Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Fungsi
Definisi
Definisi
Definisi fungsi vektor
Fungsi vektor merupakan aturan yang mengkaitkan t ε R dengan tepat satu vektor
g(t) f(t),
j ˆ g(t) iˆ
f(t) (t)
F = + =
2(3) R (t)
F ∈
Notasi :
F
: R Æ R2(3) t Æatau
h(t) g(t),
f(t), k
ˆ h(t) j
ˆ g(t) iˆ
f(t) (t)
F = + + =
t Æ
Contoh
Contoh
,
,
Daerah
Daerah
Asal
Asal
dan
dan
Daerah
Daerah
Nilai
Nilai
Contoh
j t
i t
t
F( ) 2ˆ ( 3) ˆ .
1 = − + − −1
k j
t i
t t
F( ) cos ˆ sin ˆ ˆ
2. r = + +
j
t
i
t
t
F
(
)
ln(
1
)
ˆ
cos
ˆ
.
3
=
2+
+
−1j
t
i
t
t
F
(
)
ln
2
ˆ
6
ˆ
4.
⎟
−
−
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
r
k
t
f
j
t
f
i
t
f
t
f
(
)
(
)
ˆ
(
)
ˆ
(
)
ˆ
Misal
=
1+
2+
3Daerah Asal (Df )
{
|
f1 f2 f3}
f
t
R
t
D
D
D
D
r=
∈
∈
∩
∩
Daerah Hasil (Rf )
{
f}
f
f
t
R
t
D
Contoh
Contoh
Tentukan Df (daerah asal)!
j t
i t
t
F( ) 2ˆ ( 3) ˆ .
1 = − + − −1
(
3
)
1
)
(
2
t
=
t
−
f
2
)
(
1
t
=
t
−
f
Misalkan dan
{ }
3
2=
R
−
D
f)
,
2
[
1
=
∞
fD
danDiperoleh
Sehingga
{
f1 f2}
F
t
R
t
D
D
D
=
∈
∈
∩
{ }
{
∈
∈
[
2
,
∞
)
∩
−
3
}
=
t
R
t
R
{ }
Contoh
Contoh
Misalkan
f
1(
t
)
=
cos
t
Sehingga
t
t
f
2(
)
=
sin
,{
f1 f 2 f 3}
F
t
R
t
D
D
D
D
=
∈
∈
∩
∩
{
t
∈
R
t
∈
R
∩
R
∩
R
}
=
R
=
Diperoleh
D
f=
R
1 ,
D
f2=
R
k
j
t
i
t
t
F
(
)
cos
ˆ
sin
ˆ
ˆ
2.
r
=
+
+
1 )
(
3 t = f
R
D
fdan
dan
=
3
)
1
ln(
)
(
21
t
=
t
+
f
f
2(
t
)
=
cos
−1t
Misalkan dan
Sehingga
{
∈
∈
1∩
2}
=
{
∈
∈
∩
[
−
1
,
1
]
}
=
[
−
1
,
1
]
=
t
R
t
D
D
t
R
t
R
D
F f fDiperoleh
D
f=
R
1
j
t
i
t
t
F
(
)
ln(
1
)
ˆ
cos
ˆ
3.
r
=
2+
+
−1]
1
,
1
[
2=
−
fD
Contoh
Contoh
j t i
t t
F( ) ln 2 ˆ 6 ˆ .
4 ⎟ − −
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =
Misalkan
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
t
t
f
1(
)
ln
2
dan f2(t) = − 6 − t]
6
,
(
2
=
−∞
f
D
dan Diperoleh
(
0
,
)
1
=
∞
fD
Sehingga
{
f1 f2}
F
t
R
t
D
D
D
=
∈
∈
∩
{
∈
∈
(
0
,
∞
)
∩
(
−∞
,
6
]
}
=
t
R
t
Latihan
Latihan
Tentukan Df (daerah asal)!
