Muhammad Istiqlal, M.Pd.|Metode Numerik 1 KESALAHAN DALAM METODE NUMERIK
Masalah yang diselesaikan menggunakan metode numerik pasti menghasilkan solusi berbentuk angka (numerik). Solusi dalam bentuk angka tersebut merupakan solusi hampiran atau pendekatan dan bukan merupakan solusi eksak/sebenarnya. Oleh karenanya, pasti terdapat kesalahan (error) terhadap solusi yang diperoleh. Terdapat 2 (dua) kesalahan/ error yang biasa digunakan dalam metode numerik, yaitu error mutlak dan error relatif.
1. Error Mutlak (e)
Error mutlak adalah selisih nilai sebenarnya (hasil penyelesaian analitik) dengan nilai pendekatan (hasil penyelesaian numerik).
Secara matematis : | ̂| dimana : e : error mutlak
: nilai sebenarnya ̂ : nilai pendekatan 2. Error Relatif (er)
Adalah persentase nilai error dibagi nilai sebenarnya, biasa disebut juga error fraksional Secara matematis : ( )
Error mutlak hanya menunjukkan besar kesalahan saja tidak bisa mengukur tingkat kesalahan, dalam praktek tingkat kesalahan sering digunakan. Besar tingkat kesalahan dapat diukur dengan error relatif.
Contoh 1 :
Diketahui panjang jembatan dan pensil sebenarnya (eksak) berturut-turut adalah 10 meter dan 10 cm. Jika jembatan dan pensil diukur dengan suatu alat ukur berturut-turut 999cm dan 9cm.
Maka dapat dihitung error mutlak dan error relatif sebagai berikut : Jembatan - Error mutlak | ̂| ( ) - Error Relatif ( ) ( )
Muhammad Istiqlal, M.Pd.|Metode Numerik 2 Pensil - Error mutlak | ̂| ( ) - Error Relatif ( ) ( )
Tampak bahwa kesalahan mutlak jembatan dan pensil sama, yaitu : 1 cm. Tetapi kesalahan relatif pensil jauh lebih besar dibanding jembatan. Hal ini berarti, pengukuran jembatan memberikan hasil yang lebih memuaskan dibanding pengukuran pensil.
Ada 2 (dua) sumber kesalahan/ error dalam metode numerik, yaitu : 1. Error pembulatan
Kesalahan yang terjadi sebagai akibat tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan (diganti dengan angka 0)
Contoh 2: = 3,1415926 dibulatkan menjadi 3,14 95231 dibulatkan menjadi 95000
2. Error Pemotongan
Kesalahan yang terjadi sebagai akibat tdak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur matematika yang benar, misalkan suatu proses tak terhingga dihitung atau diganti dengan proses berhingga.
Contoh 3: Misalkan : (penyelesaian eksak) : Jadi error pemotongannya :
| ̂| | | atau (
)
Muhammad Istiqlal, M.Pd.|Metode Numerik 3 Dalam metode numerik, nilai sejati hanya akan diketahui bilai kita berhadapan dengan fungsi-fungsi yang dapat diselesaikan secara analitik. Jenis demikian merupakan kejadian khusus (kasuistik), jika kita menyelediki perilaku teoritis suatu teknik tertentu. Tetapi dalam aplikasi dunia nyata, sebelumnya tentu saja kita tidak mengetahui jawaban sebenarnya. Untuk keadaan ini, suatu alternatif ialah menormalisasi kesalahan dengan menggunakan taksiran terbaik dari harga sebenarnya terhadap pendekatan (aproksimasi) itu sendiri, yaitu sebagai berikut : kesalahan aproksimasi .100% aproksimasi a
di mana simbol a menandakan bahwa kesalahan tersebut dinormalisasikan terhadapa sebuah harga aproksimasi. Salah satu tantangan dari metode numerik adalah menentukan taksiran kesalahan tanpa pengetahuan mengenai harga sebenarnya. Misalnya metode numerik tertentu memakai pendekatan iterasi untuk menghitung jawaban. Dalam hal semacam itu, suatu aproksimasi dibuat berdasarkan suatu aproksimasi sebelumnya. Prosesn tersebut dilakukan berulangkali atau secara iterasi supaya dapat menghitung aproksimasi yang lebih baik dan semakin baik. Untuk hal demikian kesalahan seringkali ditaksir sebagai perbedaan antara aproksimasi sebelumnya dengan aproksimasi sekarang. Jadi, kesalahan relative ditentukan menurut:
aproksimasi sekarang - aproksimasi sebelumnya
.100% aproksimasi sekarang
a
Ada baiknya juga menghubungkan kesalahan-kesalahan ini dengan jumlah angka signifikan pada pendekatan. Kita dapat menjamin bahwa hasilnya adalah betul hingga sekurang-kurangnya n angka signifikan.
