Definisi KOEFISIEN KORELASI

7.9 Koefisien Korelasi

Definisi 7.18: KOEFISIEN KORELASI

Jika X dan Y adalah dua peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka koefisien korelasi (dinotasikan dengan p ) didefinisikan sebagai:

p= E(XY)−E(X). E(Y)

√ ^{{ {}

^E

⁽

^X2

⁾

⁻

^[

^E(X)

^]

²

^}{

^E

⁽

^Y2

⁾

⁻

^[

^E(Y)

^]

²

^{} }}

Selain itu, penghitungan koefisien korelasi p dapat juga dilakukan berdasarkan fungsi pembangkit momen gabungan dari X dan Y . Rumus yang digunakannya sama seperti di atas, dengan mengganti:

a. E(XY) oleh ^∂

2M(0,0)

∂ t₁∂ t₂ b. E(X) oleh ∂ M(0,0)

∂ t₁ c. E

(

X²

)

oleh ∂²M(0,0)

∂ t₁² d. E(Y) oleh ∂ M(0,0)

∂ t₂ e. E

(

Y²

)

oleh ^∂

2M(0,0)

∂ t₂²

Dalam hal ini, kelima besaran tersebut mempunyai pengertian sebagai berikut.

a. ∂²M(0,0)

∂t₁∂t₂

Turunan parsial dari M(t1, t2) terhadap t₁ dahulu, kemudian hasilnya diturunkan lagi terhadap ^t2 , dan selanjutnya ^t1 dan ^t2 disamakan dengan nol.

b. ∂ M(0,0)

∂ t₁

Turunan parsial dari M(t₁,0) terhadap ^t1 , kemudian ^t1 disamakan dengan nol.

c. ∂²M(0,0)

∂ t₁²

Turunan parsial dari M(t₁,0) terhadap t₁ , kemudian hasilnya diturunkan lagi terhadap ^t1 , dan selanjutnya ^t1 disamakan dengan nol.

d. ∂ M(0,0)

∂ t₂

Turunan parsial dari M(0,t2) terhadap ^t2 , kemudian ^t2 disamakan dengan nol.

e. ∂²M(0,0)

∂ t₂²

Turunan parsial dari M(0,t₂) terhadap t₂ , kemudian hasilnya diturunkan lagi terhadap ^t2 , dan selanjutnya ^t2 disamakan dengan nol.

Dengan demikian, penghitungan derajat hubungan antara dua buah peubah acak X dan Y dapat digunakan dengan dua cara, yaitu:

1. perumusan ekspektasi,

2. perumusan fungsi pembangkit momen gabungan.

Pemahaman penggunaan rumus koefisien korelasi dari peubah acak diskrit di atas diperjelas melalui Contoh 7.17.

Contoh 7.17

p(x , y)=

(

21¹

)

^{(x+y);x=1,2, 3, dan y=1, 2.}

Hitung koefisien korelasi p dengan dua cara, yaitu : a. perumusan ekspektasi

b. perumusan fungsi pembangkit momen gabungan dari X dan Y . Penyelesaian:

a. Perumusan ekspektasi.

p= E(XY)−E(X). E(Y)

√ ^{{ {}

^E

⁽

^X2

⁾

⁻

^[

^E(X)

^]

²

^}{

^E

⁽

^Y2

⁾

⁻

^[

^E(Y)

^]

²

^{} }}

Kita akan menghitung besaran-besaran yang terdapat dalam perumusan di atas.

i. E(XY)=

∑

x

∑

y

xy . p(x , y)

¿

∑

x=1 3

∑

y=1 2

(xy)

(

^x+21^y

)

¿

(

21¹

) ^{

^{(1) (2)+ (2)(3)+ (2)(3)+(4)(4)+(3) (4)+(6) (5)}

^}

¿

(

21¹

)

^{(2+6+6+16+12+30)}

E(XY)=72 21 ii. E(X)=

∑

x

x . p₁(x)

¿

∑

x

x .