j t i
t t
f ( ) ( 4)ˆ ˆ
1. r = − +
j t i
t t
f ( ) ˆ 4 ˆ
2. r = − − − 2
j t i
t t
f ˆ ˆ
) 4 (
1 )
(
3. +
− =
r
j t i t t
f ˆ ˆ
4 1 )
(
4. + 2
− =
Grafik
Grafik
Fungsi
Fungsi
Bernilai
Bernilai
Vektor
Vektor
Misalkan
Df=[a,b]
j
t
f
i
t
f
t
f
(
)
=
1(
)
ˆ
+
2(
)
ˆ
] [
a≤t≤b
(b) f
(t) f
r
(a) f
r c
y
x
Jika t berubah sepanjang [a,b] Æ ujung-ujung
f
(
t
)
menjelajah lengkungan (kurva) C dengan arah tertentu disebut titik pangkal lengkungan C
) (a f
disebut titik ujung lengkungan C
) (b f
Æ kurva C disebut kurva tertutup
) ( )
(a f b
f
Grafik
Grafik
fungsi
fungsi
vektor
vektor
Grafik fungsi bernilai vektor berupa lengkungan/kurva di R2(3) dengan arah tertentu
Cara menggambar grafik fungsi vektor
1. Tentukan persamaan parameter dari lengkungan C
2. Kemudian eliminasi parameter t dan gambarkan (Gambar kartesius kurva)
Contoh
Contoh
Gambarkan grafik fungsi dibawah ini:
π
2 0
; ˆ sin 2 ˆ cos 3
) ( .
1 F t = t i + t j ≤ t ≤
Persamaan parameter x = 3 cos t
Arahnya
(ellips)
Contoh
Contoh
4 0
; ˆ ˆ
) 4 (
) (
2. Fr t = t − i + t j ≤ t ≤ Persamaan parameter
y =
4 2 − = y x
4
+
x
Ö
t = x+4 x = t – 4y = t (parabola)
Arahnya
y
) 0 , 4 ( ˆ 4 )
0
( = − i = − F
) 2 , 0 ( ˆ 2 )
4
( = j =
F 2
C
Contoh
Contoh
Persamaan parameter x = – t
y = 2 2 2
a y
x + =
Arahnya
(lingkaran)
) 0 , ( ˆ )
( a ai a
F − = =
)
,
0
(
ˆ
)
0
(
a
j
a
F
=
=
) 0 , ( ˆ )
(a ai a
F = − = −
a y
a t a j
t a i
t t
F( ) = − ˆ+ − ˆ ; − ≤ ≤
3. r 2 2
2 2
t a −
( )
2 2 2 22
x a
y x
a
y = − − ⇒ = −
a –a
C
Latihan
Latihan
Gambarkan grafik fungsi dibawah ini:
2 2
; ˆ ˆ
4 )
( .
2 F t = − t 2 i + t j − ≤ t ≤ 2 2
; ˆ 4
ˆ )
(
1. Fr t = t i − − t 2 j − ≤ t ≤
(
2)
ˆ(
3)
ˆ ; 2 3) ( .
4 F t = t 2 + t i + t − j − ≤ t ≤
(
4 1)
ˆ 2 ˆ ; 0 3 )(
Persamaan
Persamaan
Parameter
Parameter
di
di
R
R
3
3
Persamaannya adalah sebagai berikut:
x = f1(t) ; y = f2(t) ; z = f3(t) , t ε I Contoh:
k t j t i
t t
F( ) cos ˆ sin ˆ ˆ
1. r = + +
2. Garis
0
w
r
w
r
v
r
P0=(x0,y0,z0)
P(x,y,z)
x z
Garis
Garis
(
(
ljt
ljt
)
)
Garis adalah himpunan semua titik P sehingga
v
t
w
w
r
=
r
0+
r
v
t
w
w
-
r
0+
r
=
garis
dengan
sejajar
yang
vektor
v
r
=
v
t
P
P
0=
r
Jika w =<x, y, z> dan w0 =<x0,y0,z0> serta v = <a,b,c> maka persamaan garis dalam bentuk parameter ditulis sebagai berikut
c t z
z b
t y
y a
t x
x = 0 + = 0 + = 0 +
Sedangkan persamaan simetrinya adalah
c b
a
0 0
0 y y z z
x
x −
= −
Contoh
Contoh
1. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui titik (1, 2, 3) dan sejajar dengan vektor <-1, 2, 3>
Jawab: Persamaan simetri garis tersebut adalah x = 1 – t
y = 2 + 2 t z = 3 + 3 t
2. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui titik (2, -3, -1) dan (5, -1, -4)
Jawab: vektor yang sejajar dengan garis tersebut:
vr =<5 – 2, –1 + 3, –4 + 1> = <3, 2, –3> Pilih titik (x0, y0, z0) = (2, –3, –1)
Latihan
Latihan
1. Carilah persamaan parameter dari garis yang melalui pasangan titik yang diberikan:
a. (1, -2, 3), (4 , 5, 6)
b. (2, -1, 5), (7, -2, 3)
c. (4, 2, 3), (6, 2, -1)
2. Tuliskan persamaan parameter dan persamaan simetri untuk garis yang melalui yang diberikan dan sejajar terhadap vektor yang diberikan
a. (4, -6, 3), <-2, 1, 5>
b. (-1, 3, 2), <4, 2, -1>
Ekivalen
Ekivalen
Fungsi dan
)
t
(
f
r
menjelajahi suatu lengkungan C yang sama dengan arah yang sama.
