INTEGRAL
Integral merupakan bentuk pada operasi matematika yang
menjadi kebalikan atau disebut invers dari operasi turunan dan limit dari jumlah ataupun suatu luas daerah tertentu. Berdasarkan pengertian otu ada dua hal yang dilakukan dalam integral hingga dikategorikan menjadi 2 jenis integral. Yaitu, integral sebagai
invers/ kebalikan dari turunan disebut juga sebagai Integral Tak
Tentu. Kedua, integral sebagai limit dari jumlah ataupun suatu
luas daerah tertentu yang disebut integral tentu.
Integral Tak Tentu
Integral tak tentu dalam bahasa Inggris biasa di kenal dengan
nama Indefinite Integral ataupun kadang juga di sebut Antiderivatif yang merupakan suatu bentuk operasi pengintegralan pada suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum
memiliki nilai pasti hingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tidak tentu ini disebut integral tak tentu.
Jika f berupa integral tak tentu dari suatu fungsi F maka F’= f. Proses memecahkan antiderivatif ialah
antidiferensiasi Antiderivatif yang terkait dengan integral melalui “Teorema dasar kalkulus”, dan memberi cara
mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.
Cara Membaca Integral Tak Tentu
∫ � � 2 ⅆ � = � �
+ 1 � � + 1 + ∁
Rumus Umum Integral
Di baca :
Integral Tak Tentu Dari Fungsi f(x) Terhadap Variabel X
Pengembangan Rumus Integral
Perhatikan contoh turunan dalam fungsi aljabar berikut ini:
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 – 6 adalah yI = 3×2 Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 8 adalah yI = 3×2 Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 17 adalah yI = 3×2 Turunan dari fungsi aljabar y = x3 adalah yI = 3×2
variabel pada suatu fungsi mengalami penurunan pangkat. Berdasarkan contoh itu, diketahui bahwasanya ada banyak fungsi yang mempunyai hasil turunan yang sama yaitu yI = 3×2. Fungsi dari variabel x3 maupun fungsi dari variabel x3 yang ditambah ataupun dikurang suatu bilangan (contoh: +8, +17, atau -6) mempunyai turunan yang sama. Jika turunan itu dintegralkan, harusnya menjadi fungsi-fungsi awal sebelum diturunkan. Akan tetapi, dalam kasus tidak diketahui fungsi awal dari suatu turunan
Contoh Soal Integral
Contoh soal 1
Diketahui :
Carilah integralnya ? Jawab
:
Contoh soal 2
Diketahui : Jawab:
Contoh Soal Integral
Contoh soal 3 Diketahui :
Carilah integralnya ?
Integral Trigonometri
Integral juga mampu dioperasikan pada fungsi trigonometri. Pengoperasian integral trigonometri dilakukan dengan konsep yang sama pada integral aljabar yaitu kebalikan dari penurunan. hingga bisa disimpulkan bahwa:
No Fungsi f (x) = y Turunan Intergal
1 Y = sin x cos x
2 Y = cos x - sin x
3 Y = tan x sec2 x
4 Y = cot x - csc2 x
5 Y = sec x tan x . sec x
6 Y = csc x - cot x . csc x
No Fungsi f (x) = y Intergal
1 Y = sin x cos x
2 Y = cos x - sin x
3 Y = tan x sec2 x
4 Y = cot x - csc2 x
5 Y = sec x tan x . sec x
6 Y = csc x - cot x . csc x
Menentukan Persamaan Kurva
Gradien dan persamaan garis singgung kurva di suatu titik. Jika y = f(x), gradien garis singgung kurva di sembarang titik pada kurva ialah y’ = = f'(x).
Oleh sebab itu, jika gradien garis singgungnya sudah diketahui jadi persamaan kurvanya bisa ditentukan dengan cara berikut.
y = ʃ f ‘ (x) dx = f(x) + c
Andai salah satu titik yang melalui kurva sudah diketahui, nilai c bisa diketahui sehingga persamaan kurvanya bisa ditentukan.
Contoh 1
Diketahui turunan y = f(x) ialah = f ‘(x) = 2x + 3 Andai kurva y = f(x) melalui titik (1, 6)
tentukan persamaan kurva tersebut.
Jawab :
f ‘(x) = 2x + 3.
y = f(x) = ʃ (2x + 3) dx = x2 + 3x + c.
Kurva melalui titik (1, 6), berarti f(1) = 6 hinggabisa di tentukan nilai c, yaitu 1 + 3 + c = 6 ↔ c = 2.
Maka, persamaan kurva yang dimaksud adalah y = f(x) = x2 + 3x + 2.
Menentukan Persamaan Kurva
Contoh 2
Gradien garis singgung kurva di titik (x, y) ialah 2x – 7. Jika kurva itu melalui titik (4, –2), tentukanlah persamaan kurvanya.
Jawab :
f ‘(x) = = 2x – 7
y = f(x) = ʃ (2x – 7) dx = x2 – 7x + c.
Karena kurva melalui titik (4, –2)
maka : f(4) = –2 ↔ 42 – 7(4) + c = –2 –12 + c = –2
c = 10
Maka, persamaan kurva tersebut yaitu y = x2 – 7x + 10.
