Deret Fourier Dalam Analisis Sifat Kristal

PENURUNAN RUMUS

AMPLITUDO HAMBURAN

ANALISIS FOURIER

Sebagian besar sifat kristal dapat dihubungkan dengan komponen Fourier

dari kerapatan elektron. Aspek tiga dimensi pada kecenderungan waktu tertentu tidak menyebabkan berbagai kesulitan dengan matematikanya, tapi

pertama kita mengingat fungsi n (x) dengan periode a pada satu dimensi.

Kita kembangkan n (x) dalam deret Fourier sinus dan kosinus :

p adalah bilangan bulat positif, Cp dan Sp adalah konstanta real, disebut koefisien ekspansi Fourier.

Faktor dalam uraian akan meyakinkan bahwa n (x) memiliki periode a :

Kita dapat menyatakan bahwa sebuah titik pada kisi balik atau

ruang Fourier pada kristal.

Titik kisi balik memberitahukan kita bahwa diizikan terminologi

dalam deret Fourier

Terminologi diizinkan jika konsisten dengan kecenderungan waktu tertentu dari kristal, titik lain dalam ruang balik tidak diizinkan dalam ekspansi Fourier pada

fungsi periodik. Ini adalah waktu yang tepat untuk menuliskan deret dengan rapi dari :

Kemudian jumlah dari terminologi p dan –padalah real. Dengan φ = 2πpx/a maka jumlahnya adalah :

yang mana dalam jumlah untuk fungsi real

VEKTOR KISI BALIK

Sumbu-sumbu vektor b1, b2 dan b3 untuk kisi balik didefinisikan sebagai relasi:

dengan dan adalah vektor basis kisi. Sifat-sifat dari b1, b2 dan b3 adalah bahwa berlaku aturan:

ij = 1 jika i = j ij = 0 jika ij.

b1 .a1 = 2b1.a2 = b1 .a3 = 0

bi.aj = 2ij b2 .a2 = 2b2.a1 = b2. a3 = 0 b3 .a2 = 2b3.a1 = b3 .a2 = 0

Gambar 1. Relasi Vektor Basis Balik dan Vektor Basis Kisi

1. Vektor b1 adalah tegak lurus terhadap bidang yang dibuat oleh vector a2 dan a3,

2. Vektor b2 adalah tegak lurus terhadap bidang yang dibuat oleh vector a1 dan a3,

3. Vektor b3 adalah tegak lurus terhadap bidang yang dibuat oleh vector a1 dan a2.

  ' = 2

= k k

KONDISI DIFRAKSI

Gambar 2.Kondisi Difraksi

Didefinisikan vektor hamburan k sedemikian rupa k + k = k’ . Ini merupakan ukuran dari perubahan

vektor gelombang terhambur. Bila yang terjadi adalah hamburan yang bersifat elastis, maka tidak

ada perubahan besar vektor gelombang sehingga

Perubahan vektor k dalam k adalah tegak lurus terhadap bidang (hkl). Arahnya adalah searah dengan arah G(hkl) atau vektor satuan n. Maka diperoleh hubungan

( k ' k ) 2 Sin k n ˆ

k = − = 



hkl

Sin hkl

G

 G

 

= 





 4

Dapat ditunjukkan bahwa jarak antar bidang d(hkl) berkaitan dengan besar G(hkl) dalam bentuk

hkl

dhkl

G



= 2

Sehingga dapat diungkapkan bahwa

) ( )

2 (

hkl

hkl Sin

d G

k 



 



= 







ANALISIS FOURIER DARI BASIS

3 2

1 a a

a

r z j

y j x j

j = + +



 



=  _j

+

_j

+

_j

j

2  hx ky lz . r

G

Resultan gelombang difraksi oleh keseluruhan atom dalam unit sel (satu satuan sel) dinyatakan dalam faktor struktur. Bila kondisi difraksi terpenuhi amplitudo terhambur bagi kristal terdiri dari N sel adalah diungkapkan

sebagai FC=N.SG

Dimana kuantitas S-G disebut dengan faktor struktur yang didefinisikan sebagai :