disebut ekivalen jika
)
t
(
g
r
f
r
(
t
)
dang
r
(
t
)
Contoh
π
dan
Sifat
Sifat
k
cos )
α adalah sudut antara dua vektor tersebut
(
f t g t)
c(
f t g t)
i c(
f t g t)
j c(
f t g t)
k c r( ) ± r( ) = 1( ) ± 1( ) ˆ+ 2( )± 2( ) ˆ+ 3( )± 3( ) ˆ3.
Limit
Limit
Definisi
ε
δ
δ
ε
>
∃
>
∋
<
−
<
→
−
<
∀
→
=
→a
f
t
L
t
a
f
t
L
t
(
)
0
0
0
(
)
lim
r
r
L
(t) fr
L -(t) fr
y
x
Ilustrasi
ε
) (
Teorema
Teorema
j lim ˆ
) ( lim )
Contoh: Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan):
⎥ lim
.
sin lim
. 2
Contoh
lim. lim
ˆ
lim ˆ
3 3 3
lim
3 lim
ˆ 3 lim
3
sin lim
. lim
ˆ sin lim
Contoh
Contoh
(
(
Jawab
Jawab
)
)
t t t
t
ln ), ln(
lim .
3 2
0+
→ t t t t t
ln lim
), ln(
lim
0 2
0+ → +
→
=
karena = −∞ (tidak ada)
+
→ ln( )
lim 2
0 t
t
Jadi t t t tidak ada
t
ln ), ln(
lim 2
0+
Latihan
Latihan
Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan):
⎥ lim
.
sin lim
. lim
.
3 1/
0+
Kekontinuan
Kekontinuan
) t ( f .
a r
Definisi
f
Dr
∈
kontinu di a jika
lim
f
(
t
)
f
(
a
)
a t
r
r
=
→ )
t ( f .
b r kontinu pada himpunan A ⊂ R jika fr(t) kontinu
di setiap titik pada A
Teorema
kˆ ) t ( f jˆ ) t ( f iˆ ) t ( f ) t (
fr = 1 + 2 + 3
Fungsi kontinu pada B⊂
f
Dr
Turunan
Turunan
kˆ
Misalkan Definisi:
[
] [
]
lim ) lim jˆ lim iˆContoh
Contoh
jˆ e iˆ ) 3 t 2 ( ) t (
fr = + 2 − 2t . Tentukan
1. Diketahui
D
tf
(
0
)
r
dan
D
t2f
r(
0
)
Jawab
)
(
'
)
(
t
f
t
f
D
t r = r=
2
(
2
t
+
3
)
2
ˆ
i
−
2
e
2tˆ
j
(
8
t
+
12
)
ˆ
i
−
2
e
2tˆ
j
=
i.
j
i
f
D
t(
0
)
=12
ˆ
−2
ˆ
r
j
e
i
t
f
t
f
D
t2 r(
)
= r"
(
)
=8
ˆ
−4
2tˆ
ii.
j
i
f
Contoh
Contoh
jˆ e iˆ t 2 cos )
t (
fr = + t . Tentukan
2. Diketahui
) antara sudut
.
b r dan fr"(0)
Jawab a.
f
'
(
t
)
sin
2
+
cos
4 +
cos
Latihan
Latihan
(
t
)
k
j
e
t
i
t
t
f
r(
)
=tan
−1ˆ
+ −2tˆ
+ln
2 +1
ˆ
Tentukan1. Diketahui
)
0
(
f
D
tr
dan
D
t2f
r(
0
)
j
t
i
e
t
r
r(
)
= 2tˆ
+ln(
3)
ˆ
Tentukan2. Diketahui
)]
(
'
).
(
[
r
t
r
t
D
t r r3. Tentukan rr'(t) dan rr"(t )
a. b.
