2i + 5j Tentukan:

a. A B b. A c. A – B d. comp_BA Jawab:

a. A B = (3)(2) + (-2)(5) = -4 b. A = 3 + −2 = 13

c. A – B = (3 – 2)i + (-2 – 5)j = i – 7j A – B = 1 + −7 = 50

d. comp_BA A B = -4

B = 2 + 5 = 29 compBA = =

5. HASIL KALI TITIK (DOT PRODUCT)

VEKTOR PADA BIDANG

Contoh 4

Dua vektor A = 2i – 3j dan B = i + 2j membentuk sudut θ. Tentukan besarnya sudut θ!

Jawab:

Cos θ =

A B = (2)(1) + (-3)(2) = -4 A = 2 + −3 = 13 B = 1 + 2 = 5

A B = ( 13)( 5) Cos θ = = −0,496

Hasilnya θ = cos^-1 (-0.496) = 119,74°

5. HASIL KALI TITIK (DOT PRODUCT)

VEKTOR PADA BIDANG

Kita sekarang dapat menurunkan persamaan untuk menentukan jarak antara dua titik P = (x, y) dan Q = (a, b) di dalam ruang xy seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini:

6. JARAK ANTARA DUA TITIK DALAM BIDANG XY

Dimana:

0 P = xi dan yj dan 0 Q = ai + bj dan P Q = 0 Q – 0 P atau P Q dapat dinyatakan dengan rumus: P Q = (a – x)i + (b – y)j

Pada gambar di samping ini komponen scalar dari vektor PQ di bidang xy dengan koordinat pada Q berbeda dengan koordinat P, maka jarak antara P dan Q adalah:

P Q = (a – x )² + (b – y)²

Contoh 5

Jika koordinat P = (2, 3) dan Q = (-1, 1), tentukan:

a. Komponen scalar dari P Q b. Jarak antara P dan Q Jawab:

a. P Q = (-1 – 2)i + (1 – 3)j = -3i – 2j b. P Q = (-3)2 + (-2)2 = 13

6. JARAK ANTARA DUA TITIK DALAM

BIDANG XY

Yang dimaksud dengan vektor A tidak nol di bidang xy yaitu perpindahan A dimana titik tangkapnya berada di titik semula 0 sehingga α dan β menjadi sudut antara A terhadap sumbu x dan y.

7. ARAH COSINES VEKTOR

Sudut α dan β sama halnya dengan sudut antara A terhadap

vektor basis standard i dan j. Cosines dari dua arah sudut disebut juga cosines arah dari vektor A yang didefinisikan sebagai

berikut:

cos α = dan cos β = Jika A = xi dan yj, maka:

Ai = a Aj = b dan A = a² + b²

Sehingga: cos α = cos β =

Kemudian dapat diuraikan menjadi:

(cos α)i + (cos β)j = (ai + bj) = Cosines arah dari vektor A tidak nol

merupakan vektor scalar dari vektor satuan A/ A sama dengan arah A.

Karena (cos α)i + (cos β)j merupakan vektor satuan maka:

cos² α + cos² β = 1

Contoh 6

Jika P = (-1, 2) dan Q = (-3, 3), tentukan:

a. Cosines arah dari P Q = A

b. Buktikan bahwa bentuk persamaan cosines arah sama dengan 1 Jawab:

a. P Q = A = [-3 – (-1)]i + (3 – 2)j = -2i + j b. cos α = cos β =

jika 𝑎 + 𝑏 = −2 + 1 = 5, maka cos α = cos β = buktikan bahwa bentuk persamaan cosines arah sama dengan 1.

cos² α + cos² β = 1

(-2 5)² + (1 5)² = 4/5 + 1/5 = 1 (

oke terbukti

)

7. ARAH COSINES VEKTOR