Analisis Sensitivitas Model Pemrograman Linear

ANALISIS SENSITIVITA

S

KELOMPOK 6

Shalsha Nazillah

01

Anggota Kelompok 6

Reynaldy Hutabara

t

02

Selsa Gres Purba

03

Yohana Yulia

04

Topik yang Akan dibahas

1. Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan untuk Variabel NonBasis

2. Perubahan Koefisien Fungsi Objektif Variabel Basis

3. Perubahan pada ruas kanan (RHS) suatu fungsi kendala (constraint)

4. Perubahan kolom untuk suatu variabel non basis

5. Penambahan aktivitas baru (penambahan

variabel)

Akan dipelajari enam tipe perubahan dalam parameter model Pemrograman Linier yang dapat mengubah solusi optimal:

•

Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel nonbasis

•

Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis

•

Perubahan pada ruas kanan (RHS) suatu fungsi kendala (constraint)

•

Perubahan kolom untuk suatu variabel nonbasis

•

Penambahan aktivitas baru (penambahan variabel)

•

Penambahan suatu fungsi kendala baru (constarint).

Analisis Sensitivitas dengan

Tablo Simpleks

01

Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan untuk

Variabel NonBasis

Contoh Kasus

��� � =  60�

₁

+ 30�

₂

+ 20�

₃

+ 0�

₁

+ 0�

₂

+ 0�

₃ s.t 8�₁

+ 6�

₂

+ �

₃

+ �

₁

= 48

4�

₁

+ 2�

₂

+ 1,5�

₃

+ �

₂

= 20 2�

₁

+ 1,5�

₂

+ 0,5�

₃

+ �

₃

= 8

�

₁

, �

₂

, �

₃

, �

₁

, �

₂

, �

₃

  ≥ 0

Basic �2 �2 �3 �1 �3 �1 Rhs

�₁ -2 8 -8 1 0 0 24

�₃ -2 2 -4 0 1 0 8

�₁ 1,25 -0,5 1,5 0 0 1 2

z 5 10 10 0 0 0 280

Diketahui tablo optimal :

Andaikan perusahaan tersebut mampu

meningkatkan keuntungan per unit produk 2 dari

$30 ke $34, apa yang dapat kita sarankan pada

manajer?

Penyelesaian:

Rumus Penting Tablo Optimum

�

_���

�

_��

RHS

�

_��

�

⁻¹

�

_�

I �

⁻¹

�

z �

_��

�

⁻¹

�

_�

− �

_�

0 �

_��

�

⁻¹

�

Berdasarkan fungsi tujuan ��� � =  ���

_�

+ ���

_�

+ ���

_�

+ ��

_�

+

��

_�

+ ��

_�

koefisien �

_�

(�

_�

) = 30

Koefisien tersebut akan diubah menjadi �

_�′

= ��

Solusi optimal yang lama akan tetap optimal jika

�

_� yang baru (

�

_��) bernilai positif (non negatif)

�

_��

= 0 20 60 , �

⁻¹

�

_�

=   −2 2 −8

−2 2 −4

1,25 −0,5 1,5

�

_�2

= �

_��

�

⁻¹

�

_�

− �

_�

=   0 20 60 −2

1,25 −2 − (30 + ∆) ≥ 0

= 35 − (30 + ∆) ≥ 0

= 5 − ∆  ≥ 0 → ∆  ≤ 5

  ∆  = �

_����

− �

_����

≤ 5

�

_����

− 30 ≤ 5

�

_����

≤ 35

  Oleh karena 34   ≤ 35 , maka produksi  �

₂

 tidak disarankan.

Andaikata perusahaan tersebut mampu meningkatkan keuntungan per unit produk 2  menjadi $37, tentukan solusi optimal yang baru.

�

_�2

= �

_��

�

⁻¹

�

_�

− �

_�

=   0 20 60 −2

1,25 −2 − (37) =− 2

Basic

�

₂

�

₂

�

₃

�

₁

�

₃

�

₁ Rhs

�

₁ -2 8 -8 1 0 0 24

�

₃ -2 2 -4 0 1 0 8

�

₁ 1,25 -0,5 1,5 0 0 1 2

z -2 10 10 0 0 0 280

Kita lanjutkan tablo simpleks ini sampai baris z semuanya non negatif.

