PERLUASAN HARNACK DAN SIFAT CAUCHY INTEGRAL HENSTOCK-DUNFORD PADA RUANG EUCLIDE

(1)

8

Solikhin

Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang

e-mail : soli_erf@yahoo.com

Abstract.In this paper we study Henstock-Dunford integral on the Euclidean space ¡ . We n discuss some properties of the integrable. We prove the Harnack Extension theorems and the Cauchy extension theorems for Henstock-Dunford integral on the Euclidean space _{¡ .}n

Keyword : Henstock-Dunford integral, Harnack extension and Cauchy extension.

1. PENDAHULUAN

Sejak diperkenalkan oleh Ralph Henstock pada tahun 1960-an, yang merupakan pengintlakan dari integral Riemann, integral Henstock telah mengalami perkembangan baik dari segi teori maupun aplikasinya [1], [4], [6]. berdasarkan kajian tentang integral Henstock banyak sifat-sifat yang telah diungkap baik dalam ruang real ¡ [2], [7] maupun ruang Euclide ¡ [5]. n

Dunford mendefinisikan integralnya pada fungsi terukur lemah f dari ¡ ke n ruang Banach X (X* ruang dualnya) dan untuk setiap * *

x ÎX fungsi bernilai real

*

x f terintegral Lebesgue. Integral ini dikenal dengan integral Dunford [10]. Kajian integral Dunford telah diperluas ke dalam integral tipe Riemann (integral Henstock) pada ruang ¡ , yaitu dengan mendefinisikan fungsi bernilai realnya *

x f

terintegral Henstock. Hasilnya dikenal dengan integral Henstock-Dunford pada ruang ¡ [3]. Penelitian selanjutnya, integral Henstock-Dunford pada ruang ¡

digeneralisasi ke dalam ruang Euclide ¡ n [9]. Pembahasannya meliputi sifat-sifat sederhana dan beberapa teorema kekonvergenan [9].

Berdasarkan uraian tersebut, penulis akan meneliti sifat-sifat lebih lanjut dari integral Henstock-Dunford pada ruang Euclide ¡ . Sifat-sifat ini digeneralisasi n dari integral Henstock pada ruang real ¡ .

2. INTEGRAL HENSTOCK-DUNFORD PADA RUANG EUCLIDE

n ¡

Pada tulisan ini, dibahas definisi integral Henstock-Dunford pada ruang Euclide ¡ , sifat-sifat sederhana, dan n fungsi primitifnya mengacu pada [9]. Definisi 2.1 [9] Diberikan X ruang Banach dan X* ruang dualnya, volume-a pada _{¡ dan sel}n n

EÌ¡ . Fungsi

:

f E® X dikatakan terintegral Henstock -Dunford pada E jika untuk setiap

* *

x ÎX fungsi *

x f terintegral Henstock pada E dan untuk setiap sel AÌE

terdapat vektor x₍**_{f A}_{, ,}_a₎ÎX** sehingga

(**f A, , )

( )

*

( )

* A x _a x = H

ò

x f . Selanjutnya vektor ₍** ₎ ** , , f A x _a ÎX di atas disebut nilai integral Henstock-Dunford fungsi f pada A dan ditulis

(**f A, , )

(

)

A

x _a = HD

ò

f .

Jika f terintegral Henstock-Dunford pada

E, ditulis f ÎHD E

(

,a

)

.

Teorema 2.2 [9] Jika f ÎHD E( , )a maka

( , )

f ÎHD Aa untuk setiap sel bagian

AÌE.

Bukti :

(2)

9

Definisi 2.3 [9] Diberikan f ÎHD E( , )a

dan I( )E koleksi semua sel bagian di dalam E. Fungsi F: ( )I E ® X dengan rumus

(**, , )

(

)

( ) _{f A}

A

F A =x _a = HD

ò

f

dan F( )Æ =0, untuk setiap AÎ I( )E

disebut fungsi primitif-HD fungsi f .

Berdasarkan Definisi 2.3 maka fungsi F

merupakan fungsi aditif.

