PROGRAM LINIER
Erlinawaty Simanjuntak, S.Pd., M.Si
Sejarah Singkat Program Linear
Program linear ditemukan dan dikembangkan oleh beberapa matematikawan di masa sebelum Perang Dunia ke-II.
Penemuan dan pengembangan oleh beberapa
matematikawan tersebut rata – rata didasarkan karena
persoalan atau masalah yang sedang berkembang saat itu,
yaitu dalam hal industri dan peperangan. Beberapa
matematikawan tersebut adalah Leonid V. Kartovich, George
B. Dantzig, John von Neumann, Leonid Khachiyan dan Naranda
Karmarkar.
Leonid V. Kartovich lahir pada bulan Januari tahun 1912 di kota Leningrad, Rusia. Persoalan yang harus diselesaikan Leonid di tempat kerja berkaitan dengan kegiatan produksi, ia harus menyelesaikan masalah mengefisiensikan biaya produksi dan pemakaian bahan baku tetapi produksi tetap maksimal. Pada awalnya masalah ini dinilai sederhana, hanya sebuah kasus kalkulus diferensial, tetapi ternyata lebih rumit dari kelihatannya. Inilah hal yang menjadi awal keinginan Leonid untuk menggunakan matematika sebagai aplikasi untuk ekonomi. Akhirnya pada tahun 1939, Leonid mengajukan sebuah hasil pemikirannya berdasarkan masalah yang ada dan perencanaan solusinya. Ternyata hasil pemikirannya ini adalah yang kita kenal sekarang sebagai Program Linear
George Bernard Dantzig lahir pada tanggal 8 November 1914 di Portland, Oragon, Amerika Serikat.
Setelah mendapatkan gelar doktor pada tahun 1947 ia bergabung di Angkatan Udara Amerika sebagai penasehat matematik untuk pusat kontrol Angkatan Udara. Angkatan udara membutuhkan cara cepat untuk menghitung durasi tahapan program, latihan, dan distibusi logistik. Berasal dari sinilah pemikirian Dantzig tentang program linear.
“Sebuah permasalahan dijadikan dalam bentuk 3 dimensi seperti berlian dimana ada tampak depan, garis pinggir dan puncak lalu mereka akan saling bertemu disuatu titik hingga titik optimum akan terpenuhi.” Begitulah awal terciptanya program linear dengan metode simpleks oleh Dantzig.
3. Leonid Khachiyan dan Naranda Karmarkar
Leonid dan Naranda mengembangkan program linear untuk masalah – masalah yang lebih rumit pada tahun – tahun berikutnya sampai di temukannya metode grafik
Mengenal Pemrograman Linear
Ada beberapa pengertian Program Linear menurut para ahli, di antaranya:
Siringo-ringo
Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain.
PL berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.
Jaz Heizer dan Barry Rander
“A mathematical technique designed to help operations managers plan and make decisions relative to the trade-offs necessary to allocate resources”
Yang artinya :
“Sebuah teknik matematik yang didisain untuk membantu para manajer operasi dalam merencanakan dan membuat keputusan yang diperlukan untuk mengalokasikan sumber daya”.
Tjutju Tarliah Dimyati dan Ahmad Dimyati
Program linier (LP) adalah perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimum, yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik diantara seluruh alternatif yang fisibel”
• Pendapat pakar yang lain menyatakan bahwa linear programming adalah merupakan suatu teknik perencanaan yang bersifat analitis yang analisis-analisisnya memakai model matematika, dengan tujuan untuk menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan masalah, lalu dipilih yang terbaik dalam rangka menyusun strategi dan alokasi sumber daya dan dana untuk mencapai tujuan dan sasaran yang diinginkan secara optimal.
• Persoalan program linear ialah suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variabel sehingga nilai fungsi tujuan (objective function) yang linier menjadi optimum (maksimum atau minimum) dengan memperhatikan pembatasan-pembatasan yang ada, yaitu pembatasan mengenai inputnya. Pembatasan-pembatasan ini harus dinyatakan dalam ketidaksamaan yang linear (Supranto, 1983).
• Secara umum Program Linear dapat diartikan bahwa suatu teknis matematika yang dirancang untuk membantu manajer dalam merencanakan dan membuat keputusan dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai tujuan perusahaan.
• Secara khusus, persoalan program linear adalah suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variabel (variabel pengambilan keputusan) sedemikian rupa sehingga nilai fungsi tujuan atau objektif (objective function) yang linier menjadi optimum (maksimum atau minimum) dengan memperhatikan pembatasan-pembatasan (kendala- kendala) yang ada yaitu pembatasan ini harus dinyatakan dengan ketidaksamaan yang linier (linear inequalities).
Karakteristik Pemrograman Linier
1. Linearitas. Fungsi obyektif dan kendala haruslah merupakan fungsi linier
2. Certainty (kepastian). Maksudnya adalah fungsi tujuan dan fungsi kendala sudah diketahui dengan pasti dan tidak berubah selama periode analisa.