Tablo yang di atas belum optimal. Langkah selanjutnya yaitu menentukan kolom kunci, 

baris kunci, dan unsur kunci.

Basic �₂ �₂ �₃ �₁ �₃ �₁ Rhs Ratio

�₁ -2 8 -8 1 0 0 24 24/-2 = none

�₃ -2 2 -4 0 1 0 8 8/-2 = none

�₁ 1,25 -0,5 1,5 0 0 1 2 2/1,25 = 1,6

z -2 10 10 0 0 0 280 280/-2 = none

Basic �₂ �₂ �₃ �₁ �₃ �₁ Rhs

�₁ 0 14/5 28/5 1 0 8/5 136/5

�₃ 0 14/5 -8/5 0 1 8/5 56/5

�₂ 1 -2/5 6/5 0 0 4/5 8/5

z 0 10 ⁴₅ 12²₅ 0 1 8/5 283¹₅

Selanjutnya, akan dilakukan OBE:

•b1'=b1+2b'3

•b2'=b2+2b'3

•b3'=45b3

•b0'=b0+2b'3

Berdasarkan OBE diatas, maka diperoleh Tablo 2, yaitu:

Tablo diatas sudah optimal, karena semua unsur di baris z (b0 ) sudah

bernilai positif. Sehingga diperoleh,

Solusi Optimal:

�

₁

= �

₂

= �

₃

= 0

�

₁

= 136

5 = 27,2

�

₃

= 56

5 = 11,2

�

₂

= 8

5 = 1,6 Z = 283,2

Z =  60�

₁

+ 37�

₂

+ 20�

₃

= 60(0) + 37(1,6) + 20(11,2)

= 283,2

Perubahan Koefisien Fungsi Objektif Variabel

Basis

02

Contoh Kasus

��� �

=  60�₁ + 30�₂+ 20�₃ + 0�₁ + 0�₂ + 0�₃ s.t 8�₁ + 6�₂ +

�

₃ +

�

₁ = 48

4�₁ + 2�₂ + 1,5�₃ +

�

₂ = 20 2�₁ + 1,5�₂ + 0,5�₃ +

�

₃ = 8

�

₁,

�

₂,

�

₃,

�

₁,

�

₂,

�

₃  ≥ 0

Basic �₂ �₂ �₃ �₁ �₃ �₁ Rhs

�₁ -2 8 -8 1 0 0 24

�3 -2 2 -4 0 1 0 8

�₁ 1,25 -0,5 1,5 0 0 1 2

z 5 10 10 0 0 0 280

Diketahui tablo optimal :

Andaikan profit yang dihasilkan produk 1 menurun, dari

$60 ke $50, apa yang dapat disarankan kepada manajer?

Penyelesaian:

�_�� �_�� RHS

�_�� �⁻¹�_� I �⁻¹�

z �_���⁻¹�_�

− �_�

0 �_���⁻¹�

Rumus Penting Tablo Optimum

Berdasarkan fungsi tujuan max z= 60x1+30x2+20x3 koefisien x1 (c1) = 60.

Koefisien tersebut akan diubah menjadi c'1=50.

Solusi optimal yang lama akan tetap optimal jika

cBVaj-cj yang baru bernilai positif atau nol

�_�� = 0 20 60 + ∆ ,�⁻¹�_� =   −2 2 8

−2 2 −4

1,25 0,5 1,5

�_���⁻¹�_� − �_� =   0 20 60 + ∆   −2 2 8

−2 2 −4

1,25 0,5 1,5 − 30 0 0   

=   35 + 1,25∆ 10 − 0,5∆ 10 + 1,5∆ − 30 0 0

=   5 + 1,25∆ 10 − 0,5∆ 10 + 1,5∆

Dari hasil di atas diperoleh :

