INTEGRAL RANGKAP DUA

1

INTEGRAL RANGKAP DUA

I. INTEGRAL RANGKAP DUA ATAS DAERAH PERSEGI PANJANG Bentuk umum integral rangkap dua atas daerah persegi panjang:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

di mana semuanya adalah konstan.

Yang dimaksud dengan integral rangkap dua atas daerah persegi panjang adalah, integral rangkap dua, dimana daerah integrasinya berupa persegi panjang. Oleh karenanya ketika urutan pengintegralan diubah urutannya, maka batas integrasi juga diubah, dan hasil perhitungan yang diperoleh juga sama, yaitu

∫ ∫ ∫ ∫

Dalam proses perhitungannya, integral rangkap dua, sama dengan perhitungan integral tunggal yang dilakukan sebanyak dua kali.

Contoh

Akan dihitung hasil dari

1. ∬ { } 2. ∫ ∫

3. ∫ ∫ 4. ∫ ∫ 5. ∫ ∫ Jawab

1. ∬ { }

∫ ∫ ∫ | ∫ |

atau dapat juga diselesaikan dengan mengubah urutan integrasi

2

∫ ∫ ∫ | ∫ ∫ |

2. ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( )

3. ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) 4. ∫ ∫ ∫ _⁄ ^⁄

⁄ ∫_⁄ ( ( √ )) ∫_⁄ √ √ _⁄ √ ( )

√

5. ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Latihan

Tentukan hasil integral berikut.

1. ∫ ∫ 2. ∫ ∫ 3. ∫ ∫

II. INTEGRAL RANGKAP DUA ATAS DAERAH BUKAN PERSEGI PANJANG Bentuk umum integral rangkap dua atas daerah persegi panjang:

∫ ∫

∫ ∫

di mana semuanya adalah konstan.

Yang dimaksud dengan integral rangkap dua atas daerah bukan persegi panjang adalah, integral rangkap dua, dimana daerah integrasinya berupa daerah yang lebih umum. Batas integral dalam pada integral rangkap dua bukan persegi panjang adalah berupa variabel yang berbeda dengan urutan integrasi yang pertama, artinya, bila urutan integral pertama adalah terhadap y, maka batas integral dalamnya adalah variabel x, demikian juga sebaliknya. Sedangkan batas integral luar, haruslah konstan.

3

Dalam proses perhitungannya, pengubahan urutan pengintegralan tidak semudah seperti integral lipat dua atas pesegi panjang, yaitu

∫ ∫

∫ ∫

Contoh

1. ∫ ∫ ∫ ( )

∫ ( ) ∫

Bila kita ingin menghitung ∫ ∫ dengan mengubah urutan pengintegralan, kita tidak bisa menuliskannya dalam bentuk

∫ ∫

karena, batas integral luar haruslah konstan, tidak boleh berupa variabel.

Kita akan membahas pengubahan urutan integrasi ini, pada diskusi berikutnya.

2. ∫ ∫

Karena batas integral dalam adalah variabel x, maka

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )

3. ∬ { √ }

Untuk tipe soal seperti nomor 3 ini, kemampuan untuk mensketsa suatu grafik, mutlak diperlukan. Domain (daerah) integrasinya adalah R, yang dijelaskan sebagai suatu bidang yang dibatasi oleh kurva fungsi dan √ . Titik potong kedua kurva tersebut adalah dan (silakan dicek dengan menggambarkannya)

4

Pada interval [ ], kurva √ posisinya di atas kurva , oleh karenanya akan menjadi batas bawah dan √ akan menjadi batas atas untuk integral dalam. Sehingga dapat ditulis

∬ ∫ ∫

√

∫ ( )^√

∫ ( ^⁄ ) ( ^⁄

)

Bagaimana bila kita akan menghitung dengan urutan ?