Dan fj = faktor atomik. Kemudian, bagi refleksi yang dilabel dengan h, k, l, :

Amplitudo terhambur sebagai penjumlahan yang bentuk eksponensial :

( ) =  = + = +

j

i

j

e f Cos f i Sin f A f B

f hkl

F

^j

 

Dalam difraksi intensitas adalah terkait dengan amplitude, yaitu besar absolut |F|:

2 2





 



 +





 





= 

 

j

j j j

j

j A f B

f F



 + + = + +

= Cos 2 ( hx ky lz ) ; B Sin 2 ( hx ky lz )

A  

( )

^{2 sin2}

( )

²

2

cos 



 + +

 +





 + +

=

 

j

j j

j j

j

j j

j

j hx ky lz f hx ky lz

f

F  

DAERAH BRILLOUIN

Sebuah Zoneis Brillouin didefinisikan sebagai sel Wigner-Seitz primitif dalam kisi resiprokal. Untuk menemukan ini, menggambar kisi resiprokal. Kemudian,

menggunakan algoritma yang sama seperti untuk mencari sel Wigner-Seitz primitif dalam ruang nyata

Gambar 3.Zona Brillouin

Zona Brillouin pertama adalah volume terkecil seluruhnya tertutup oleh bidang yang tegak lurus bisectors dari vektor kisi resiprokal dari gambar asal.

Biasanya, kita tidak mempertimbangkan zona yang lebih tinggi ketika kita melihat difraksi.

Namun, mereka digunakan dalam teori berkas energi

Gambar 4.Beraks Energi

Zona brillouin ditetapkan dalam resiprokal titik kisi balik

1. Zona pertama Brillouin didefenisaikan sebagai volume yang mencakup sekitar titik kisi

tanpa melintasi bidang bragg

2. Zona kedua Brillouin adalah volume yang dihasilkan oleh lintasan satu bidang

3. Seterusnya dilanjutkan pada orde yang lebih tinggi

KISI BALIK PADA KISI SC

Vektor translasi primitif pada kisi SC adalah

Dengan menggunakan vektor kisi

1)Batas dari Zona Brillouin yang pertama adalah bidang normal dari vektor kisi balik

±b1,±b2,±b3 pada titik tengah± (π/a)

2)Panjang masing-masing sisi adalah 2π/a dan volumenya (2π/a). (2π/a). (2π/a)

KISI BALIK PADA KISI BCC

Vektor translasi kisi primitif pada BCC adalah

Volume dari sel primitif adalah ½ (a.a.a) (2 titik /unit sel) Maka vektor translasi primitif pada ruang balik adalah

Di bawah ini adalah gambar zona pertama Brillouin pada kisi BCC ( yang sama dengan bentuk potongan Wigner-Seitz pada kisi FCC ) yang mempunyai 12 sisi

(rhombic dodecahedron)

KISI BALIK PADA KISI FC

Vektor translasi kisi primitif pada FCC adalah

Volume dari sel primitif adalah 4 (a.a.a)

Maka vektor translasi primitif pada ruang balik adalah

Volume ruang sel resiprokal adalah 4(2π/a. 2π/a.2π/a) Zona pertama Brillouin FCC dibatasi oleh 14 sisi yaitu:

CONTOH SOAL

Nikel memiliki struktur fcc dengan jari-jari atomnya adalah 1,243 x 10

^-10

m. Hitunglah jarak antara bidang-bidang : a) (200),

b) (220),c) (111).

Penyelesaian

Diketahui : r=1,243 x 10

^-10

m

Ditanya : jarak antara bidang a) (200), b) (220),c) (111)?

Dijawab :

Konstanta kisi dari unit sel fcc

• Diketahui : a=0,361 nm

• Ditanya : jumlah atomnya per mm

²

• Dijawab :

Bidang (111) berisi 3 atom dari 1/6 atom dan 3 buah dari ½ atom Jumlah atom pada bidang ini=(3x1/6)+(3x1/2)=2 atom

Luas bidang ini :

LATIHAN SOAL