Fungsi Massa Peluang (PMF)

Pertemuan 2

DISTRIBUSI PEUBAH ACAK DISKRIT:

PDF, CDF, MGF

Discrete Random Variable/Peubah Acak Diskrit

• Definisi: Jika sebuah himpunan dari seluruh nilai sebuah random variable, X, adalah himpunan yang dapat

dihitung/countable, x

₁

, x

₂

, ...x

_n

atau x

₁

, x

₂

, ... , maka X disebut: Discrete Random Variables.

Fungsi: f(x) = P[X = x], x = x

₁

, x

₂

, ...

menunjukkan peluang masing-masing nilai x disebut Discrete

Probability Density Function (Discrete pdf)/ Probability Mass

Function (pmf). Nilai x

_i

disebut mass point dari X. Dapat juga

ditulis f

_x

(x)

Discrete Random Variable/Peubah Acak Diskrit

Teorema: Sebuah fungsi f(x) adalah sebuah PDF diskrit jika dan hanya jika memenuhi hukum berikut untuk set infinite dari set bilangan riil x

₁

, x

₂

, ... :

f(x

_i

) ≥ 0 untuk semua x

_i

∑ semua xi "($

_%

)=1 P(X = x) = f (x)

Contoh:

untuk menentukan pdf dari X untuk random variable pada pelemparan

dua dadu dengan sisi 4, dmn X menyatakan nilai maks pada lemparan

tersebut

Discrete Random Variable/Peubah Acak Diskrit

• Gambar PDF diskrit dari pelemparan 2 dadu 4 sisi

Bentuk umum fungsi peluang/pdf diskrit ada dua kemungkinan:

1. Fungsi peluang/pdf berupa konstanta, bisa terdiri dari satu nilai atau lebih dari satu nilai

• Fungsi peluang/pdf berupa konstanta, terdiri dari satu nilai artinya untuk setiap nilai peubah acak yang diberikan nilai fungsi peluang sama.

! " = 1

4 ; " = −1,0,1,2

• Fungsi peluang/pdf berupa konstanta, terdiri lebih dari satu nilai, artinya untuk setiap nilai peubah acak yang diberikan masing2 mempunyai nilai fungsi peluang

! " = ⁺_, , " = 0

= ⁺_- , " = 1

= ⁺_, , " = 2

2. Fungsi peluang/pdf berupa fungsi dari nilai peubah acak.

! " = "

15 ; " = 1,2,3,4,5

Grafik dari fungsi peluang/pdf atau distribusi peluang dapat berupa

diagram batang atau histogram à gambarkan untuk contoh kasus

pelemparan dua dadu 4 sisi, dengan peubah acak X: nilai maks yang

muncul pada pelemparan dadu.

Contoh

• Misal fungsi peluang/pdf dari peubah acak X berbentuk:

! " =

^$

%

&" + 1 ; " = 0,1,2,3

= 0; " lainnya

Tentukan nilai k yg memenuhi.

Jawab:

Sifat yg memenuhi dari fungsi pdf diskrit : .

/

! " = 1 −→ & = 1/6

Gambarkan grafik fungsi PDF.

Discrete Random Variable

Definisi:

Cumulative Distribution Function (CDF)/Distribusi Kumulatif dari random variable diskrit X, dengan distribusi peluang/pdf

! " dinyatakan oleh :

Secara singkat disebut Distribution Function / fungsi distribusi dari X.

• Jika ditulis X ~ ! " atau X ~ F(x) artinya random variable X

memiliki pdf ! " dan CDF F(x)

Discrete Random Variable

Gambar CDF diskrit dari pelemparan 2 dadu 4 sisi

Diagram batang/histogram. Grafik fungsi tangga

Contoh

• Dengan mengundi dua mata uang logam yang seimbang secara

sekaligus, dengan X menunjukkan banyaknya muncul muka (M). Maka fungsi peluang/pdf nya berbentuk:

a. Tentukan fungsi distribusi/CDF diskrit b. Gambarkan grafik fungsi distribusinya.

! 0 1 2

"($) 1/4 1/2 1/4

Penyelesaian:

a. Untuk ! < 0 −→ & ! = 0

Untuk 0 ≤ ! < 1 −→ & 0 = ∑_+,- . / = . 0 = 0 0 = ¹₂ Untuk 1 ≤ ! < 2 −→ & 1 = ∑_+,4 . / = . 0 + . 1

= ¹₂⁶¹₇^89/;

Untuk 2 ≤ ! −→ & 2 = ∑_+,< . / = . 0 + . 1 + .(2)

= ¹₂⁶¹₇⁶¹₂⁸⁴ Jadi fungsi distribusi/CDF dari X berbentuk:

& ! = 0 ; ! < 0

= ⁴_; ; 0 ≤ ! < 1

= ^@₂ ; 1 ≤ ! < 2

= 1 ; 2 ≤ !

b. Gambar grafik CDF

Contoh

Misalnya eksperimen melempar 2 buah dadu. Y adalah perbedaan absolut kedua mata dadu

! 0 1 2 3 4 5

"($) 6/36 10/36 8/16 6/36 4/36 2/36

PDF dari Y CDF dari Y

Discrete Random Variable

Teorema:

Misalnya X adalah random variable dengan pdf !(#) dan CDF F(x). Jika nilai X diberi indeks dengan susunan

increasing #

₁

< #

₂

< #

₃

… , maka !(#

₁

) = +(#

₁

), untuk sembarang i > 1,

!(#

_-

) = +(#

_-

) – +(#

_{- − 1}

)

Jika # < #

₁

maka F( # ) = 0 dan untuk sembarang bilangan

riil # :

Penghitungan peluang dari peubah acak X dapat diperoleh berdasarkan fungsi distribusinya, dimana memenuhi

persamaan/rumus sebagai berikut:

dimana a dan b bilangan real, a<b.

