1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan √�2−2�< √3�+ 6 adalah …
Pembahasan Perhatikan bahwa bilangan real yang terdapat dalam akar kuadrat haruslah lebih besar atau sama dengan nol. Sehingga,
�2−2� ≥0 syarat
⟺ �(� −2) ≥0 faktorkan
⟺ � ≤0 atau � ≥2 selesaian 1
dan,
3�+ 6 ≥0 syarat
⟺ 3� ≥ −6 kurangi kedua ruas dengan 6
⟺ � ≥−36=−2 selesaian 2
Selanjutnya kita selesaikan pertidaksamaan yang diberikan soal. Dengan mengkuadrat kedua ruas, kita proleh
�2−2� < 3�+ 6 kuadratkan kedua ruas
⟺ �2−5� −6 < 0 kurangi dengan 3�+ 6
⟺ (�+ 1)(� −6) < 0 faktorkan
⟺ −1 < � < 6 selesaian 3
Dengan mengiriskan himpunan selesaian 1, 2, dan 3 pada garis bilangan kita peroleh,
Sehingga, berdasarkan garis bilangan di atas, himpunan selesaian dari pertidaksamaan yang diberikan adalah {x | –1 < x ≤ 0 atau 2 ≤ x < 6}
(Jawaban E).
2. Jika cos�= 2 sin�, maka nilai sin�cos� adalah …
Pembahasan Pertama, kita selesaikan persamaan cos�= 2 sin�.
cos� = 2 sin� persamaan yang diberikan
Selanjutnya kita tentukan nilai dari sin�cos� sebagai berikut.
sin�cos�= �
3. Jumlah suku ke-4 dan ke-5 dari suatu barisan aritmetika adalah 55, sedangkan suku-9 dikurangi dua kali suku ke-2 bernilai 1. Jumlah tiga suku pertama barisan tersebut adalah …
Pembahasan Misalkan suku ke-n dari barisan aritmetika yang diberikan
adalah ��, maka informasi yang ada dalam soal dapat dimodelkan sebagai berikut.
Karena barisan tersebut merupakan barisan aritmetika, maka �� = �1 + (� −1)�. Sehingga persamaan (3.1) dan (3.2) dapat diubah
menjadi persamaan-persamaan yang ekuivalen sebagai berikut.
(�1+ 3�) + (�1+ 4�) = 2�1+ 7�= 55 …(3.3)
(�1+ 8�)−2(�1+�) =−�1+ 6�= 1 …(3.4) Dengan mengalikan persamaan (3.4) dengan 2, kemudian
menjumlahkannya dengan persamaan (3.3) kita mendapatkan,
(2�1+ 7�) + 2(−�1+ 6�) = 55 + 2(1)
⟺ 19� = 57
⟺ � = 3
Selanjutnya, substitusi �= 3 ke dalam persamaan (3.4) kita mendapatkan,
−�1 + 6(3) = 1
⟺ −�1+ 18 = 1
⟺ �1 = 17
Sehingga, jumlah tiga suku pertama dari barisan tersebut adalah,
�3 = 32(2(17) + (3−1)∙3) = 60
(Jawaban E).
4. Garis � mempunyai gradien 2. Jika � menyinggung grafik fungsi
�(�) =−�2 +��+ 1 Atau dengan kata lain, gradien dari singgung grafik � ketika �= 1
bernilai 2. Sehingga,
Oleh karena itu, garis � menyinggung � pada titik (1, 4). Dengan demikian, persamaan garis � dapat ditentukan sebagai berikut.
� −4 = 2(� −1) persamaan garis dengan gradien 2 dan melalui titik (1, 4)
⟺ � −4 = 2� −2 sederhanakan
⟺ � = 2�+ 2 isolasi �
Jadi, persamaan garis � adalah �= 2�+ 2 (Jawaban D). 5. Semua nilai � yang memenuhi pertidaksamaan
22�+2−17(2�) + 4 < 0
adalah …
Pembahasan Pertama kita tulis suku 22�+2 sehingga menjadi suku yang terdiri dari perkalian 2�.
22�+2 = 22(22�) = 4(2�)2
Sehingga pertidaksamaan yang diberikan dapat diubah menjadi pertidaksamaan yang ekuivalen sebagai berikut.
4(2�)2−17(2�) + 4 < 0 …(5.1) Selanjutnya kita selesaikan pertidaksamaan (5.1) sebagai berikut.
4(2�)2−17(2�) + 4 < 0 pertidaksamaan (5.1)
⟺ (4(2�)−1)(2�−4) < 0 faktorkan
⟺ 1
4< 2
� < 4 selesaian untuk 2�
⟺ 2−2< 2� < 22 bentuk pangkat
⟺ −2 <� < 2 selesaian untuk �
Jadi selesaian dari pertidaksamaan yang diberikan adalah −2 < �< 2
(Jawaban E).
6. Diketahui �1 dan �2 akar-akar real persamaan �2+ 3�+�= 0, dengan �1 dan �2 kedua-duanya tidak sama dengan nol. Jika �1+�2,
�1�2, dan �12�22 merupakan 3 suku pertama barisan aritmetika maka
� = …
Pembahasan Karena �1 dan �2 merupakan akar-akar real persamaan
�2+ 3�+�= 0 maka �
1+�2 =−3 dan �1�2 = �. Sehingga, –3, �,
dan �2 merupakan 3 suku pertama barisan aritmetika. Hal ini mengakibatkan,
Jika �1 dan �2
merupakan akar-akar persamaan kuadrat maka �1+�2 = − � �� dan �1�2 = � �⁄ .