( ^∑

y

p(x , y)

)

¿

∑

x=1 3

x

( ^∑

y=1

2 x+y

21

)

¿ 1 21

∑

x=1 3

x(2x+3)

¿

(

21¹

) ^{

^{(1) (5)+(2) (7)+(3) (9)}

^}

¿

(

21¹

)

^(5+14+27)

E(X)=46 21 iii. E

(

X²

)

=

∑

X

x². p₁(x)

Dari hasil penyelesaian E(X) diperoleh p₁(x)=

(

21¹

)

^{(2x+3); x=1,2,3.}

E(X²)=

∑

x=1 3

(x²)

(

^2x21⁺³

)

¿

(

21¹

) ^{

^{(1) (5)+(4) (7)+(9) (9)}

^}

¿

(

21¹

)

^(5+28+81)

E

(

X²

)

=114 21 iv. E(Y)=

∑

y

y . p₂(y)

¿

∑

y

y .

( ^∑

x

p(x , y)

)

¿

∑

y=1 2

y

( ^∑

^{x=13 x+21y}

)

¿ 1 21

∑

x=1 2

y(6+3y)

¿

(

21¹

) ^{

^{(1) (}9)+(2) (12)

}

¿

(

21¹

)

⁽⁹⁺²⁴⁾

E(Y)=33 21 v. E

(

Y²

)

=

∑

y

y². p₂(y)

Dari hasil penyelesaian E(Y) diperoleh p₂(y)=

(

21¹

)

^{(6+3y); x=1,2.}

E

(

Y²

)

=

∑

y=1 2

(

y²

) (

⁶⁺21^3y

)

¿

(

21¹

) ^{

^{(1) (9)+(4) (12)}

^}

¿

(

21¹

)

⁽⁹⁺⁴⁸⁾

E

(

Y²

)

=57 21

Jadi: p=

72

21−

(

⁴⁶21

)(

³³21

)

√ ^{

^{11421 −}

⁽

⁴⁶²¹

⁾

²

^}{

⁵⁷²¹⁻

⁽

³³²¹

⁾

²

^}

^=−0,0370

b. Perumusan fungsi pembangkit momen gabungan Dari Contoh 7.17 diperoleh:

M

(

^t1,t₂

)

⁼₂₁¹

(

2.e^t1+t2+3. e^t1+2t2+3. e^2t1+t2+4. e^2t1+2t2+4. e^3t1+t2+5.e^3t1+2t2

)

dengan: ^t1∈R , t₂∈R . i. E(XY)=∂²M(0,0)

∂ t₁∂ t₂ =∂²M(0,0)

∂ t₁∂ t₂ ¿_t

1=t₂=0

∂ M

(

^t1, t₂

)

∂ t₁ = 1

21

(

2.e^t1+t2+3.e^t1+2t2+6.e^2t1+t2+16. e^2t1+2t2+12. e^3t1+t2+30. e^3t1+2t2

)

∂²M

(

t1, t2

)

∂ t₁∂ t₂ = 1

21

(

2.e^t1+t2+3.e^t1+2t2+6.e^2t1+t2+16.e^2t1+2t2+12.e^3t1+t2+30.e^3t1+2t2

)

E(XY)=∂²M(0,0)

∂ t₁∂ t₂ = 1

21(2+6+6+16+12+30)

E(XY)=∂²M(0,0)

∂ t₁∂ t₂ =72 21

Dari Contoh 7.17 sudah diperoleh:

ii. E(X)=∂ M(0,0)

∂ t₁ =∂ M

(

^t1,0

)

∂ t₁ ¿_t

1=0=46

21 iii. E(X²)=∂²M(0,0)

∂ t₁² =∂²M

(

t1,0

)

∂ t₁² ¿_t1=0=114 21 iv. E(Y)=∂ M(0,0)

∂t₂ =∂ M

(

^0,t2

)

∂ t₂ ¿_t2=0=33 21 v. E

(

Y²

)

=∂²M(0,0)

∂ t₂² =∂²M(0,t2)

∂t₂² ¿_t2=0=57 21

Jadi: p=

72

21−

(

⁴⁶21

)(

³³21

)

√ ^{

^{11421 −}

⁽

⁴⁶²¹

⁾

²

^}{

⁵⁷²¹⁻

⁽

³³²¹

⁾

²

^}

^=−0,0370

Ternyata dari kedua cara di atas diperoleh hasil koefisien korelasi p yang sama, yaitu −0,0370 .