2 (0,5 10 n)% a Contoh 4:
Taksiran Kesalahan bagi Metode Iterasi
Dalam matematika, fungsi-fungsi seringkali dapat dinyatakan oleh deret tak hingga, misalnya fungsi eksponensial dapat dihitung menggunakan :
2 3 1 2! 3! ! n x x x x e x n
Jadi, kalau lebih banyak suku ditambahkan ke dalam deret, aproksimasi menjadi taksiran yang jauh lebih baik daripada harga x
e sebenarnya. Persamaan ini disebut dengan perluasan Deret Maclaurin.
Muhammad Istiqlal, M.Pd.|Metode Numerik 4 Solusi :
Pertama, menentukan kesalahan agar meyakinkan suatu hasil sampai sekurang-kurangnya tiga angka signifikan:
2 3
(0,5 10 )% 0, 05%
s
Jadi, kita akan menambahkan suku-suku ke dalam deret sampat ea jatuh di bawah tingkat ini. Taksiran pertama = 1. Taksiran kedua kemudian dihasilkan dengan menambah suku kedua sebagai: 1 x e x Atau untuk x = 0,5 0,5 1 0,5 1,5 e
Untuk memberikan kesalahan relative persen sebenarnya dari persamaan ini adalah : 1, 648721271 1,5 .100% 9, 02% 1, 648721271 t
Persamaan di atas dapat dipakai untuk menentukan suatu taksiran aproksimasi kesalahan sebagai: 1,5 1 .100% 33,3% 1,5 a
Karena a tidak lebih kecil dari harga yang dibutuhkan a, kita akan melanjutkan komputasi dengan menambahkan suku lainnya, x2 / 2!, dan mengulangi kalkulasi kesalahan. proses itu berlanjut sampai a s. Komputasi keseluruhan dapat diringkaskan sebagai berikut:
Suku Hasil t % a % 1 2 3 4 5 6 1 1,5 1,625 1,645833333 1,648437500 1,648697917 39,3 9,02 1,44 0,175 0,0172 0,00142 33,3 7,69 1,27 0,158 0,0158
Jadi, setelah enam suku dimasukkan, kesalahan taksiran jatuh di bawah s 0, 05% dan perhitungan dihentikan. Tetapi perhatikan bahwa ketimbang tiga angka signifikan, hasilnya akurat sampai lima. Hal ini dikarenakan persamaannya konservatif. Artinya meyakinkan bahwa hasil itu sekurang-kurangnya sebaik yang ditentukan.
Muhammad Istiqlal, M.Pd.|Metode Numerik 5 Latihan Soal
1. Perluasan Deret Maclaurin untuk cos x adalah:
2 4 6 8
cos 1 ...
2! 4! 6! 8!
x x x x
x
Mulai dengan versi paling sederhana cos x = 1, tambahkan satu suku setiap kali menaksir cos( / 3) . Setelah setiap suku baru ditambahkan, hitung kesalahan relative persen aproksimasi dan sebenarnya. Pakailah kalkulator Anda untuk menentukan harga sebenarnya. Tambahkan suku-suku sampai harga absolut dari taksiran kesalahan aproksimasi jatuh di bawah kriteria kesalahan untuk memastikan sampai dua angka signifikan.
2. Lakukan perhitungan yang sama dalam soal nomor 1, tetapi gunakan perluasan Deret Maclaurin untuk: 3 5 7 sin ... 3! 5! 7! x x x x x
Muhammad Istiqlal, M.Pd.|Metode Numerik 6 AKAR PERSAMAAN NONLINEAR
Akar sebuah persamaan f(x) adalah titik potong antara sumbu X dan kurva f(x).
Untuk persamaan polynomial derajat 2 (kuadrat) : 2
0
ax bx c , akar-akarnya secara analitis dapat dicari dengan menggunakan rumus kuadrat.
