DIFERENSIAL PARSIAL

DIFERENSIAL PARSIAL

Dosen Pengampu :

Disusun Untuk Memenuhi Tugas Pada Mata Kuliah Matematika Bisnis

Oleh Kelompok I

MUH. FADEL MUBARAK BM. (200907502030)

PUTRI AYU (200907502024)

IKHWANTO ASRI (200907501029)

REZKY DWI AULIA (200907502017)

NURUL AULIA MENTARI (200907501019)

SAKINA (200907500017)

Program Studi Bisnis Digital

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

Persamaan Diferensial Parsial merupakan salah satu topik dalam matematika yang cukup menarik untuk dikaji lebih lanjut. Hal itu karena banyak permasalahan kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dengan persamaan Diferensial Parsial.

Contohnya, Perusahaan dibentuk untuk mengelola sumber ekonomis yang terbatas untuk memperoleh keuntungan semaksimal mungkin. Hal ini bisa dicapai apabila pihak manajemen mampu merencanakan, mengolah dan mengambil keputusan dengan baik.Bagi perusahaan yang menghasilkan satu jenis produk, tidak terlalu sulit merencanakan, mengolah dan

mengambil keputusan khususnya yang berkaitan dengan jumlah barang yang akan diproduksi untuk memperoleh laba yang maksimal. Karena laba hanya ditentukan oleh satu jenis produk saja.

Berbeda dengan perusahaan yang mempunyai lebih dari satu jenis produk, dimana laba akan ditentukan oleh bauran berbagai produk.

Namun pada umumnya perusahaan menghasilkan beberapa produk atau multi produk yang sering mempunyai tingkat keuntungan yang berbeda.

Dimana untuk produk-produk yang bermargin tinggi membentuk proporsi yang relatif besar terhadap penjualan total maka keuntungan akan semakin besar dibanding dengan apabila penjualan terdiri dari produk-produk yang kebanyakan bermargin rendah (Ray H.Garrison, 1997).

Dengan demikian maka laba akan tergantung sampai batas tertentu pada komposisi penjualan yang mampu dicapai perusahaan.

Oleh karena itu manajemen harus berusaha agar mencapai kombinasi atau komposisi penjualan (sales mix) yang dapat menghasilkan jumlah laba yang paling besar. Jumlah laba yang besar dapat dicapai jika sebagian besar komposisi produk yang dijual mempunyai kontribusi margin yang tinggi mengakibatkan laba total bertambah.

Sebaliknya perubahan komposisi penjualan dari jenis yang menghasilkan kontribusi tinggi ke kontribusi margin yang rendah maka total laba berkurang (Supriyono, 1987).Bila manajemen hanya menggunakan analisis kontribusi margin dalam menentukan profit yang optimal maka manajemen akan menemukan kendala.

Hal ini karena analisis kontribusi margin tidak bisa menentukan pada titik berapa proporsi penjualan yang optimal sehingga ada yang perlu dikurangkan dan yang harus ditambahkan,

namun ia hanya menggeser atau mengurangi proporsi penjualan dari kontribusi yang kecil dan ditambahkan pada kontribusi margin yang tinggi berdasarkan perkiraan-perkiraan (estimasi) saja.

Dengan kata lain, ia tidak bisa menentukan berapa dari tiap jenis produk yang harus

diproduksi agar komposisinya optimal untuk memperoleh laba yang maksimal. Untuk itu ia perlu dikombinasikan dengan alat matematis yaitu Diferensial Parsial.

Secara umum Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya terdapat suku-suku diferensial parsial, yang dalam matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud.

Diferensial parsial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial dapat pula dipelajari kedudukan- kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya.

Diferensial parsial digunakan untuk melakukan formulasi dan menyelesaikan permasalahan yang melibatkan fungsi-fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan dibentuk oleh beberapa variabel.

1.2 Rumusan Masalah

• Apa yang dimaksud dengan Diferensial Parsial?

