06 - PDB dengan Transformasi Laplace

PERSAMAAN DIFERENSIAL dengan TRANSFORMASI LAPLACE

Ditemukan oleh Pierre-Simon Laplace, Matematikawan Prancis (1749-1827).

Transformasi Laplace menyediakan:

 Representasi Input, output, dan sistem sebagai entitas yang terpisah.

 Hubungan aljabar sederhana antara Input, Output, dan Sistem.

Keterbatasan Transformasi Laplace:

 Berfungsi dalam DOMAIN FREKUENSI.

 Valid ketika sistem bersifat LINIER.

Persamaan Differensial yang diperoleh dari pemodelan matematik suatu sistem mewakili proses dinamik dari sistem tersebut dimana respons-nya akan bergantung pada

masukannya.

 Solusi dari persamaan differensial terdiri dari solusi steady state (didapat jika semua kondisi awal nol) dan solusi transien (mewakili pengaruh dari kondisi awal).

 Transformasi Laplace merupakan salah satu tools yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial seperti ditunjukkan pada gambar Aplikasi Transformasi Laplace

Aplikasi Transformasi Laplace

Contoh 6.1

Selesaikan persamaan diferensial linier homogen berikut:

Jawab:

Ingat bahwa tujuan kita adalah menyelesaikan persamaan tersebut untuk mendapatkan fungsi 𝑦 𝑡 = ?, maka pertama-tama yang dilakukan adalah mengubah persamaan

diferensial dalam Transformasi Laplace

Persamaan di atas dapat juga ditulis dalam bentuk:

Cara mudah untuk mengingatnya, adalah bahwa pangkat dari 𝒔 menurun, sedangkan pangkat dari turunan 𝒚 mengalami kenaikan. Selanjutnya transformasikan persamaan contoh soal di atas, dari domain 𝒕 ke domain 𝒔 dengan Transformasi Laplace :

Perhatikan persamaannya, ada turunan pertama dan kedua, dimana komponen Laplace-nya:

𝑑

²

𝑦

𝑑𝑡

²

= 𝑦

^′′

= 𝑠

²

𝑌 𝑠 − 𝑦

^′

0 − 𝑠𝑦(0) 𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 𝑠𝑌 𝑠 − 𝑦(0) 𝑦 = 𝑌(𝑠)

Sehingga

menjadi:

𝑠

²

𝑌 𝑠 − 𝑠𝑦 0 − 𝑦

^′

(0) − 4 𝑠𝑌 𝑠 − 𝑦 0 + 3𝑌 𝑠 = 0

⇨ 𝑠

²

𝑌 𝑠 − 𝑠𝑦 0 − 𝑦

^′

(0) − 4𝑠𝑌 𝑠 + 4𝑦 0 + 3𝑌 𝑠 = 0

Sederhanakan dan terapkan syarat batas 𝑦 0 = 1 dan 𝑦^′ 0 = 0

⇨ 𝑠

²

𝑌 𝑠 − 𝑠𝑦 0 − 𝑦

^′

(0) − 4𝑠𝑌 𝑠 + 4𝑦 0 + 3𝑌 𝑠 = 0

⇨ 𝑠

²

𝑌 𝑠 − 𝑠. 1 − 0 − 4𝑠𝑌 𝑠 + 4.1 + 3𝑌 𝑠 = 0

⇨ 𝑠

²

𝑌 𝑠 − 𝑠 − 4𝑠𝑌 𝑠 + 4 + 3𝑌 𝑠 = 0

⇨ 𝑠

²

𝑌 𝑠 − 4𝑠𝑌 𝑠 + 3𝑌 𝑠 = s − 4

⇨ 𝑠

²

− 4𝑠 + 3 𝑌(𝑠) = s − 4

Diperoleh:

Dari bentuk ini, diubah bagian fraksinya :

perhatikan bagian ini

…….(6.1)

Untuk mendapatkan koefisien 𝐴, kedua ruas persamaan (6.2), kalikan dengan (𝑠 − 1), didapat:

(6.2)

Subtitusikan dengan 𝑠 = 1, didapat:

Untuk mendapatkan koefisien 𝐵, kalikan dengan (𝑠 − 3) dan substitusikan dengan 𝑠 = 3 :

Koefisien 𝐴 dan 𝐵 subtitusikan kembali ke pers (6.1):

Untuk mencari solusi persamaan diferensial asal, ubah 𝑌(𝑠) dari domain 𝑠 ke domain 𝑡 menggunakan invers TL dengan bantuan Tabel, diperoleh:

Diperoleh:

Tabel Transformasi Laplace dapat dilihat pada slide berikutnya:

Untuk solusi di atas

Contoh 6.2

Selesaikan persamaan diferensial linier non homogen berikut:

Jawab

Persamaan diferensial linier ini dalam transformasi Laplace baik ruas kiri maupun ruas kanan:

Soal Latihan: (……silahkan di-latih-latih di rumah……)

Selesaikan persamaan diferensial berikut, dengan Transformasi Laplace:

2.

1.

3.