√
Bagaimana dengan polynomial 3, 4, … atau persamaan nonlinear lainnya seperti persamaan eksponensial atau persamaan transendental?
Jika cara analitik sangat sulit atau tidak bisa menyelesaikannya. Maka solusinya adalah dengan Metode Numerik. Beberapa metode yang bisa digunakan untuk mencari akar persamaan adalah :
a. Metode Tertutup
Mencari akar pada interval tertentu, dalam interval tersebut dipastikan ada satu akar dan hasil selalu konvergen.
1. Metode Tabel
2. Metode Setengah Interval (Bisection) 3. Metode Interpolasi Linear (False Posision) b. Metode Terbuka
Dalam mencari akar diperlukan nilai awal (tebakan awal), misalkan x0 : nilai inilah yang digunakan untuk mencari nilai selanjutnya xn, hasilnya bisa konvergen atau divergen. 1. Metode Iterasi Sederhana
2. Metode Newton – Raphson 3. Metode Secan.
a f(a)
f(b) b
Muhammad Istiqlal, M.Pd.|Metode Numerik 7 METODE TERTUTUP
METODE TABEL
Akar persamaan fungsi f(x) berada dalam interval x [a,b]. Untuk mendapatkan nilai akar persamaannnya, interval x [a,b] dibagi menjadi N bagian dan dihitung nilai f(x) untuk setiap bagian. Sehingga diperoleh tabel seperti disamping.
a = Batas bawah (xbawah) b = Batas atas (xatas)
Algortimanya:
1) Definisikan fungsi f(x)
2) Tentukan range untuk x yang berupa batas bawah dan batas atas. 3) Tentukan jumlah pembagian N
4) Hitung step pembagi h 5) Untuk I = 0 s/d N, hitung
xi = xbawah + i.h yi = f(xi)
6) Untuk I = 0 s/d N dicari k dimana
Bila f(xk) = 0 maka xk adalah penyelsaian Bila f(xk).f(xk-1) < 0 maka :
- Bila |f(xk)| < |f(xk-1)| maka xk adalah penyelesaian
- Bila tidak xk-1 adalah penyelsaian atau dapat dikatakan penyelesaian berada di antara xk dan xk-1 x f(x) x0 = a f(a) x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3) … … xn = b f(b)
Muhammad Istiqlal, M.Pd.|Metode Numerik 8 Contoh 5:
Diketahui persamaan nonlinear f(x) = x + ex. Tentukan akar persamaan nonlinear tersebut dalam interval x[-1,0].
Dengan membagi interval x[-1,0] menjadi 10 bagian, maka diperoleh 11 nilai x = {-1,0,-0.9,-0.8,…,-0.1,0.0}. Kemudian dicari nilai f(x)nya. Misalkan :
f(-0.5) = -0.5 + e-0.5 = 0,10653.
Dari tabel di atas, akar persamaan sebenarnya terletak antara interval x[-0.6,-0.5]. Dari 2 nilai tersebut dapat dipilih nilai pendekatan akar persamaannya, yaitu: -0.6, karena f(-0.6) = -0.05119 , f(-0.5) = 0.10653.
Latihan Soal
1. Dengan membagi interval x [-0.6,-0.5] menjadi 5 bagian. Dengan menggunakan Metode Tabel tentukan akar persamaan nonlinear f x
x ex .2. Tentukan akar persamaan f x
x3x2 – 3 – 3x pada interval x[1,2].Metode tabel cenderung memberikan hasil yang kurang teliti (memberikan error yang kebih besar) disbanding metode lainnya. Tetapi metode ini dapat digunakan untuk menentukan taksiran nilai awal sebelum menggunakan metode selanjutnya.
x f(x) -1.0 -0.63212 -0.9 -0.49343 -0.8 -0.35067 -0.7 -0.20341 -0.6 -0.05119 -0.5 0.10653 -0.4 0.27032 -0.3 0.44082 -0.2 0.61873 -0.1 0.80484 0.0 1.00000
Muhammad Istiqlal, M.Pd.|Metode Numerik 9 Referensi
Steven C. Chapra & Raymond P. Canale. 2007. Metode Numerik untuk Teknik Dengan Penerapan pada Komputer Pribadi. Jakarta: UI Press.
Mohammad Farhan Q. (2010). Modul Praktikum Metode Numerik (Hand Out). UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta.