Teorema 2.4 [9] Jika f ÎHD E( , )a

dengan F sebagai primitif-HDnya maka

Fmerupakan fungsi aditif pada E. Bukti :

Fungsi f ÎHD E( , )a berarti untuk setiap

* *

x ÎX fungsi x f* terintegral Henstock pada E dan untuk setiap sel AÌE dan sel BÌE dengan m_a(AÇB)=0 berturut-turut terdapat vektor x₍**_{f A}_{, ,}_a₎ÎX** dan

( ) ** ** , , f B x _a ÎX sehingga ( )

( )

** * * , , ( ) f A A x _a x = H

ò

x f dan ( )

( )

** * * , , ( ) f B B x _a x = H

ò

x f . Dengan demikian diperoleh

(**f A, , )( *) (**f B, , )( *) x _a x +x _a x =

( )

*

( )

* A B H

ò

x f + H

ò

x f

( )

* A B H x f È =

_ò

(**f A B, , )( *) x _È _a x = untuk setiap x*ÎX*. Jadi ( ) ( ) ( ) ** ** ** , , , , , , f A f B f A B x _a +x _a =x _È _a atau ( ) ( ) ( ) F A +F B =F AÈB . ■

Akibat 2.5 [9] Jika f ÎHD E( , )a dengan

F sebagai primitif-HDnya dan

1, 2,..., p

E E E sel-sel di dalam E yang

tidak saling tumpang-tindih dan

1 p i i E E = =

_U

maka ( ) ** , , 1 1 ( ) ( ) i p p i f E i i F E F E x _a = = =

å

=

å

. Bukti :

Karena f ÎHD E( , )a dengan F sebagai primitif-HDnya, 1 p i i E E = =

_U

dengan 0 0 i j

E ÇE = Æ untuk setiap i¹ j maka diperoleh 1 ( ) p i i F E F E = æ ö = ç ÷ è

U

ø 1 ** , , p i i f E x a = æ ö ç ÷ ç ÷ è ø = U ( 1 ) ( 2 ) ₍ ₎ ** ** ** , , , , ... , _p, f E f E f E x _a x _a x _a = + + + 1 2 ( ) ( ) ... ( p) F E F E F E = + + + 1 ( ) p i i F E = =

å

(**, , ) 1 i p f E i x _a = =

å

. ■

Selanjutnya berdasarkan Definisi 2.1 maka integral Henstock-Dunford pada E

dapat dinyatakan seperti dalam teorema berikut.

Teorema 2.6 [9] Fungsi f ÎHD E( , )a

jika dan hanya jika terdapat fungsi aditif

: ( )

F I E ® X sehingga untuk setiap bilangan e > dan 0 x*ÎX* terdapat fungsi positif d pada E_{sehingga jika} AÌE sel dan D=

{

(

D x_i, _i

)

:i=1, 2,...,p

}

partisi Perron d-fine pada A berlaku

(

)

* 1 ( ) ( ) ( ) p i i i i x f x a D F D e = - <

å

atau * * 1 ( ) ( ) ( ) p i i i i x f x a D x F D e = - <

å

. ■

3. PERLUASAN HARNACK DAN SIFAT CAUCHY

Berikut ini dibahas perluasan Harnack dan Sifat Cauchy integral Henstock-Dunford pada ruang Euclide ¡ . n

Teorema 3.1 [3], [5], [8] (Ekstensi Harnack) Diberikan X ruang Banach dan X* ruang dualnya, volume-a pada

(3)

10 n

¡ , sel n

EÌ¡ , dan fungsi f E: ®¡ .

Himpunan G merupakan himpunan tertutup di dalam E dan

{ }

E_i i=1, 2,3,...

barisan himpunan sederhana yang tidak saling tumpang-tindih dengan

1 i i E E G ¥ = =

-U

. Jika f ÎHD G( , )a dan ( _i, )

f ÎHD E a untuk setiap iÎ¥ dengan

( )

* 1 i i _E H x f ¥ = < ¥

å

_ò

untuk setiap x*ÎX* maka f ÎHD E( , )a

dan

(

)

(

)

(

)

1 _i G i A E E HD f HD fc HD f ¥ = = +

å

ò

. Bukti :

Diberikan bilangan e > sebarang. 0 Karena f ÎHD G( , )a maka terdapat fungsi positif d pada G sehingga untuk ₀ setiap partisi Perron d -fine ₀ D₀ =

{

(

D x,

)

}

pada G berlaku

( )

*

( )

* 0 ( ) ( ) 4 G x f x a D - H x f <e

å

_ò

D untuk setiap x*ÎX*.