(
e e)
i e jt
rr( ) = t + −t ˆ− t2ˆ j t
i t t
Arti
Arti
Geometris
Geometris
Df=[a,b]
Merupakan vektor singgung pada kurva C di titik P pada saat
)
lim
Garis
Garis
Singgung
Singgung
Df=[a,b]
] [
a≤t≤b
)
(t
f
r
0) (t ' fr 0
c z
y
x O
P
Persamaan garis singgung pada kurva C pada titik P adalah
)
t
(
'
f
t
)
t
(
f
)
t
(
x
r
=
r
0+
r
0atau
Contoh
Contoh
k t j t i
t t
fr( ) = cos ˆ+ sin ˆ+ ˆ
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–1, 0, π). Diketahui
k
j
t
i
t
t
f
'
(
)
=
−
sin
ˆ
+
cos
ˆ
+
ˆ
r
Jawab: t0 = waktu saat P tercapai, yaitu t0 = π
k
j
i
f
'
(
π
)
=
0
ˆ
+
(
−
1
)
ˆ
+
ˆ
r
k
j
i
f
(
π
)
=
(
−
1
)
ˆ
+
0
ˆ
+
π
ˆ
r
=< 0,−1, 1 >> −
=< 1,0,
π
Latihan
Latihan
j t i
t t
fr( ) = 3sin ˆ+ 4cos ˆ
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 4). 1. Diketahui
(
t)
k jt e
i t e
t
f ( ) = t sin ˆ+ t cos ˆ+ 1 + 2 ˆ
r
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1). 2. Diketahui
(
t)
i(
t)
jt
f ( ) = 2 − 2 ˆ+ 3 2 − 2 ˆ
r
Gerak
Gerak
Sepanjang
Sepanjang
Kurva
Kurva
Misalkan t menyatakan waktu dan P titik yang bergerak ditentukan oleh persamaan parameter x = f(t); y = g(t). maka
menyatakan vektor posisi dari titik P.
jˆ
)
t
(
g
iˆ
)
t
(
f
)
t
(
r
=
+
r
Jika t berubah Æ ujung vektor
r
r
(
t
)
bergerak sepanjanglintasan titik P. Gerak ini dinamakan Gerak Sepanjang
Definisi
Definisi
Contoh
Contoh
1. Kecepatan
2. Percepatan
jˆ
titik P adalah
)
t
(
v
r
di sebut laju titik P
)
titik P
)
t
(
a
r
di sebut besar percepatan
)
t
(
a
r
pada saat t
1. Gerak Linear
q
2. Gerak pada Lingkaran
real
fungsi
)
t
(
h
;
tetap
vektor
q
,
p
r
r
3. Gerak pada ellips
0
a
,
jˆ
t
sin
a
iˆ
t
cos
a
sin
b
iˆ
t
cos
a
4. Gerak pada heliks Lingkaran
Contoh
Contoh
Gerak
Gerak
Sepanjang
Sepanjang
Kurva
Kurva
Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah
x = 3 cos t dan y = 2 sin t (t = waktu)
a. Gambarkan grafik lintasan P.
b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan percepatan
Jawab
Jawab
a. Persamaan parameter x = 3 cos t
(ellips)
3
Jawab
Jawab
(
(
Lanjutan
Lanjutan
)
)
t t
t
vr( ) = 9 sin2 + 4cos2
(
t t)
t t
t
t 2 2 2 2 2
2
cos sin
4 sin
5 cos
4 sin
4 sin
5 + + = + +
=
4 sin
5 2 +
= t
b. Laju maks = 3, dicapai saat sin t = ± 1, atau t = π/2, 3π/2
yaitu pada titik (0, ±2)
Latihan
Latihan
Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah
x = 4 cos t dan y = 3 sin t (t = waktu)
a. Gambarkan grafik lintasan P.
b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan percepatan
Kelengkungan
Kelengkungan
Andaikan a≤t≤b,
r
r
(
t
)
=
f
(
t
)
iˆ
+
g
(
t
)
jˆ
vektor posisi titik P. Panjang lintasan s dari P(a) ke P(t) adalah(
) (
)
∫
+
=
∫
=
t
a
t
a
du
u
r
du
u
g
u
f
s
'
(
)
2'
(
)
2r
'
(
)
Laju titik yang bergerak itu adalah
)
t
(
v
)
t
(
'
r
dt
ds
r
r
=
=
)
t
(
v
1
ds
dt
r
Kelengkungan
Kelengkungan
(
(
Ljt
Ljt
)
)
Definisi. Vektor Singgung Satuan di P.