� −(−3) =�2− � beda barisan aritmetika
Pembahasan Dengan mengalikan kedua ruas dengan matriks
�−21 1��, kita mendapatkan
�−21 1�� ���� =� 4 −1�
kalikan kedua ruas dengan
�−21 1��
8. Empat koin palsu dicampur dengan delapan koin asli. Jika dua koin diambil secara acak, maka peluang terambil satu koin asli dan satu koin palsu adalah …
Pembahasan Misalkan kejadian terambilnya satu koin asli dan satu koin palsu adalah �, maka
|�| =�14∙ �18 = 4! 3! 1!∙
8!
7! 1!= 4∙8 = 32
Sedangkan banyaknya anggota ruang sampel adalah
|�| =�212= 12!
10! 2!= 66
Sehingga peluang kejadian tersebut adalah
Jika � dan �−1
�(�) =|�| Pembahasan Pertama kita tentukan invers dari fungsi �.
� = �+ 1
kalikan pembilang dan penyebut dengan �
10. Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos, sedang model B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah …
Pembahasan Misalkan banyak model pakaian A dan B yang dapat dibuat secara berturut-turut adalah � dan �. Maka permasalah di atas dapat dimodelkan menjadi,
�+ 2� ≤40;
1,5�+ 0,5� ≤15⟺3�+� ≤30;
� ≥0;
� ≥0;
�,� ∈ ℤ (bilangan bulat);
dengan fungsi tujuan: �(�,�) =�+�.
Sehingga daerah selesaian dari kendala-kendala tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.
Dengan menggunakan uji titik pojok,
�(0, 20) = 0 + 20 = 20;
�(4, 18) = 4 + 18 = 22;
�(10, 0) = 10 + 0 = 10.
Jadi, maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah 22 (Jawaban C).
11. Jika �1 dan �2 akar-akar persamaan kuadrat �2+ 3�+ 1 = 0, maka
persamaan kuadrat dengan akar-akar 2 +�2��1 dan 2 +�1��2 adalah …
Pembahasan Misalkan,
� = 2 +�2 �1
� = 2 +�1 �2
Untuk menentukan nilai optimum dalam program linear, dapat digunakan uji titik pojok atau metode garis selidik.
Dengan �1+�2 = −3�1=−3 dan �1�2 = 1 1� = 1, kita peroleh
Jadi, persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar � dan � adalah
�2 −(�+�)�+��= 0⟺ �2−11�+ 19 = 0.
(Jawaban A)
12. Agar sistem persamaan
�
2� − � −1 = 0 4� − � −5 = 0 �� − � −7 = 0
Mempunyai penyelesaian, maka nilai � adalah …
Pembahasan Perhatikan bahwa sistem persamaan tersebut terdiri dari tiga persamaan dua variabel. Agar sistem persamaan tersebut memiliki selesaian, maka persamaan �� − � −7 = 0 haruslah memuat selesaian
Pertama, kita tentukan titik potong garis dengan persamaan 2� − � − 1 = 0 dan 4� − � −5 = 0. Dengan substitusi �, kita peroleh
2� −1 = 4� −5 substitusi
⟺ 2� −4� = 1−5 isolasi suku dengan variabel �
⟺ −2� =−4 sederhanakan
⟺ � = 2 bagi kedua ruas dengan −2
Sehingga, � = 2(2)−1 = 3. Diperoleh titik potong kedua garis tersebut adalah (2, 3). Karena persamaan �� − � −7 = 0 harus memenuhi (2, 3), maka
�(2)−(3)−7 = 0 substitusi 2 ke � dan 3 ke �
⟺ 2� = 10 isolasi suku-�
⟺ � = 5 bagi kedua ruas dengan 2
Jadi, nilai dari � adalah 5 (Jawaban B).
13. Tiga puluh data mempunyai rata-rata �. Jika rata-rata 20% data di antaranya �+ 0,1, 40% lainnya adalah � −0,1, 10% lainnya lagi adalah � −0,5, dan rata-rata 30% data sisanya adalah �+�, maka
�=…
Pembahasan Rata-rata merupakan jumlah data dikurangi dengan banyak data. Pertama, kita tentukan banyaknya data pada masing-masing kelompok.
�1 = 20% × 30 = 6;
�2 = 40% × 30 = 12;
�3 = 10% × 30 = 3;
�4 = 30% × 30 = 9;
Sehingga, informasi dalam soal di atas dapat dimodelkan sebagai berikut.
�= 6(�+ 0,1) + 12(� −0,1) + 3(� −0,5) + 9(�+�) 30
Selanjutnya kita sederhanakan dan selesaikan persamaan di atas seperti berikut.
30� = 30� −2,1 + 9� sederhanakan
⟺ 9� = 2,1 isolasi suku-�
⟺ � =2,1
9 bagi kedua ruas dengan 9
⟺ � = 7
30 sederhanakan
Jadi nilai � adalah 7�30 (Jawaban B). 14. Nilai
1
2+ (log38)(log23 + log45)−4 log945
adalah …
Pembahasan Agar lebih mudah, kita sederhanakan satu per satu.
log38 = log323 = 3 log32
log23 + log45 = log23 + log225 = log2�3∙512�
4 log945 = 4 log3245 = 2 log345 = log3452
Sehingga, soal di atas ekuivalen dengan,
1
2+ (3 log32)�log2�3∙5
1
2�� −log3452
Rata-rata (�̅) sama dengan jumlah data dibagi dengan banyaknya data.
= 1
fungsi kuadrat tersebut. Atau dengan kata lain, titik (2�3, 0) dilaui oleh grafik fungsi �. Sehingga,
⟺ 4−8 +�2 = 0 sederhanakan
⟺ �2 = 4 hasil
Sehingga,
�2 − �2 = 9−4 = 5
(Jawaban D).