3. Proportionality (proporsionalitas). Yaitu adanya proporsionalitas dalam fungsi tujuan dan fungsi kendala.
4. Additivity (penambahan). Artinya aktivitas total sama dengan penjumlahan aktivitas individu.
5. Divisibility (bisa dibagi-bagi). Maksudnya solusi tidak harus merupakan bilangan integer (bilangan bulat), tetapi bisa juga berupa pecahan.
6. Non-negative variable (variabel tidak negatif). Artinya bahwa semua nilai jawaban atau variabel tidak negatif
Syarat-syarat dalam model program linear diantaranya (Nasendi dan Anwar, 1985):
Ada tujuan yang akan dicapai secara jelas dan tegas yang disebut dengan fungsi tujuan.
Ada berbagai alternatif kegiatan yang ingin diperbandingkan dalam mencapai suatu tujuan.
Ada keterbatasan sumber daya yang tersedia yang dinamakan dengan kendala.
Fungsi tujuan dan kendala dapat dirumuskan secara kuantitatif atau dibuat dalam model matematika.
Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.
Program Linear memiliki empat ciri khusus yang melekat, yaitu :
Penyelesaian masalah mengarah pada pencapaian tujuan maksimisasi atau minimisasi
Kendala yang ada membatasi tingkat pencapaian tujuan
Ada beberapa alternatif penyelesaian
Hubungan matematis bersifat linear
Dalam program linier terdapat dua fungsi yaitu:
Fungsi tujuan
Fungsi ini menggambarkan sasaran atau tujuan dalam permasalahan program linier yang berkaitan dengan penggunaan secara optimal sumber-sumber untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal.
Fungsi kendala
Fungsi ini merupakan bentuk penyajian secara
matematik kendala-kendala keputusan yang
terbatas untuk dialokasikan secara optimal ke
berbagai tujuan.
Persoalan Pemrograman Linear
Pada umumnya persoalan-persoalan yang dipecahkan dalam program linear yaitu meliputi:
1. Allocation Problem
Ini merupakan pemecahan dalam alokasi bahan-bahan/barang dalam produksi 2. Blending Problem
Ini merupakan cara pemecahan persoalan dari berbagai bahan campuran yang masing- masing unit dipecahkan dan digabung (blending) untuk menghasilkan output.
3. Persoalan Transportasi
Ini merupakan pemecahan persoalan yang menyangkut adanya unit/barang/pasokan dan lain-lain pada beberapa tempat yang akan dipindahkan ke beberapa tempat lainnya.
4. Persoalan Personil
Ini merupakan penempatan personil sesuai dengan jabatan/tempatnya (assigment problem).
Suatu persoalan disebut persoalan program linear apabila memenuhi hal-hal sebagai berikut:
1. Tujuan (objective)
Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan (objective function). Fungsi tujuan tersebut dapat berupa dampak positip, manfaat-manfaat, atau dampak negatip, kerugian- kerugian, resiko-resiko, biaya-biaya, jarak, waktu yang ingin diminimumkan.
2. Alternatif perbandingan
Harus ada sesuatu atau alternatif yang ingin diperbandingkan, misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah, atau alternatif padat modal dengan padat karya, proyeksi permintaan tinggi dengan rendah, dan seterusnya.
3. Sumber Daya
Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan terbatas. Misalnya keterbatasan tenaga, bahan mentah terbatas, modal terbatas, ruangan untuk menyimpan barang terbatas, dan lain-lain. Pembatasan harus dalam ketidaksamaan linier (linear inequality). Keterbatasan dalam sumber daya tersebut dinamakan sebagai fungsi kendala atau syarat ikatan.
4. Perumusan Kuantitatif
Fungsi tujuan dan kendala tersebut harus dapat dirumuskan secara kuantitatif dalam model matematika.
5. Keterikatan Peubah
Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan fungsi kendala tersebut harus memiliki hubungan keterikatan atau hubungan fungsional.
Bentuk Umum Program Linear
Teori Pemodelan (formulasi) Secara Matematis
• Persoalan pokok yang dihadapi, adalah sejauh mana masalah itu diterjemahkan ke dalam model matematika sehingga dapat dianalisis dengan lebih saksama. Upaya menerjemahkan masalah ke dalam model matematika tidak terlepas dari hakikat program linear sebagai suatu teknik perencanaan yang bersifat analisis memakai model matematika.
• Secara sederhana model matematika dapat
didefinisikan sebagai suatu konstruksi
matematis yang didesain untuk mempelajari
suatu fenomena tertentu di dunia nyata.