Notasi
T
r
(
t
)
didefinisikan sbbApabila P bergerak Æ
)
t
(
v
)
t
(
v
)
t
(
'
r
)
t
(
'
r
)
t
(
T
r
r
r
r
r
=
=
berubah arah
)
t
(
T
r
x o
y
disebut vektor kelengkungan di P
ds
Kelengkungan
Kelengkungan
(
(
Ljt
Ljt
)
)
Kelengkungan di P; κ (kappa). Dengan aturan rantai diperoleh
Jadi
)
dan
ds
T
d
r
=
κ
Contoh
Contoh
12
,
ˆ
sin
8
ˆ
cos
8
)
(
.
1
r
r
t
=
3t
i
+
3t
j
di
t it ik
P
pada
t
=
π
Tentukan kelengkungan dan jari-jari kelengkungan dari
Jawab:
j cos
24 2 2 2 + 2 = sin 12
1 sin
cos 24
1 sin
cos 24
cos sin
Contoh
Contoh
(
(
lanjutan
lanjutan
)
)
6 1
2 1 . 12
1
6 sin 12
1
12 2
sin 12
1 )
12
( =
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛ =
π
π
π
κ
6 1
= =
κ
R (Jari-jari kelengkungan)
Contoh
Contoh
Jawab:
(
e t e t) (
i e t e t)
j e kcos sin
sin cos
)
cos
ˆ
sin
)
(
.
Contoh
Contoh
(
(
lanjutan
lanjutan
)
)
2
2 3
2
3 2 2
π
π
π
κ
⎟ = = −⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛
e e
2 2 3
1 2
π
κ
e
R = = (Jari-jari kelengkungan)
Jadi kelengkungan (
κ
) kurva diatas di t= π/12 adalah ,Sedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah
2 3
2 −π
e
2 2
3 2
π
Latihan
Latihan
Tentukan vektor singgung satuan, kelengkungan dan jari-jari kelengkungan di titik yang diberikan
2
,
ˆ
cos
ˆ
sin
)
(
.
1
r
r
t
=
e
tt
i
+
e
tt
j
di
t it ik
P
pada
t
=
π
(
1
)
ˆ
,
1
ˆ
2
)
(
.
2
r
r
t
=
t
i
+
t
2−
j
di
t it ik
P
pada
t
=
2
1
,
ˆ
4
ˆ
4
)
(
.
3
r
r
t
=
t
2i
+
t
j
di
t it ik
P
pada
t
=
9
,
ˆ
ˆ
3
cos
ˆ
3
sin
)
(
.
5
r
r
t
=
t
i
+
t
j
+
t
k
di
t it ik
P
pada
t
=
π
6
,
ˆ
4
ˆ
cos
8
ˆ
sin
8
)
(
.
Teorema
Teorema
Andaikan x = f (t) dan y = g (t) adalah persamaan
parameter kurva yang mulus. Maka
( ) ( )
[
' 2 ' 2]
32 " ' " 'y x
x y y x
+ − =
κ
Khususnya, untuk kurva dengan persamaan y =g(x),
berlaku
( )
[
2]
32' 1
"
y y
+ =
Contoh
Contoh
1. Tentukan kelengkungan elips
x = 2 cos t, y = 3 sin t
pada titik t = 0 dan t = π/2
Jawab:
x’ = –2 sin t y’ = 3 cos t
x” = –2 cos t y” = –3 sin t
Kita peroleh
( ) ( )
cos 3 sin
2
cos 6 sin
6
Sehingga
[
4sin20 9cos20]
32 cos 9 2Contoh
Contoh
2. Tentukan kelengkungan kurva y = x2 di P(1, 1)
Jawab:
y’ = 2x y” = 2 Kita peroleh
( )
[
2]
32 '1
"
y y
+ =
κ
( )
[
1 2 2]
32 2x
+ =
Sehingga
25
5
2
5
2
2 /
3
=
=
( )
( )
[
1 2.1 2]
32 21
+ =
Latihan
Latihan
Tentukan kelengkungan kurva berikut di titik P
1. y = x2 – x, di P(1,0)
2. r(t)=(t + t3) i + (t + t2) j , di P(2,2)
3. r(t)=2t2 i + (4t+2) j , di P(2,-2)
