Analisis Galat (Kesalahan)

ANALISIS GALAT (ERROR)

Rizki Yusliana Bakti, S.T.,M.T

Universitas Muhammadiyah Makassar

Definisi

Galat (kesalahan) didefinisikan sebagai selisih antara nilai exact (sebenarnya) dengan nilai perkiraan atau pendekatan.

Nilai Galat

Besarnya kesalahan atas suatu nilai taksiran dapat dinyatakan secara kuantitatif dan kualitatif.

Besarnya kesalahan yang dinyatakan secara kuantitatif disebut Kesalahan Absolut / Galat Mutlak.

Besarnya kesalahan yang dinyatakan secara kualitatif disebut dengan Kesalahan Relatif.

Galat 𝜺 = 𝒂 − ෝ𝒂

Galat Mutlak 𝜺_𝒎 = 𝒂 − ෝ𝒂

Galat Relatif 𝜺_𝑹 = 𝜺_𝒎ൗ

𝒂 × 𝟏𝟎𝟎%

Galat Relatif Hampiran 𝜺_𝑹𝑨 = 𝜺_𝒎ൗ

ෝ

𝒂 × 𝟏𝟎𝟎%

KETERANGAN:

𝜀 ∶ 𝐺𝑎𝑙𝑎𝑡 𝒂 : nilai eksak

ෝ

𝒂 : nilai perkiraan 𝜺_𝒎 : Galat mutlak 𝜺_𝑹 : Galat relatif

𝜺_𝑹𝑨 : Galat relatif hampiran

Galat Mutlak

Galat mutlak tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan, tetapi hanya sekedar menunjukkan selisih perbedaan antara nilai eksak dengan nilai perkiraan.

Galat Relatif

Galat relatif menunjukkan besarnya tingkat kesalahan antara nilai perkiraan dengan nilai eksaknya yang dihitung dengan membandingkan kesalahan absolut terhadap nilai eksaknya (biasanya dinyatakan dalam % ).

Galat Relatif Hampiran

Galat relatif hampiran menunjukkan besarnya tingkat kesalahan antara nilai perkiraan dengan nilai eksaknya yang dihitung dengan membandingkan kesalahan absolut terhadap nilai perkiraan.

Contoh 1

Rudi membeli kabel listrik 30 meter dari sebuah toko alat-alat elektronika.

Setelah diukur ulang oleh Rudi

sesampainya di rumah, kabel tersebut ternyata hanya mempunyai panjang 29,97 meter. Berapa Mutlak, Galat

relatif dan Galat relatif hampiran hasil pengukuran yang dilakukan oleh Rudi?

Dik :

𝑎 = 30 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟

ො

𝑎 = 29,97 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 Dit :

𝜀 = … ? 𝜀_𝑅 = ⋯ ? 𝜀_𝑅𝐴 = ⋯ ? Peny :

𝜀 = 30 − 29,97 = 0,03𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 𝜀_𝑅 = 0,03

30 × 100% = 0,1%

𝜀_𝑅𝐴 = 0,03

29,97 × 100% = 0,1001%

Contoh 2

Hasil pengukuran sebuah jembatan = 9.999cm Hasil pengukuran sebuah paku = 9 cm

Jika nilai pengukuran sebenarnya berturut – turut adalah 10.000 cm dan 10 cm, hitung

galat mutlak dan galat relatif dari kedua hasil pengukuran. Manakah yang memberikan hasil pengukuran yang lebih baik?

Jawab

Galat Mutlak

Jembatan → 𝜀_𝑚 = 10.000 − 9.999 = 1 𝑐𝑚

Paku →𝜀_𝑚 = 10 − 9 = 1 𝑐𝑚 Galat Relatif

Jembatan →𝜀_𝑅 = ¹

10.000 × 100% = 0,01%

Paku → 𝜀_𝑅 = ¹

10 × 100% = 10%

Kesimpulan “Hasil pengukuran jembatan lebih baik dari hasil pengukuran paku.”

