commit to user
1 BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perangkat lunak sebagai media pembelajaran telah menjadi sebuah tren di kalangan masyarakat. Media merupakan alat saluran komunikasi. Kata “media” berasal dari bahasa Latin dan merupakan bentuk jamak dari kata “medium” yang secara harfiah berarti “perantara” yaitu perantara sumber pesan dengan penerima pesan (Heinich, 1996). Media pembelajaran merupakan teknologi pembawa pesan yang dapat dimanfaatkan untuk keperluan pembelajaran. Media pembelajaran dapat berupa sarana komunikasi seperti buku, film, video, slide, maupun perangkat lunak (Susilana & Riyana, 2009). Perangkat lunak (software) merupakan istilah yang digunakan untuk menggambarkan instruksi-instruksi yang memberitahu perangkat keras untuk melakukan suatu tugas sesuai dengan perintah (Supriyanto & Muhsin, 2008). Berdasarkan pengertian media dan perangkat lunak maka dapat diketahui bahwa perangkat lunak sebagai media pembelajaran merupakan penerapan sebuah
software pada sebuah perangkat keras, seperti misalnya komputer, yang bertujuan
untuk menyampaikan pesan pembelajaran.
Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi mendorong modernisasi di setiap bidang pendidikan, termasuk bidang matematika. Model matematika kerap kali digunakan dalam berbagai bidang seperti bidang fisika, kimia, ekonomi, teknik sipil, teknik mesin, elektro, dan lainnya (Munir, 2003). Salah satu model matematika yang sering digunakan adalah polinomial. Persamaan polinomial
memiliki bentuk ݔ ܽ
ଵݔିଵ ܽଶݔିଶ ܽଷݔିଷ ڮ ܽ ൌ Ͳ dimana
ܽଵǡ ܽଶǡ ǥ ǡ ܽ merupakan koefisien real (James, Smith & Wolford, 2000). Sebuah polinomial dengan derajat n akan memiliki akar sebanyak n. Akar polinomial dapat berupa bilangan real atau kompleks dan atau mungkin keduanya (Press et al., 1989).
Penelitian mengenai pencarian akar kompleks polinomial telah banyak dilakukan. Salah satunya yakni penelitian yang bertajuk Menentukan Akar Kompleks Polinomial dengan Menggunakan Metode Bairstow dilakukan oleh Iges Windra, Minora Longgom Nasution, dan Meira Parma Dewi pada tahun 2013. Penelitian tersebut menyajikan langkah-langkah pencarian akar polinomial
commit to user
berderajat tinggi dengan menggunkaan Metode Bairstow. Hasil dari penelitian tersebut menyebutkan bahwa Metode Bairstow ternyata memiliki laju konvergensi yang cukup tinggi dan menghasilkan galat yang rendah (Windra, 2013). Perhitungan metode Bairtstow tersebut kemudian dikembangkan dan dikenal sebagai Algoritma Revisi Bairstow (James, Smith & Wolford, 2000). Perbedaan Algoritma Bairstow dan Revisi Bairstow hanya terdapat pada pencarian persamaan kuadrat dari sebuah persamaan polinomial.
Penelitian sebelumnya dilakukan oleh Mariana dimana Metode Muller dan Metode Bairstow diaplikasikan dengan menggunakan bantuan Matlab. Hasil penelitian berupa penemuan akar-akar polinomial kemudian dianalisa dan disimpulkan bahwa berdasarkan jumlah langkah kerja, metode Bairstow lebih baik kinerjanya dibandingkan metode Muller (Mariana, 2007). Namun, metode Muller telah sukses diaplikasikan pada komputer dengan menawarkan beberapa keunggulan seperti misalnya tidak perlu menyediakan suatu pendekatan permulaan dan dapat menemukan akar-akar nyata maupun kompleks dari sebarang fungsi (Conte & Boor, 1992). Penelitian lainnya menyatakan bahwa penyelesaian persamaan polinomial berderajat tiga atau yang lebih dikenal sebagai persamaan kubik dapat dilakukan dengan menggunakan solusi Cardan. Penelitian ini mendefinisikan lima parameter fundamental persamaan kubik yang dapat memodifikasi metode standar dalam memecahkan persamaan kubik (solusi Cardan) secara signifikan (Nickalls, 1993).
Penyelesaian persamaan kubik tidak hanya dapat dilakukan dengan menggunakan solusi Cardan atau algoritma Cardano saja, tetapi juga dapat dilakukan dengan metode-metode lainnya. Metode-metode yang baik digunakan untuk menyelesaikan persamaan kubik yang memiliki akar rasional dapat
digunakan teorema faktor seperti substitusi Viete’s atau formula Cardano (Ming,
2010).