5 + 1,25∆  ≥ 0  → ∆ ≥− 4

10 − 0,5∆  ≥ 0  →  ∆  ≤ 20

10 + 1,5∆  ≥ 0  →  ∆  ≥   −²⁰₃

10 %

Maka, syarat solusi lama akan tetap optimal 

  −4 ≤ ∆  ≤ 20

−4 ≤ �

_����

− �

_����

  ≤ 20

�

_����

  − 4 ≤ �

_����

≤ 20 + �

_����

 

60  − 4 ≤ �

_����

≤ 20 + 60 56 ≤ �

_����

≤ 80

Jadi selama  �

_����

 terletak antara 56 sampai 80, maka solusi lama akan tetap optimal. Namun pada 

soal  �

_����

 adalah 50. Oleh karena itu solusi lama tidak lagi optimal sehingga tablo simpleks harus 

dilanjutkan. Akan tetapi, sebelum melanjutkan, entri pada baris z harus diubah karena perubahan 

koefisien.

Basic �₂ �₂ �₃ �₁ �₃ �₁ Rhs

�₁ -2 8 -8 1 0 0 24

�₃ -2 2 -4 0 1 0 8

�₁ 1,25 -0,5 1,5 0 0 1 2

z 5 10 10 0 0 0 280

∆ = �

_����

− �

_����

∆ = 50 − 60 =− 10

Maka :

5 + 1,25∆ 10 − 0,5∆ 10 + 1,5∆

5 + 1,25(−10) 10 − 0,5(−10) 10 + 1,5(−10) −15

2 15 −5

10 %

Basic �2 �2 �3 �1 �3 �1 Rhs

�₁ -2 8 -8 1 0 0 24

�3 -2 2 -4 0 1 0 8

�1 1,25 -0,5 1,5 0 0 1 2

z −15

2 15 −5 0 0 0 260

Sehingga diperoleh tablo simpleks yang baru :

260 pada rhs baris z dapat diperoleh dengan memasukkan solusi optimal pada fungsi objektif yang baru, yaitu :

50�₁+ 30�₂+ 20�₃ =

50(2) + 30(0) + 20(8) = 260 

Tablo yang baru di atas tidak optimal. Langkah selanjutnya menentukn kolom kunci dan baris kunci, dan unsur kunci

Basic �2 �2 �3 �1 �3 �1 Rhs

�₁ -2 8 -8 1 0 0 24

�₃ -2 2 -4 0 1 0 8

�1 1,25 -0,5 1,5 0 0 1 2

z −15

2 15 −5 0 0 0 260

Selanjutnya, melakukan OBE. Rumus dapat dilihat di bawah ini :

• �₁^′ = �₁+ 2�′₃

• �₂^′ = �₂+ 2�′₃

• �₃^′ = ⁴₅�₃

• �₀^′ = �₀+¹⁵₂ �′₃

Basic �₂ �₂ �₃ �₁ �₃ �₁ Rhs

�1 0 14

5

28

5 1 0 8

5

136 5

�₃ 0 14

5 −8

5 0 1 8

5

56 5

�2 1 −2

5

6

5 0 0 4

5

8

z 0 12 4 0 0 0 2725

Sehingga diperoleh tablo 2 :

Tablo 2 sudah optimal, sehingga diperoleh:

�

₁

= �

₂

= �

₃

= 0

�

₁

= 136

5 = 27,2

�

₃

= 56

5 = 11,2

�

₂

= 8

5 = 1,6 

Z = 272

Kesimpulan : berdasarkan tablo, karna profit dari x1 menurun, maka x1 tidak lagi diproduksi. Sebagai gantinya kita produksi x2.