Karena f ÎHD E( _i, )a untuk setiap i

maka untuk bilangan e > di atas dan 0

* *

x ÎX terdapat fungsi positif d pada _i E_i

sehingga untuk setiap partisi Perron d -_i fine D_i =

{

(

D x,

)

}

pada Ei berlaku

( )

*

( )

* ( ) ( ) 4 i i E x f xa D - H x f <e

å

_ò

D .

Kemudian, karena diketahui

( )

* 1 i i E H x f ¥ = < ¥

å

ò

maka untuk setiap bilangan e > di atas 0 terdapat bilangan asli n sehingga untuk

i> berlaku N

( )

* 2 i i N E H x f e > <

å

ò

.

Dibentuk fungsi positif d pada E dengan rumus

{

}

{

}

0 1 1 0 min ( ), ( ),..., ( ) , ( ) min ( ), ( ) , , 1, 2,... N N i i N k i i N k x x x x G E x x x x E k d d d d d d = + ¥ = + ì ï æ ö ï _{Î Èç} ÷ ïï è ø = í ï ï ï _Î ₌ ïî

U

Dengan demikian untuk setiap partisi Perron d -fine D=

{

(

D x,

)

}

pada E

diperoleh

( )

* ( ) ( ) x f x a D

-å

D

( )

*

( )

* i i N G E H x f H x f > æ ö + ç ÷ ç ÷ è

ò

å

ò

ø

( )

*

( )

* 0 ( ) ( ) i E x f x a D H x f £ D

å

-

_ò

( )

0 * * 1 ( ) ( ) i n i i i N _E x f x a D H x f = < +

å

D

å

-

å

_ò

( )

0 * i i n _E H x f > +

å

_ò

4 4 2 e e e _e < + + = .

Hal ini berarti x f* terintegral Henstock pada E dan untuk setiap sel AÌE

terdapat vektor x₍**_{f A}_{, ,}_a₎ÎX** sehingga (**, , ) *

( )

*

( )

* 1 ( ) i f A i G E x _a x H x f H x f ¥ = =

_ò

+

å

_ò

.

Dengan kata lain f ÎHD E( , )a dan (**, , ) *

( )

*

( )

* 1 ( ) i f A i G E x _a x H x f H x f ¥ = =

ò

+

å

ò

Untuk setiap x*ÎX*. Jadi untuk setiap * *

x ÎX diperoleh (**, , )

(

)

(

)

1 i G f A i E E x _a HD fc HD f ¥ = =

ò

+

å

ò

. Ekuivalen

(4)

11

(

)

(

)

(

)

1 _i G i A E E HD f HD fc HD f ¥ = = +

å

ò

.■

Teorema 3.2 [5], [8] (Sifat Cauchy)

Diberikan X ruang Banach dan X*

ruang dualnya, volume-a pada ¡ ,dan n

sel EÌ¡ . Jika n ' ( , ) f ÎHD E a untuk setiap E'ÌE0 dan

(

)

(

)

' ' 1 lim i E E i E E HD f HD f ¥ ®

ò

=

å

₌

ò

ada maka f ÎHD E( , )a dan

(

)

(

)

1 _i i A E HD f HD f ¥ = =

å

ò

. Bukti :

Diberikan bilangan e > sebarang dan 0

* *

x ÎX . Karena '

( , )

f ÎHD E a untuk setiap E' ÌE0 maka terdapat fungsi positif d pada ' E' sehingga untuk setiap partisi Perron d -fine ' '

{

(

)

}

, D x = D pada ' E berlaku

( )

' ' * * ( ) ( ) 3 E x f x a D - H x f <e

å

ò

D . Diketahui bahwa

(

)

(

)

' ' 1 lim i E E i E E HD f HD f ¥ ®

ò

=

å

₌

ò

ada, berarti untuk setiap bilangan e > 0 dan x*ÎX* di atas terdapat bilangan

0 h> sehingga untuk ' 0 E ÌE dengan

(

'

)

E E a - <h berlaku

( )

' * * 1 3 i i E E H x f H x f e ¥ = -

å

<

ò

.