• Apa sajakah contoh kasus penerapan diferensial parsial?

1.3 Tujuan

Adapun tujuan penulisan makalah ini yang merupakan jawaban dari rumusan masalah tersebut adalah sebagai berikut :

• Untuk mengetahui mengenai diferensial parsial

• Untuk mengetahui contoh penerapan diferensial parsial

1.4 Manfaat

Dengan makalah ini diharapkan dapat memberi pemahaman tentang ilmu diferensial parsial serta bagaimana penerapannya dalam ekonomi bisnis atau perusahaan.

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

2.1 DIFERENSIASI PARSIAL

Sebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan memiliki satu macam turunan.

Apabila y = f (x) maka turunanya hanyalah turunan y terhadap x, dengan kata lain y = dy / dx.

Fungsi Majemuk adalah fungsi yang mengandung lebih dari satu macam variabel bebas.

Prinsip diferensiasinya tidak berbeda dengan prinsip diferensiasi fungsi sederhana (bervariabel bebas tunggal).

Diferensiasi fungsi majemuk disebut juga diferensiasi parsial yaitu proses menurunkan suatu fungsi bagian perbagian berdasarkan jumlah variabel bebasnya.

Jika sebuah fungsi mempunyai n macam variabel bebas maka ia akan memiliki n macam turunan.

Jika y = f(x,z) maka akan terdapat dua macam turunan, yaitu:

• turunan y terhadap x atau y/x

• turunan y terhadap z atau y/z .

Sesungguhnya y/ x dari y = f x, z adalah turunan dari f x.z terhadap x dengan anggapan hal–

hal lain tetap atau konstan

(dalam ekonomi dikenal dengan sebutan asumsi ceteris paribus). Oleh karena itu dalam menurunkan y = f (x,z) terhadap x hanya suku–suku yang mengandung variabel x saja yang diturunkan.

Jika y = (x1, x2, x3, ... , xn) maka persamaan fungsi turunan pertama dan seterusnya akan berjumlah nk ( n = jumlah variabel bebas dan k = turunan ke berapa yang akan dicari, tergantung jumlah pangkat tertinggi variabel bebasnya ).

• Ceteris paribus adalah istilah dalam bahasa Latin, yang secara harfiah dalam bahasa Indonesia dapat diterjemahkan sebagai "dengan hal-hal lainnya tetap sama"

penggunaan ceteris paribusadalah untuk menyatakan hubungan operasional antara harga dan kuantitas suatu barang

2.2 DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL

Seperti halnya fungsi dengan satu variabel bebas, fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas pun dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan kata lain masing – masing turunan

parsialnya masih mungkin diturunkan lagi.

• Suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang tinggal mengandung satu macam variabel bebas, maka turunan berikutnya hanya ada satu macam

• Suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang msh beberapa macam variabel bebas, maka turunan berikutnya masih dapat dipecah pecah lagi menjadi beberapa turunan parsial pula.

Contoh:

2.3 NILAI EKSTRIM : MAKSIMUM DAN MINIMUM

Nilai–nilai ekstrim (optimum) dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari satu bebas dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif keduanya

Syarat di atas adalah syarat yang diperlukan (necessary condition) agar fungsinya mencapai mancapai titik ekstrim.

Syarat diatas adalah syarat yang diperlukan agar fungsinya mencapai titik Ekstrim. Guna mengetahui apakah titik Ekstrim itu berupa titik maksimium ataukah titk minimum, dibutuhkan syarat yang mencukupkan

(sufficient condition), yakni :

2.4 OPTIMISASI BERSYARAT

Dalam kenyataan seringkali kita harus mengekstrimkan atau mengoptimumkan suatu fungsi, yaitu mencari nilai maksimum atau minimumnya, tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain yang harus dipenuhi atau fungsi yang hendak dioptimumkan tadi menghadapi suatu kendala (constraint).