Berdasarkan penelitian-penelitian di atas, diketahui bahwa metode numerik lebih unggul dalam penyelesaian persamaan polinomial dibandingkan metode analitik. Pencarian akar-akar kompleks polinomial akan lebih mudah dilakukan dengan menggunakan suatu perangkat lunak yang menerapkan metode numerik. Namun, keempat penelitian mengenai pencarian akar kompleks polinomial
commit to user
dilakukan oleh matematikawan-matematikawan sehingga penelitian hanya fokus pada penyelesaian polinomial secara matematika saja, sedangkan media pembelajaran mengenai polinomial masih sangat minim. Oleh karena itu, peneliti tertarik untuk membuat sebuah perangkat lunak sebagai media pembelajaran polinomial. Perangkat lunak berupa sebuah kalkulator yangn didalamnya telah diimplementasikan metode-metode numerik khusus pencarian akar kompleks polinomial seperti rumus kuadrat, algoritma Cardano, Viete’s, Bairstow, revisi Bairstow, Muller, serta kombinasi algoritma. Sampai saat ini belum tersedia media pembelajaran kalkulator khusus pencarian akar-akar kompleks polinomial yang dilengkapi dengan beberapa pilihan algoritma.
Analisa dan perancangan program kalkulator dilakukan dengan menggunakan pendekatan UML dan diimplementasikan dengan menggunakan bahasa Java Swing GUI. Kalkulator yang dibuat dapat menghitung akar kompleks pada polinomial derajat dua, derajat tiga, derajat empat, dan derajat n. Galat (error) yang dihasilkan dari perhitungan pada masing-masing algoritma dalam pencarian akar kompleks polinomial akan dibandingkan untuk mengetahui algoritma terbaik. Kriteria algoritma terbaik adalah algoritma yang menghasilkan galat terendah dengan jumlah langkah kerja (iterasi) terkecil.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka dapat diidentifikasi rumusan masalah sebagai berikut:
1. Bagaimana pembangunan program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial berderajat n sebagai media pembelajaran?
2. Bagaimana perbandingan galat yang dihasilkan dalam pencarian akar kompleks polinomial berderajat n menggunakan rumus kuadrat, algoritma Cardano, Viete’s, Bairstow, Revisi Bairstow, dan Muller serta kombinasinya?
1.3 Batasan Masalah
Berdasarkan permasalahan-permasalahan yang telah dijelaskan, ruang lingkup pembahasan akan dibatasi pada:
commit to user
1. Algoritma yang digunakan untuk mencari akar kompleks polinomial disesuaikan berdasarkan derajat polinomial. Pilihan algoritma pencarian akar kompleks polinomial adalah sebagai berikut:
x Pencarian akar kompleks polinomial berderajat dua menggunakan rumus kuadrat.
x Pencarian akar kompleks polinomial berderajat tiga menggunakan algoritma Cardano, Viete’s, Bairstow, dan Revisi Bairstow.
x Pencarian akar kompleks polinomial berderajat empat adalah algoritma Muller, Bairstow, dan Revisi Bairstow.
2. Polinomial yang digunakan sebagai sampel dalam penelitian merupakan polinomial monoid.
3. Maksimal nilai derajat tertinggi (n) untuk pengujian kalkulator dalam penelitian ini adalah 8.
4. Perancangan program kalkulator menggunakan UML dilakukan dengan pembuatan use case diagram, activity diagram, sequence diagram, robustness
diagram dan class diagram.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Membangun program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial berderajat n sebagai media pembelajaran.
2. Membandingkan galat yang dihasilkan dalam pencarian akar kompleks polinomial berderajat n menggunakan rumus kuadrat, algoritma Cardano, Viete’s, Bairstow, Revisi Bairstow, dan Muller serta kombinasinya.
1.5 Manfaat Penelitian
Penelitian memberikan kontribusi sebagai media pembelajaran penyelesaian pencarian akar kompleks polinomial derajat n dengan membangun sebuah program kalkulator yang dapat digunakan oleh semua kalangan serta dapat menunjukkan algoritma terbaik dalam pencarian akar-akar kompleks polinomial derajat n.
commit to user 1.6 Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan penelitian ini terdiri dari beberapa bab, berikut ini merupakan uraiannya :
BAB I Pendahuluan
Pada bab ini diuraikan latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat serta sistematika penulisan.
BAB II Tinjauan Pustaka
Bab ini berisi teori polinomial, algoritma-algoritma khusus untuk pencarian akar-akar polinomial seperti rumus kuadrat, algoritma Cardano, Viete’s, Bairstow, Revisi Bairstow, dan Muller, bilangan kompleks, perhitungan galat, serta analisis dan perancangan sistem menggunakan UML. Pada bab ini juga dipaparkan beberapa penelitian terdahulu yang mendukung penelitian sekarang.
BAB III Metode Penelitian
Pada bab ini dijelaskan metode atau langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian secara detail.
BAB IV Hasil dan Pembahasan
Pada bab ini akan dipaparkan hasil perhitungan pencarian akar kompleks polinomial secara manual dan otomatis menggunakan kalkulator pencarian akar kompleks polinomial dengan menggunakan beberapa algoritma khusus seperti rumus kuadrat, algoritma Cardano, Viete’s, Bairstow, Revisi Bairstow, dan Muller serta kombinasinya. Selain itu, bab ini juga memaparkan perancangan dan pengujian program kalkulator serta analisis perbandingan galat masing-masing algoritma.
BAB V Penutup
Pada bab ini termuat kesimpulan tugas akhir dan saran-saran sebagai bahan pertimbangan dan pengembangan penelitian selanjutnya.