Nilai peluang untuk peubah acak yg berharga satu nilai:

!(# < % ≤ ') = * ' − *(#)

!(, = ') = *

_-

' − *

_-

' −

Catatan

Nilai peluang dari peubah acak mempunyai beberapa kemungkinan:

• 4 5 < 7

• 4 7 < 5 < 8

• 4 7 ≤ 5 ≤ 8

• 4 5 > 8

• 4 5 ≥ 8

• 4 5 ≤ 7

• 4 7 ≤ 5 < 8

• 4 7 < 5 ≤ 8

Catatan

Jika peubah acak X mempunyai nilai-nilai yang banyaknya berhingga, yaitu !

₁

< !

₂

< !

₃

, … , !

₍

dan masing-masing mempunyai fungsi peluang ) !

₁

, ) !

₂

, ) !

₃

, …, ) !

₍

, maka fungsi distribusinya ditentukan sebagai berikut:

* ! = 0; ! < !

_.

= ) !

_.

; !

_.

≤ x < !

₁

= ) !

_.

+ ) !

₁

; !

₁

≤ x < !

₃

= ) !

_.

+ ) !

₁

+ ) !

₃

; !

₃

≤ x < !

₄

= ) !

_.

+ ) !

₁

+ ) !

₃

+ ⋯ + ) !

₆

= 1; !

₆

< !

Contoh

Misal fungsi distribusi dari peubah acak X berbentuk:

! " = 0 ; " < −1

=

^)*+_*),

; −1 ≤ " < 1

=

^.//_.01

; 1 ≤ " < 2

=

^.03_.01

; 2 ≤ " < 3

= 1 ; 3 ≤ "

Hitunglah peluang dibawah ini dengan menggunakan fungsi disribusi:

a. 7(0 ≤ 9 < 3) à 7(−1 < 9 ≤ 2) b. 7(9 ≤ 0)

c. 7(9 > 1)

d. 7(−1 ≤ 9 < 0) à (9 ≤ −1)

e. 7(9 = 1)

Menentukan fungsi pdf ( !(#) )dari CDF ( % # )peubah acak diskrit

Langkah-langkah menentukan fungsi peluang/pdf dari fungsi distribusi/CDF:

1. Tentukan nilai-nilai peubah acak X yang menyebabkan fungsi distribusi %

_&

(#) diskontinu

2. Tentukan peluang untuk setiap nilai ' yang diskontinu, dengan rumus:

( ) = #

₊

= %

_&

#

₊

− %

_&

#

₊

−

Dengan #

₊

adalah sebuah nilai yang menyebabkan %

_&

(#) diskontinu

Contoh

Diketahui fungsi distribusi/CDF dari peubah acak X adalah:

! " = 0 ; " < 0

=

^'₍

; 0 ≤ " < 2

=

⁺_,

; 2 ≤ " < 3

= 1 ; 3 ≤ "

Tentukan fungsi peluang/pdf dari peubah acak X.

Sifat-sifat Fungsi Distribusi (CDF)

Teorema

Suatu fungsi ! " adalah CDF dari peubah acak X jika dan hanya jika memenuhi sifat sebagai berikut :

a. lim

_(→*+

! " = 0 .. lim

(→+

! " = 1 0. lim

1→2³

! " + ℎ = !(")

d. 8 < . menunjukkan ! 8 ≤ !(.)

Sifat-sifat fungsi distribusi/CDF

1. 0 ≤ % & ≤ 1

2. % & adalah fungsi yang tidak turun di &

3. % ∞ = 1 dan % −∞ = 0

4. % & kontinu kanan pada setiap nilai &

Moment Generating Function

Definisi

Jika X suatu varuabel random, maka expected value

!

_"

# = %('

^("

)

Dinamakan Moment Generating Function (MGF) dari X. Jika nilai

expected value ada untuk semua nilai t , −ℎ < # < ℎ, untuk ℎ > 0 .

Latihan

1. Sebuah kotak berisi 4 bola pingpong yang bernomor 1.2.3 dan 4.

Kemudian dua bola pingpong diambil secara sekaligus. Jika Y

menunjukkan jumlah angka dari dua bola pingpong yang terambil, maka:

a. Tentukan fungsi peluang atau pdf dari Y b. Tentukan nilai ! = # ≤ 5

c. Gambarkan grafik fungsi peluang atau pdf

Latihan

2. Diberikan fungsi peluang dari X berbentuk:

a. Tentukan nilai k

b. Tentukan ! " < 4 , ! " ≥ 4 ! 0 < " < 4

c. Tentukan nilai m minimum sedemikian sehingga ! " ≤ ) > 0,5

, 0 1 2 3 4 5

-(/) k 3k 3k k² 3k² 6k² + k

Latihan

3. Diberikan fungsi peluang dari X sebagai berikut:

! " = $ ^%_& ^' ; " = 1,2,3, … Tentukan nilai konstanta c.

4. Diketahui fungsi distribusi dari Y adalah : . / = 0 ; / < −3

= ³_& ; −3 ≤ / < −1

= ⁵₆ ; −1 ≤ / < 0

= 1 ; 0 ≤ /

a. Buktikan . / merupakan fungsi distribusi b. Hitung 7 −2 < 8 ≤ 0 , 7 8 > −1,5

c. Gambarkan grafik dari . /

d. Tentukan fungsi peluang dari Y