BIFURKASI LOCAL: SADDLE- NODE, TRANSCRITICAL

BIFURKASI LOCAL: SADDLE-

NODE, TRANSCRITICAL

GUSMANELY.Z, S.Pd., M.Si.

Meliana Pasaribu, M.Sc

Bifurkasi adalah munculnya keadaan dinamik sistem yang berbeda dengan potret fase karena adanya perubahan parameter. Bifurkasi mengacu pada perubahan keadaan dinamik suatu sistem berparameter.

Diberikan sistem ሶ𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝜇)

i) Jika 𝑓(𝑥, 𝜇) fungsi linear maka tidak mengalami bifurkasi

ii) Jika 𝑓(𝑥, 𝜇) fungsi kuadrat maka ada dua jenis bifurkasi yaitu bifurkasi saddle node dan bifurkasi transcritical

Bentuk umum bifurkasi saddle node adalah ሶ𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝜇 = 𝜇 − 𝑥² Bentuk umum bifurkasi transcritical adalah ሶ𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝜇 = 𝜇𝑥 − 𝑥² iii) Jika 𝑓(𝑥, 𝜇) fungsi kubik maka jenis bifurkasi pitchfork

Bentuk umum bifurkasi ini adalah ሶ𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝜇 = 𝜇𝑥 − 𝑥³

iv) Jika terdapat sepasang nilai eigen yang bernilai imajiner murni maka jenis bidurkainya adalah bifurkasi Hopf

PD Pertubasi ሶ𝒙 = 𝒇 𝒙, 𝝁 , 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝐟𝐮𝐧𝐠𝐬𝐢 𝐅 𝐛𝐞𝐫𝐮𝐩𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐠𝐬𝐢 𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫.

Persamaan diferensial ሶ𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝜇)

Phaseportrait dari PD

Untuk setiap nilai parameter 𝜇 yang berbeda solusi dari PD selalu menuju titik kesetimbangan sehingga PD tersebut tidak mengalami perubahan struktur orbit atau tidak mengalami bifurkasi.

PD Pertubasi ሶ𝒙 = 𝒇 𝒙, 𝝁 , 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝐟𝐮𝐧𝐠𝐬𝐢 𝐅 𝐛𝐞𝐫𝐮𝐩𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐠𝐬𝐢 𝐤𝐮𝐚𝐝𝐫𝐚𝐭.

Persamaan diferensial ሶ𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝜇)

, 𝑓(𝑥, 𝜇) merupakan fungsi kuadrat . Diketahui 𝑓 fungsi

𝐶² dan memiliki nilai ekuilibrium α(𝜇)

❖ Jika

α 𝜇 𝑓

^′′

𝑥 < 0

maka terdapat dua titik kesetimbangan.

❖ Jika α 𝜇 = 0 maka terdapat satu titik kesetimbangan

❖ Jika α 𝜇 𝑓^′′ 𝑥 > 0 tidak terdapat titik kesetimbangan

Phaseportrait untuk

𝑓

^′′

𝑥

yang berbeda

Jenis bifurkasi : Saddle Node Bifurcation

Persamaan diferensial ሶ𝑥 = 𝑐 + 𝑥

²

Phase portrait Diagram bifurkasi

Nilai bifurkasi 𝑐 = 0. Titik bifurkasi (0,0). Bentuk umum PD yang mengalami saddle node bifurcation ሶ𝑥 = 𝑐 ± 𝑥²

Jenis bifurkasi : Transcritical Bifurcation

Persamaan diferensial ሶ𝑥 = 𝑐𝑥 + 𝑥

²

Phase portrait

Diagram bifurkasi

Nilai bifurkasi 𝑐 = 0. Titik bifurkasi (0,0). Bentuk umum PD yang mengalami transcritical bifurcation ሶ𝑥 = 𝑐𝑥 ± 𝑥²

PD Pertubasi ሶ𝒙 = 𝒇 𝒙, 𝝁 , 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝐟𝐮𝐧𝐠𝐬𝐢 𝐅 𝐛𝐞𝐫𝐮𝐩𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐠𝐬𝐢 𝐤𝐮𝐛𝐢𝐤.

Jenis bifurkasi : Hysteresis Bifurcation

Persamaan diferensial ሶ𝑥 = 𝑐 + 𝑥 − 𝑥

³ mempunyai nilai minimum pada 𝑐₁ = − ²

3 3 dan mempunyai nilai maksimum pada

𝑐

₂

=

²

3 3.

Nilai bifurkasi 𝑐 = − ²

3 3 dan

𝑐 =

²

3 3. Diagram bifurkasi

Jenis bifurkasi : Supercritical pitchfork Bifurcation

Persamaan diferensial ሶ𝑥 = 𝑑𝑥 − 𝑥

³

Phase portrait

Diagram bifurkasi

Nilai bifurkasi 𝑐 = 0 dan titik bifurkasi

(0,0)

Jenis bifurkasi : Subcritical pitchfork Bifurcation

Persamaan diferensial ሶ𝑥 = 𝑑𝑥 + 𝑥

³

Phase portrait

Diagram bifurkasi

Nilai bifurkasi 𝑐 = 0 dan titik bifurkasi

(0,0)

Jenis bifurkasi : Imperfect Bifurcation

Persamaan diferensial ሶ𝑥 = 𝑐 + 𝑑𝑥 + 𝑥

³

Kurva bifurkasi 4𝑑³ = 27

𝑐

²

,

^yaitu

𝑐 =

^2𝑑

3

𝑑

3

= 𝑐

₁ ^{atau 𝑐 = −2𝑑}₃ ^𝑑₃ ^{= 𝑐}₂

Phase portrait

Diagram bifurkasi pada bidang (d,x)

𝑐 = 0

𝑐 ≠ 0

Diagram bifurkasi pada bidang (c,x)

𝑑 ≤ 0 𝑑 > 0