Bila kita akan menghitung dengan urutan pengintegralan yang dibali, maka kita harus mengubah √ dan √ . Titik potong dari kedua kurva tersebut sudah kita cari, yaitu dan . Pada interval [ ], kurva √ posisinya di sebelah kanan kurva , oleh karenanya menjadi batas bawah dan √ menjadi batas atas untuk integral dalam. Sehingga dapat ditulis

∬ ∫ ∫

√

∫ ( )^√

∫ ( ^⁄ ) (

⁄ )

4. ∬ segitiga dengan titik-titik sudut Harus dicari dulu persamaan dari sisi-sisi segitiga.

Misalkan segitiganya adalah dengan . Persamaan garis

5

 Perhitungan dengan urutan

Garis terletak di sebelah kanan garis , sehingga akan menjadi batas atas dan akan menjadi batas bawah dari integral dalam. Batas integral luarnya adalah sampai .

∬ ∫ ∫

∫ ( ) ∫ ( ( ) ) ∫

(

)

 Perhitungan dengan urutan

Garis terletak di bawah garis , sehingga

akan menjadi batas bawah dan akan menjadi batas atas dari integral dalam. Batas integral luarnya adalah sampai

∬ ∫ ∫

∫ ( )

∫ ( ) ∫

Latihan

Tentukan hasil integral rangkap berikut.

1. ∫ ∫

2. ∬ bidang yang dibatasi oleh garis , dan sumbu 3. ∬ bidang yang dibatasi oleh kurva , dan garis

6

III. MENGUBAH URUTAN PENGINTEGRALAN

Tidak selalu setiap soal integral rangkap dua, dapat diselesaikan dengan urutan pengintegralan dan . Ada soal yang hanya bisa diselesaikan dengan urutan saja, atau saja, bahkan ada soal yang tidak bisa diselesaikan dengan cara keduanya.

Contoh

1. ∫ ∫ √

√

Integral ini tidak mudah diselesaikan bila dikerjakan dalam urutan . Dengan mengubah urutan menjadi , maka √ dapat dipandang sebagai konstan, sehingga dapat ditulis ∫ √ ∫ Pengubahan urutan integrasi dengan sendirinya juga mengubah batas integrasi, baik batas integral dalam maupun integral luar. Untuk bisa melakukan pegubahan ini, terlebih dahulu harus dilakukan sketsa grafik domain integrasi.

Dari soal ∫ ∫ √

√ , kalau kita tarik garis horisontal sebarang dari kiri ke kanan, maka garis akan memotong grafik √ sebagai batas bawah, dan memotong garis sebagai batas atas dari integral dalam. Dari bidang yang sudah terbentuk ketika kita tarik garis horisontal sebarang, bidang dibatasi oleh garis dan . Sehingga sudah terbentuk domain integrasi sesuai batas integral dari soal awal.

Dari bidang integrasi yang sudah terbentuk, bila ditarik garis vertikal sebarang dari bawah ke atas, maka garis akan memotong garis sebagai batas bawah, dan kurva sebagai batas atas dari integral dalam. Bidang dibatasi oleh garis vertikal dari kiri ke kanan berturut-turut oleh garis dan .

Setelah pengubahan urutan integrasi diperoleh bentuk soal:

∫ √ ∫ Penyelesaiannya adalah

∫ √ ∫ ∫ √ ∫ √ ∫ √ ( )

7 ( √ ) 2. ∫ ∫

Sama halnya dengan contoh pertama, contoh kedua ini tidak mudah bila diselesaikan dengan urutan integrasi . Akan lebih mudah bila diubah dalam urutan integrasi , sehingga akan diubah menjadi ∫ ∫ . Dari ∫ ∫ bila ditarik garis vertikal sebarang dari bawah ke atas, garis akan memotong kurva dan garis , yang berturut-turut sebagai batas bawah dan batas atas integral dalam. Bidang integrasi dibatasi oleh garis vertikal dan , yang berturut-turut sebagai batas bawah dan batas atas integral luar.