Pengganda Lagrange ( λ )

Salah satu metode Perhitungan nilai ekstrim sebuah fungsi yang menghadapi kendala berupa sebuah fungsi lain dapat diselesaikan dengan Metode Lagrange, dengan membentuk fungsi baru yaitu fungsi Lagrange menggunakan pengganda Lagrange λ.

Fungsi lagrange merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan ditambah hasil kali pengganda lagrange λ dengan fungsi kendalanya.

Pengganda Lagrange λ adalah suatu variabel tak-tentu yang hanya bersifat sebagai variabel pembantu mempermudah perhitungan. Dalam membentuk fungsi baru Lagrange, fungsi yang menjadi kendala harus diimplisitkan dulu (dibuat sama dengan nol).

• Nilai ekstrim F (x,y, λ) dapat dicari dengan memformulasikan masing masing derivatif-parsial pertamanya sama dengan nol

Syarat di atas hanya merupakan syarat perlu. Sedangkan syarat cukup untuk mengetahui maksimum atau minimum dilakukan dengan turunan parsial kedua yaitu :

- Maksimum bila Fxx < 0 dan Fyy < 0 - Minimum bila Fxx > 0 dan Fyy > 0

• Misalkan hendak di optimumkan z = f(x,y) dengan syarat harus terpenuhi u = g (x,y).

Maka fungsi Lagrange nya :

2.5 Kondisi Kuhn – Tucker

Metode Kuhn–Tucker merupakan pengembangan lebih lanjut dari model optimisasi bersyarat. Jika dalam metode pengganda Lagrange kita mengoptimumkan sebuah fungsi terhadap kendala yang berbentuk persamaan, maka dalam metode Kuhn-Tucker kita mengoptimumkan sebuah fungsi terhadap sebuah fungsi yang berbentuk pertidaksamaan.

Bentuk permasalahannya bisa berupa:

• Maksimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala g(z,y) ≤ 0

• Minimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala g(z,y) ≥ 0

Prosedur penyelesaian dapat ditempuh melalui 2 cara :

a. Metode Lagrange yang dimodifikasi kemudian diuji dengan kondisi kuhn-Tucker Prosesnya melalui langkah berikut :

- Bentuk fungsi baru Lagrange : F(x,y,λ) = f(x,y) – λ g(x,y) dengan menganggap fungsi kendala berupa persamaan.

- Lakukan pengujian terhadap nilai λ

- Jika λ ≤ 0 berarti optimasi fungsi tujuan f(x,y) tanpa menyertakan fungsi kendala g(x,y) sudah dengansendirinya memenuhi kendala, sehingga dapat diabaikan - Jika λ > 0 kendala bersifat mengikat sehingga nilai optimum yang diperoleh merupakan nilai optimum berdasar fungsi kendala yang berbentuk pertidaksamaan b. Metode Kuhn-Tucker langsung

- Rumuskan masalah misalkan maksimumkan fungsi f(x,y) thd g(x,y) ≤ 0 atau minimumkan fungsi f(x,y) thd g(x,y) ≥ 0

- Tetapkan kondisi kuhn-Tucker : (a) Fx(x,y,λ)=fx –λgx =0

(b) Fy(x,y,λ)=fy –λgy =0

(c) λg(x,y)=0 dimana g (x,y)≤0 atau g (x,y)≥0

- Diuji untuk λ = 0 dan g(x,y) = 0 untuk menentukan mana diantara yang memenuhi persamaan (a) dan (b) serta pertidaksamaan kendala g(x,y)

- Nilai x dan y yang memenuhi ketiga kondisi ini merupakan nilai-nilai yang mengoptimimkan fungsi tujuan f(x,y)

2.6 PENERAPAN DIFERENSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI

Pendekatan diferensiasi parsial sangat bermanfaat untuk diterapkan pada model – model ekonomi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas, dalam hal kita hendak menelaah secara parsial pengaruh dari salah satu variabel bebas tadi terhadap variabel terikatnya.