Soal

Diketahui:

𝑎 = 10ൗ

ො 3

𝑎 = 3,333 Hitung:

a. Galat Mutlak

b. Galat Relatif

c. Galat Relatif Hampiran

Macam – Macam Galat

Ada 3 macam kesalahan dasar:

1.Galat bawaan (Inherent Error)

2.Galat pemotongan (Truncation Error) 3.Galat pembulatan (Round-off Error)

Galat Bawaan

Galat bawaan adalah Galat dalam nilai data. Terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur. Kesalahan ini sering terjadi karena faktor human error.

Contoh:

Pengukuran selang waktu 2,3 detik :

Terdapat beberapa galat karena hanya dengan suatu kebetulan selang waktu akan diukur tepat 2,3 detik.

Galat Pemotongan

Berhubungan dengan cara pelaksanaan prosedur

numerik. Kesalahan ini terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar.

Contoh pada deret Taylor tak berhingga:

sin 𝑥 = 𝑥 − 𝑥³

3! + 𝑥⁵

5! − 𝑥⁷

7! + 𝑥⁹

9! − ⋯ ⋯

Dapat dipakai untuk menghitung sinus sebarang sudut x dalam radian. Karena deretnya tak berhingga, kita berhenti pada suku tertentu misal x^9. Suku yg dihilangkan menghasilkan suatu galat.

Dalam perhitungan numerik galat ini sangat penting

Galat Pembulatan

Galat ini terjadi akibat pembulatan angka. Terjadi pada komputer yg disediakan beberapa angka tertentu.

misal; 5 angka :

9,2654 + 7,1625 = 16,4279

Ini terdiri 6 angka sehingga tidak dapat disimpan dalam komputer kita dan akan dibulatkan menjadi 16,428

Angka Bena

Konsep angka bena (significant figure) atau angka berarti telah dikembangkan secara formal untuk menandakan

keandalan suatu nilai numerik. Angka bena adalah angka bermakna, angka penting, atau angka yang dapat

digunakan dengan pasti.

Contoh

43.123 memiliki 5 angka bena (yaitu 4,3,1,2,3) 0.1764 memiliki 4 angka bena (yaitu 1,7,6,4) 0.12 memiliki 2 angka bena ( yaitu 1,2)

278.300 memiliki 6 angka bena (yaitu 2,7,8,3,0,0)

0.001360 memiliki 4 angka bena, di mana tiga buah angka nol pertama tidak berarti,

sedangkan 0 yang terakhir angka berarti karena pengukuran dilakukan sampai

ketelitian 4 digit.

4.3123 x 10 ¹ memiliki 5 angka bena 1.764 x 10^-1 memiliki 4 angka bena

Di dalam metode numerik sering dilakukan pendekatan secara iteratif. Pada pendekatan tsb perkiraan sekarang dibuat berdasarkan perkiraan sebelumnya. Dalam hal ini, galat adalah perbedaan antara perkiraan

sebelumnya dan perkiraan sekarang dan galat relatif diberikan oleh bentuk berikut:

𝜀_𝑅𝐴 = 𝑎ො_𝑛+1 − ො𝑎_𝑛

ො

𝑎_𝑛+1 × 100%

Dimana:

ො

𝑎_𝑛 = nilai perkiraan pada iterasi ke n

ො

𝑎_𝑛+1= nilai perkiraan pada iterasi ke n+1

Hitung kesalahan yang terjadi dari nilai 𝑒^𝑥 dengan 𝑥 = 0,5, apabila hanya diperhitungkan 6 suku pertama. Nilai sebenarnya dari 𝑒^𝑥 = 1,648721271

𝑒^𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥²

2! + 𝑥³

3! + 𝑥⁴

4! + ⋯ Jawab:

Suku pertama 𝑒^𝑥 = 1

𝜀_𝑅 = 1,648721271 − 1

1,648721271 × 100% = 39,35%

Suku kedua

𝑒^𝑥 = 1 + 0,5 = 1,5

𝜀_𝑅 = 1,648721271 − 1,5

1,648721271 × 100% = 9,02%

𝜀_𝑅𝐴 = 1,5 − 1

1,5 × 100% = 33,33%

Hasil perhitungan galat

Hitung galat untuk Suku ke 3 sampai suku ke 6 !!!