Setelah domain integrasi terbentuk, tarik garis horisontal sebarang dari kiri ke kanan, maka garis akan memotong garis dan kurva √ yang berturut- turut akan menjadi batas bawah dan batas atas integral dalam. Domain integrasi dibatasi oleh garis horisontal dan , yang berturut-turut sebagai batas bawah dan batas atas integral luar.

Setelah pengubahan urutan integrasi diperoleh bentuk soal:

∫ ∫

√

Penyelesaiannya adalah

∫ ∫^√ ∫ ^√ ∫ ∫

Latihan

Tentukan solusi integral rangkap berikut 1. ∫ ∫

2. ∫ ∫ 3. ∫ ∫_√

8

IV. INTEGRAL LIPAT DUA KOORDINAT POLAR

Diskusi kita dari pembahasan I-III adalah tentang integral rangkap dua koordinat kartesius. Pada bab IV ini, didiskusikan tentang koordinat polar, yang akan kita gunakan ketika integral rangkap dua koordinat kartesius tidak mampu lagi menyelesaikan masalah.

Sebagai contoh, ∬ √ { }.

Domain menyatakan bahwa, daerah integrasi adalah setengah lingaran atas dengan jari-jari antara 1 dan 3. Untuk mnyelesaikan soal tersebut menggunakan koordinat kartesius, tidaklah mudah, karena kita harus membagi daerah itu menjadi beberapa bagian untuk bisa diselesaikan. Akan diselesaikan soal tersebut dengan menggunakan koordinat polar/kutub.

Transformasi integral rangkap dua, dari koordinat kartesius ke koordinat polar, dijelaskan oleh rumus berikut.

Jika f kontinu pada segiempat polar R yang diberikan oleh persamaan 0arb











   ;  2 , maka





^ _^



 



b 

a R

r drd y r x

r f dA y x

f ( , )

) , ) ( sin , cos ( )

,

( ;

dengan









 







 





y r y

x r x r

y x

) , (

) , (

Karena xrcos; xrsin r r

r y r x

r y

x  





 

 





) , (

) , ( )

, (

) , (

Sehingga





^









b

a R

d dr r r

r f dA y x

f( , ) ( cos , sin )

Kembali ke soal ∬ √ { }

Karena domain integrasinya adalah { } maka jari- jarinya adalah , dan (karena yang berarti setengah bidang atas). Sehingga

9

∬ √ ∫ ∫ √ ∫ ∫

∫

Contoh berikutnya adalah ∫ ∫^√ ∫ ∫^√

Fungsi tidak mudah diintegralkan terhadap atau , oleh karenanya digunakan integral terhadap koordinat polar.

Dari ∫ ∫^√ dapat diketahui dari batas integral dalam bahwa garis vertikal sebarang dari bawah ke atas memotong bidang integrasi dari garis sampai kurva √ (setengah lingkaran bagian atas berpusat di (0,0) dan berjari-jari 1). Batas integral luar menyatakan bahwa, bidang dibatasi dari kiri ke kanan oleh garis sampai . Dari penjelasan tersebut, domain integrasinya adalah berupa bidang seperempat lingkaran di kuadran pertama. Sehingga:

∫ ∫^√ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ( )

Integral rangkap dua ∬ adalah setengah lingkaran bagian atas dengan jari-jari , bila dilihat fungsi yang diintegralkan yaitu

, mudah bila dintegralkan dengan urutan maupun , tetapi yang menjadi masalah adalah domain integrasi yang berupa cincin setengah lingkaran, sehingga dalam koordinat polar dapat ditulis:

∬ ∫ ∫ Penyelesaian selanjutnya silakan dicoba sebagai latihan.

10 Latihan

Tentukan hasil integral rangkap dua berikut.

1. ∬ adalah daerah setengah lingkaran yang dibatasi oleh kurva √ dan sumbu

2. Volume benda yang dibatasi oleh bidang dan paraboloida