1. Permintaan marginal dan elastisitas permintaan parsial

Apabila dua macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya, maka

permintaan akan masing- masing barang akan fungsional terhadap harga masing-masing barang tersebut, jadi misalnya terdapat dua macam barang yaitu teh dan gula dan kedua macam barang tersebut mempunyai hubungan penggunaan, maka:

• Qda = f (Pa, Pb) dibaca : permintaan akan barang A dipengaruhi oleh harga barang A dan harga barang B

• Qdb = f (Pa, Pb) dibaca : permintaan akan barang B dipengaruhi oleh harga barang B dan harga barang A

2. Perusahaan dengan dua macam produk dan biaya produksi gabung

Apabila sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, dan biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan kedua macam produk tersebut merupakan biaya produksi gabungan (joint production cost), maka perhitungan keuntungan maksimum dapat dilakukan dengan pendekatan diferensiasi parsial.

Andaikan sebuah perusahaan memproduksi dua macam barang, A dan B dimana fungsi permintaan masing- masing barang dicerminkan oleh Qa serta Qb, serta biaya

produksinya C = f(Qa , Qb) maka :

• Penerimaan dari memproduksi A : Ra = Qa . Pa = f(Qa)

• Penerimaan dari memproduksi B : Rb = Qb . Pb = f(Qb)

BAB III

CONTOH KASUS & PENYELESAIAN

1. Sakinah Contoh 1. (Berkaitan penerapan diferensial parsial dalam minimasi biaya) Soal: Diberikan Fungsi Biaya

a) Berapakah jumlah produk1 dan produk 2 yang harus diproduksi sehingga diperoleh biaya minimum?

b) Berapakah minimumnya?

Penyelesaian:

a) C1 = 16 – 2Q2 – 40 C2 = 12Q2 – 2Q1 – 42 16Q1 – 2Q2 = 40

-2Q1 + 12Q2 = 42

Q1 =

40 −2 42 12 16 −2

−2 12

= 480+84

192−4

=

⁵⁶⁴₁₈₈

= 3

Q2 =

16 40

−2 42 16 −2

−2 12

=

⁶⁷²⁺⁸⁰₁₈₈

= 4

D1 = |16| > 0 D2 = �16 −2

−2 12� =188 > 0 ( Def. positif / biaya minimum ) b) C = 8.3² + 6.4² -2.3.4 – 40.3 – 42.4 + 180

= 72 + 96 – 24 -120 – 168 + 180 = 36

2. Nurul Aulia Mentari. Contoh 2 (Berkaitan dengan penerapan diferensial parsial dalam perusahaan dengan dua macam produk dan biaya produksi gabung)

Soal: Biaya total yang dikeluarkan suatu perusahaan untuk menghasilkan dua macam barang yaitu A dan B adalah C = Qa2 + 3Qb2 + Qa . Qb. Harga jual masing-masing produk adalah Pa = 7 dan Pb = 20. Hitunglah berapa unit masing-masing barang harus dihasilkan agar keuntungan maksimum ?

Penyelesaian : Ra =Qa .Pa =7Qa Rb =Qb .Pb =20Qb

 R=Ra +Rb =7Qa +20Qb

π=R–C=7Qa +20Qb–(Qa2+3Qb2+Qa. Qb) π =7Qa +20Qb–Qa2–3Qb2–Qa. Qb

agar π maks maka π’ = 0

π’a =7–2Qa –Qb =0. ... (1) π’b =20–6Qb –Qa =0. ... (2)

dari persamaan (1) dan (2) maka diperoleh : 7–2Qa–Qb=0 x1 7– 2Qa– Qb=0 20–6Qb –Qa =0 x2 40–12Qb –2Qa =0 -

–33 + 11 Qb = 0 Qb = 3 Dari(1) 7–2Qa –Qb =0

7–2Qa –3=0 Maka Qa=2

Dengan demikian πmaks =7Qa +20Qb–Qa2–3Qb2–Qa. Qb

=7.2 +20.3–22 –3.22 –2.3

=37

Jadi agar keuntungan maksimum, perusahaan harus memproduksi 2 unit A dan 3 unit B dengan keuntungan sebesar 37.