Berikut beberapa langkah yang perlu diperhatikan dalam memodelkan permasalahan pemrograman linier, yaitu:
Pahami permasalahan secara menyeluruh agar dapat menentukan arah permasalahan
Pahami permasalahan secara menyeluruh agar dapat menentukan arah permasalahan
Identifikasi tujuan yang ingin dicapai, apakah memaksimumkan atau meminimumkan fungsi
tujuan
Identifikasi tujuan yang ingin dicapai, apakah memaksimumkan atau meminimumkan fungsi
tujuan
Identifikasi batasan-batasan (kendala-kendala) yang diketahui berdasarkan masalah yang ada Identifikasi batasan-batasan (kendala-kendala) yang diketahui berdasarkan masalah yang ada
Definisikan variabel keputusan dengan benar, ingat pada umumnya variabel menunjukkan
volume suatu unit
benda bukan hanya menyatakan jenis benda Definisikan variabel keputusan dengan benar,
ingat pada umumnya variabel menunjukkan volume suatu unit
benda bukan hanya menyatakan jenis benda Gunakan variabel keputusan yang telah ditentukan untuk memodelkan permasalahan
dalam bentuk
fungsi tujuan dan fungsi pembatas Gunakan variabel keputusan yang telah ditentukan untuk memodelkan permasalahan
dalam bentuk
fungsi tujuan dan fungsi pembatas
Contoh pemodelan masalah tentang
mimaksimumkan fungsi tujuan (Brian D.
Bunday)
Sebuah Firma memproduksi sendiri rak buku dalam dua model, yaitu A dan B. Produksi rak buku dibatasi oleh persediaan material (papan kualitas tinggi) dan waktu yang terbatas mesin pemroses. Tiap unit A memerlukan 3m2
papan dan tiap unit B memerlukan 4m2 papan. Firma memperoleh 1.700 m2 papan tiap minggu dari pemasok sendiri. Tiap unit A membutuhkan waktu 12 menit dari mesin pemroses dan tiap unit B membutuhkan waktu 30 menit.
Setiap minggu memungkinkan total waktu mesin 160 jam.
Jika keuntungan (profit) tiap unit A sebesar $2 dan tiap unit B sebesar $4, berapa banyak unit dari tiap model akan di produksi tiap minggu!
Contoh pemodelan masalah tentang minimumkan fungsi tujuan (Bunarso T,
1976).
Seorang pedagang (pengusaha kecil) telah menerima dua jenis kembang gula dari seorang pengusaha. Dalam tiap jenis memuat coklat, karamel dan gula dengan perbandingan.
Cokelat Karamel Gula Jenis A (%) 20 20 60 Jenis B (%) 20 60 20
Kedua jenis ini dicampur dan kemudian dimasak lagi untuk dijadikan kembang gula lagi dengan label sendiri; dengan perhitungan kembang gula dengan label baru akan lebih laku jika memuat paling sedikit 4 kg cokelat, paling sedikit 6 kg karamel, dan paling sedikit 6 kg gula. Harga jenis A adalah $10 per kg dan jenis B
$15 per kg. Berapa banyak dari tiap jenis harus dicampur supaya biaya serendah- rendahnya.
Soal Latihan
1. Sebuah perusahaan memproduksi 2 produk setiap hari, yaitu mangkok dan cangkir. Perusahaan mempunyai sumberdaya yang terbatas jumlahnya yaitu tanah liat, dan tenaga kerja. Perusahaan ingin mengetahui berapa mangkok dan cangkir yang harus diproduksi untuk memaksimumkan laba dengan keterbatasan sumberdaya.
Kebutuhan sumber daya untuk satu buah mangkok dan cangkir.
Tersedia 40 jam tenaga dan 120 pon (1 pon = 454 gram) tanah liat setiap hari.
2. Perusahaan makanan biji-bijian menghasilkan makanan bijibijian yang diiklankan mengandung vitamin A dan D. Makanan ini terbuat dari terigu, gandum, dan beras yang masing-masing mengandung vitamin A dan D. Data untuk satu kotak makanan adalah sebagai berikut:
Biaya 1 ons terigu adalah Rp 1.000, biaya satu gandum adalah Rp 1.500 dan biaya 1 ons beras adalah Rp1.300
3. Investor perorangan mempunyai uang Rp 700.000.000 Dia ingin menginvestasikan uangnya dengan pilihan investasi adalah (1) emas dengan tingkat pengembalian 8,5%, (2) sapi dengan tingkat pengembalian 10%, (3) tanah dengan tingkat pengembalian 6,5%, dan saham dengan tingkat pengembalian 13%. Jumlah waktu sampai jatuh tempo pengembalian sama setiap jenis investasi. Untuk mengurangi dilakukan diversifikasi investasi dengan pedoman sebagai berikut :
1. Tidak lebih 20% dari total investasi emas
2. Jumlah yang diinvestasikan dalam sapi tidak lebih dari jumlah investasi untuk ketiga investasi lainnya
3. Paling sedikit 30% dari investasi harus tanah dan saham
4. Perbandingan antara investasi emas dengan jumlah yang diinvestasikan dalam tanah tidak boleh lebih dari satu banding tiga.
5. Investor ingin menginvestasikan semua uangnya.