Untuk sebarang bilangan e > dan 0

* *

x ÎX di atas, dibentuk fungsi d pada

E dengan rumus

{

'

}

' ' ' * min ( ) , ( ) min ( ), , 3 ( ) 1 x x E x x x E x f x d d _e d ì _Î ïï =_í ì_ï ü_ï Ï ï í ý + ï ï_î ï_þ î .

Diambil sebarang partisi Perron d -fine

(

)

{

}

' " , D x = È = D D D pada E, dengan ' D dan _D"

berturut-turut partisi yang terkait dengan xÎE' dan xÏE'.

Dengan demikian diperoleh

( )

*

( )

* 1 ( ) ( ) i i _E x f x a D H x f ¥ = - =

å

_ò

D

(

' "

)

*

( )

* 1 ( ) ( ) i i _E x f x a D H x f ¥ = È

å

-

å

_ò

D D

( )

' ' ' * * ( ) ( ) x E E x f x a D H x f Î £ D

å

-

ò

( )

' * * 1 i i E E H x f H x f ¥ = +

ò

-

å

ò

( )

' " * ( ) ( ) x E x f x a D Ï + D

å

( )

' " * ( ) ( ) 3 3 x E x f x D e e _a Ï £ + + D

å

* * 2 ( ) 3 x f x 3x f x( ) 1 e e £ + + e < .

Hal ini berarti x f* terintegral Henstock pada E dan untuk setiap sel AÌE

terdapat vektor ₍** ₎ ** , , f A x _a ÎX sehingga (**, , ) *

( )

* 1 ( ) i f A i _E x _a x H x f ¥ = =

å

_ò

. Jadi f ÎHD E( , )a dan

( )

*

( )

* 1 i i A E H x f H x f ¥ = =

å

ò

.

Jadi untuk setiap x*ÎX* diperoleh

(

)

(

)

1 i i A E HD f HD f ¥ = =

å

ò

. ■ 4. PENUTUP

Dari pembahasan di muka diperoleh kesimpulan bahwa perluasan Harnack dan sifat Cauchy pada integral Henstock dapat digeneralisasi untuk integral Henstock-Dunford pada ruang Euclide ¡ . Untuk n penelitian lebih lanjut, dapat dikaji mengenai sifat-sifat smal Riemann sums

(5)

12

fungsi terintegral Henstock-Dunford pada ruang Euclide ¡ . n

5. DAFTAR PUSTAKA

[1] Boccuto, A., Skvortsov, A.V. (2004), Henstock-Kurzweil Type Integration of Riesz-Space-Valued Functions and Applications to Walsh Series, Real

Analysis Echange, 29(1): 419-439.

[2] Gordon, R.A. (1994), The Integral of

lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Mathematical Society, USA.

[3] Guoju, Ye., Tianqing, An. (2001), On Henstock-Dunford and Henstock-Pettis Integrals, IJMMS, 25(7): 467-478.

[4] Heikkila, S. (2011), Monotone Convergence Theorems for Henstock-Kurzweil Integrable Functions and Applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 377(1): 286-295.

[5] Indrati, Ch. R. (2002), Integral

Henstock-Kurzweil di dalam Ruang Euclide Berdimensi-n, Disertasi,

Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.

[6] Indrati, Ch.R., Surodjo, Budi. (2000),

Aplikasi Integral Henstock-Kurzweil pada Medan Vektor, Lembaga Penelitian UGM, Yogyakarta.

[7] Lee P.Y. (1989), Lanzhou Lectures on

Henstock Integration, World Scientific, Singapore.

[8] Rahman, Hairur. (2005), Integral

Henstock-Pettis pada ruang Euclide

n

¡ , Tesis, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.

[9] Saifullah. (2003), Integral

Henstock-Dunford pada Ruang Euclide ¡ , n Tesis, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.

[10] Schwabik, S., Guoju, Ye. (2004),

Topics in Banach Space Integration,