3. Rezky Dwi Aulia. Contoh 3.

Soal: Misalkan permintaan terhadap produk A dan produk B memenuhi persamaan berikut.

Tentukan permintaan marjinal A terhadap harga per unit B

dan permintaan marjinal B terhadap harga per unit A ketika harga per unit A Rp 0,5 dan harga per unit B Rp 1.

Penyelesaian:

Substitusikan pA = 0,5 dan pB = 1 ke dalam kedua turunan partial di atas, diperoleh:

Jadi, permintaan marjinal A terhadap harga per unit B adalah -50 unit/rupiah dan permintaan marjinal B terhadap harga per unit A adalah -100 unit/rupiah

4. Putri ayu.Contoh 4.

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan pada persamaan Qd = 25-3p² tentukan elastisitas permintaan pada tingkat harga P=5

Penyelesaian:

Ed = 3 berarti apabila harga naik sebesar 1% maka jumpah barang yang diminta akan berkurang sebanyak 3%

5. Ikhwanto Asri. Contoh 5

A dan B merupakan dua buah produk yang memiliki hubungan satu sama lain dalam hal penggunaannya, entah A dan B ini dua produk yang bersifat komplementer ataupun yang bersifat saling menggantikan (substitusi). Misalkan persamaan permintaan A dan B masing-masing adalah qA = f(pA,pB) dan qB = f(pA,pB), dengan pA adalah harga per unit produk A dan pB adalah harga per unit produk B. Elastisitas harga-permintaan dan elastisitas silang-permintaan masing-masing produk didefinisikan sebagai berikut.

Penyelesaian:

Dengan:

ηA = elastisitas harga-permintaan produk A ηB = elastisitas harga-permintaan produk B

ηAB = elastisitas silang-permintaan produk A terhadap harga produk B ηBA = elastisitas silang-permintaan produk B terhadap harga produk A

Jika ηAB > 0 dan ηBA > 0 (untuk pA dan pB tertentu) maka kedua produk tersebut saling menggantikan. Jika ηAB < 0 dan ηBA < 0 (untuk pA dan pB tertentu) maka kedua produk tersebut bersifat komplementer.

6. Muh Fadel Mubarak BM. Contoh 6

A dan B merupakan dua buah produk yang memiliki hubungan satu sama lain dalam hal penggunaannya. Misalkan persamaan permintaan A dan B masing-masing adalah qA = f(pA,pB) dan qB = f(pA,pB), dengan pA adalah harga per unit produk A dan pB adalah harga per unit produk B. Maka terdapat empat macam permintaan marjinal masing-masing produk terhadap harga, yaitu:

BAB IV KESIMPULAN

Diferensial parsial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial dapat pula dipelajari kedudukan- kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya.

Dalam penerapnnya di bidang ekonomi diferensial parsial dapat digunakan sebagai solusi dalam kasus Permintaan marginal dan elastisitas permintaan parsial serta kasus perusahaan dengan dua macam produk dan biaya produksi gabung

Daftar Pustaka

https://docplayer.info/29909975-Optimasi-diferensial-parsial-matematika-t-e-l-k-o-m-u-n-i- v-e-r-s-i-t-y.html

http://repository.upi-yai.ac.id/1476/1/Diktat%20Bahan%20Ajar%20Matek%20Gjl%202014- 15.pdf

http://imron.hadi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/52512/MATEMATIKA+EKONOM I+2A.pdf

http://sahabatmayamu.blogspot.com/2016/12/contoh-makalah-diferensial-fungsi_5.html https://dokumen.tips/documents/makalah-diferensial-parsial-matekdocx.html

https://www.academia.edu/9424161/DIFERENSIAL_PARSIAL