Solusi Optimal:

03

Perubahan pada ruas kanan (RHS)

suatu fungsi kendala

(constraint)

Contoh Kasus

max � = 60�₁+ 30�₁+ 20�₁+  0�₁ + 0�₂+ 0�₃

s. t.        8�₁+ 6�₂+ �₃+ �₁       = 48        4�₁+ 2�₂+ 1,5�₃+ �₂       = 20

       2�₁+ 1,5�₂+ 0,5�₃+ �₃        = 8

Perubahan dapat terjadi karena sumber daya bisa

bertambah atau berkurang

�_��� �_�� ���

�_�� �⁻¹�_� � �⁻¹�

� �_���⁻¹�_�− � 0 �_���⁻¹�

�₂ �₂ �₃ �₁ �₃ �₁ ���

�1 −2 2 −8 1 0 0 24

�3 −2 2 −4 0 1 0 8

�1 1,25 −0,5 1,5 0 0 1 2

� 5 10 10 0 0 0 280

Tablo Optimal

Andaikata ruas sisi kanan kendala 2 meningkat dari 20 ke 22, apa yang dapat kita sarankan pada

manajer?

�_��� �_�� ���

�_�� �⁻¹�_� � �⁻¹�

� �_���⁻¹�_�− � 0 ����⁻¹�

�₂ �₂ �₃ �₁ �₃ �₁ ���

�₁ −2 2 −8 1 0 0 24

�₃ −2 2 −4 0 1 0 8

�1 1,25 −0,5 1,5 0 0 1 2

� 5 10 10 0 0 0 280

max � = 60�₁+ 30�₁+ 20�₁+  0�₁+ 0�₂+ 0�₃ s. t.       8�₁+ 6�₂ + �₃+ �₁       = 48

       4�₁+ 2�₂+ 1,5�₃+ �₂       = 20      �₂ = 22        2�₁ + 1,5�₂+ 0,5�₃+ �₃        = 8

Solusi optimal yang lama akan tetap optimal

jika �⁻¹� yang baru bernilai positif atau nol

�⁻¹� =  1 2 −8

0 2 −4

0 −0,5 1,5 48

208 + ∆         =   24 + 2∆

8 + 2∆

2 − 0,5∆

Solusi optimal yang lama akan tetap optimal jika �⁻¹� yang baru bernilai positif

�⁻¹� =   24 + 2∆

8 + 2∆

2 − 0,5∆

24 + 2∆  ≥ 0  →  ∆  ≥   − 12 8 + 2∆  ≥ 0  →  ∆  ≥   − 4

2 − 0,5∆  ≥ 0  →  ∆  ≥  4

Syarat solusi lama akan tetap optimal

−� ≤ ∆  ≤  �

−4 ≤ �

_{2 ����}

− �

_{2 ����}

≤ 4

�

_{2 ����}

− 4 ≤ �

_{2 ����}

≤ 4 + �

_{2 ����}

20 − 4  ≤ �

_{2 ����}

≤ 4 + 20 16  ≤ �

_{2 ����}

≤ 24

Sepanjang  16 ≤ �

_{2 ����}

≤ 24  , solusi basis saat ini akan tetap optimal, akan tetapi 

harga z tentu bisa berubah.

Contoh 1

�₂  = 22

�⁻¹� =  1 2 −8

0 2 −4

0 −0,5 1,5 48

208         =   28 121

�2 �2 �3 �1 �3 �1 ���

�₁ −2 2 −8 1 0 0 28

�₃ −2 2 −4 0 1 0 12

�₁ 1,25 −0,5 1,5 0 0 1 1

� 5 10 10 0 0 0 300

Harga z yang baru adalah

� = �_���⁻¹� = 0  20  60   28

121 = 300

� = 60�₁+ 30�₂+ 20�₃

� = 60(1) + 30(0) + 20(12) = 300

�₂  = 30

�⁻¹� =  1 2 −8

0 2 −4

0 −0,5 1,5 48

308         =   44

−328

Contoh 2

�₂ �₂ �₃ �₁ �₃ �₁ ���

�₁ −2 2 −8 1 0 0 44

�₃ −2 2 −4 0 1 0 28

�1 5

4 −1

2

3

2 0 0 1 −3

� 5 10 10 0 0 0 380

�₂ �₂ �₃ �₁ �₃ �₁ ���

�₁ 3 0 −14 1 0 4 32

�₃ 3 0 −10 0 1 4 16

�1 −10

4 1 −3 0 0 −2 6

� 30 0 40 0 0 20 320

Harga z yang baru adalah

� = 60�₁+ 30�₂+ 20�₃

� = 60(0) + 30(0) + 20(16) = 320

Perubahan kolom untuk suatu variabel non basis

04

Akan dipelajari enam tipe perubahan dalam parameter model Pemrograman Linier yang dapat mengubah solusi optimal:

•

Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel nonbasis

•

Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis

•

Perubahan pada ruas kanan (RHS) suatu fungsi kendala (constraint)

•

Perubahan kolom untuk suatu variabel nonbasis

•

Penambahan aktivitas baru (penambahan variabel)

•

Penambahan suatu fungsi kendala baru (constarint).

Analisis Sensitivitas dengan

Tablo Simpleks

Contoh Kasus

Max z = 60x₁ + 30x₂ + 20x₃ + 0s₁ + 0s₂ + 0s₃

s.t.     8x₁  +   6x₂  +    x₃  + s₁ = 48     4x₁  +   2x₂  + 1,5x₃        +  s₂ = 20     2x₁  + 1,5x₂ + 0,5x₃          + s₃       = 8

x₁,x₂,x₃,s₁,s₂,s₃≥0

X_NBV X_BV RHS XBV B-1aj 1 B^-1b Z cBVB-1aj-cj 0 cBVB^-1b

Tablo Optimal

x2 s2 s3 s1 x3 x1 RHS

s1 -2 2 -8 1 0 0 24

x3 -2 2 -4 0 1 0 8

x1 1,25 -0,5 1,5 0 0 1 2

z 5 10 10 0 0 0 280

Contoh 1

a₂ =  6

1,52  ,  c₂ = 30, a_2 baru =  5

22 ,  c_2 baru = 43.

Andai kata saat ini untuk koefisien teknis 2 = [(6),(2),(1,5)]

Sementara itu untuk satu unit provit 2 = 30

Dan misalkan ada perubahan dalam memproduksi produk 2

baru sehingga terdapat koefisien teknis = [(5),(2),(2)] dan

provit nya menjadi naik = 43. Dengan menggunakan rumus

dibawah ini :

Penyelesaian:

Solusi optimal yang lama akan tetap optimal jika c

_BV

B

^-

1

a

₂

-c

₂

yang baru bernilai positif atau nol

Subsitusikan ke tabel tablo optimal dengan

menggunakan metode simpleks

Contoh 2

a₂ = 6

1,52 , c₂ = 30, a_{2 baru} = 5

23 , c_{2 baru} = 40.

Tablo Optimal

XNBV XBV RHS XBV B^-1aj 1 B^-1b

Z cBVB-1aj-cj 0 cBVB^-1b

Andai kata saat ini untuk koefisien teknis 2 = [(6),(2),(1,5)]

Sementara itu untuk satu unit provit 2 = 30

Dan misalkan ada perubahan dalam memproduksi produk 2 baru sehingga terdapat  koefisien teknis = [(5),(2),(3)]  dan provit nya menjadi naik = 40.  Dengan  menggunakan rumus dibawah ini :

x2 s2 s3 s1 x3 x1 RHS

s1 -2 2 -8 1 0 0 24

x3 -2 2 -4 0 1 0 8

x1 1,25 -0,5 1,5 0 0 1 2

z 5 10 10 0 0 0 280

Penyelesaian:

Untuk contoh ini, solusi optimal yang lama masih akan tetap optimal karena nilai c

_BV

B

^-1

a

₂

-c

₂

bernilai positif.

05

Penambahan aktivitas baru

(penambahan variabel).

Contoh Kasus

Misalkan akan dibuat produk baru

sehingga formula program linear menjadi:

Contoh 1

a₄ =  1

11   c₄ = 15

Penyelesaian:

solusi optimal yang lama akan tetap optimal jika

komponen c

_BV

B

^-1

a

₄

-c

₄

yang baru bernilai positif atau

nol.

THANK YOU