MAKALAH ELEKTRODINAMIKA
“Pengantar Vektor, Diferensial Vektor, dan Integral Vektor”
Dosen Pengampu: Abdul Rais, S.Pd.,ST.,M.Si Disusun Oleh: Kelompok 1
1. Akbar Ardiansyah Sembiring (4211121031)
2. Angel Natalia Sihombing (4213121031)
3. Asyer Simanjuntak (4213121082)
4. Desnatalia Siahaan (4213121079)
5. Ermila Sari Siregar (4212121001) 6. Junianti Nababan (4203121024)
Kelas: Pspf 2021 D
PROGRAM STUDI S-1 PENDIDIKAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2023
i
KATA PENGANTAR
Puji Syukur tim penulis ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas segala limpahan rahmat, berkat dan karunia-Nya kepada tim penulis sehingga dapat menyelesaikan dan memenuhi tugas makalah pada mata kuliah Elektrodinamika.. Tim penulis mengucapkan terimakasih kepada bapak dosen pengampu pada mata kuliah Elektrodinamika di Universitas Negeri Medan, yaitu bapak Abdul Rais, S.Pd.,ST.,M.Si .yang telah membimbing tim penulis sehingga makalah ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya.
Tim penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kata sempurna, baik dari segi isi, tulisan maupun kualitasnya masih banyak kekurangan. Oleh karena itu, tim penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk kesempurnaan makalah ini dan lebih baik dimasa mendatang. Akhir kata tim penulis mengharapkan semoga makalah ini dapat bermanfaat dan bisa menambah wawasan pengetahuan bagi pembaca.
Medan, 20 September 2023
Tim Penulis (Kelompok 1)
ii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR... i
DAFTAR ISI ... ii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 1
1.3 Tujuan Penulisan ... 2
BAB II LANDASAN TEORI ... 3
2.1 Pengantar Vektor ... 3
2.1.1 Notasi Vektor ... 3
2.1.2 Wakilan Grafis (Geometris) Vektor... 3
2.1.3 Operasi Aljabar Vektor ... 4
2.2 Diferensial Vektor ... 6
2.2.1 Defenisi Turunan Vektor ... 6
2.2.2 Turunan Biasa Vektor ... 7
2.2.3 Turunan Parsial ... 7
2.2.4 Aturan Rantai ... 8
2.3 Integral Vektor ... 9
2.3.1 Integral Biasa Vektor ... 9
2.3.2 Integral garis ... 10
2.3.3 Integral Permukaan ... 11
2.3.4 Integral Volume ... 12
BAB III PENUTUP ... 14
3.1 Kesimpulan ... 14
3.2 Saran ... 14
DAFTAR PUSTAKA ... 15
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Vektor adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika dan fisika yang memiliki peranan krusial dalam pemodelan berbagai fenomena alamiah dan rekayasa modern.
Konsep vektor memungkinkan kita untuk menggambarkan dan menganalisis berbagai aspek dunia fisik, mulai dari pergerakan benda dalam ruang hingga medan-gravitasi di sekitar planet.
Keunikan vektor terletak pada kemampuannya untuk menggabungkan magnitude (besarnya) dan arah, yang membuatnya lebih kompleks daripada bilangan skalar biasa.
Makalah ini bertujuan untuk menguraikan konsep-konsep dasar vektor, serta untuk menjelaskan mengapa vektor memiliki relevansi yang signifikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Kami akan memandu Anda melalui pemahaman tentang dasar- dasar vektor, operasi-operasi vektor, dan aplikasi-aplikasi praktisnya. Salah satu tujuan utama dari makalah ini adalah memberikan pemahaman yang kokoh tentang vektor kepada pembaca, termasuk konsep dasar seperti penjumlahan vektor, perkalian vektor, dan representasi geometris vektor. Selain itu, kami juga akan membahas penerapan vektor dalam berbagai konteks, seperti fisika, rekayasa, dan grafika komputer.
Melalui pemahaman yang lebih dalam tentang vektor, pembaca diharapkan dapat mengenali peran penting vektor dalam memecahkan berbagai masalah dunia nyata dan mendukung pengembangan teknologi yang lebih maju. Selain itu, pengetahuan tentang vektor juga akan memberikan dasar yang kuat bagi pembaca untuk mengejar studi lebih lanjut dalam bidang matematika, fisika, dan ilmu terkait. Mempelajari vektor akan menjelajahi konsep- konsep fisika secara lebih mendalam dan melihat bagaimana mereka berperan dalam berbagai konteks. Pertama-tama, mari kita mulai dengan dasar-dasar vektor dan definisi awal mereka.
1.2 Rumusan Masalah
1.2.1 Apa defenisi dari vektor?
1.2.2 Bagaimana menotasikan suatu vektor?
1.2.3 Bagaimana pengoperasian aljabar pada vektor?
1.2.4 Bagaimana diferensial dan turunan dari suatu vektor?
1.2.5 Bagaimana integral dari vektor?
2 1.3 Tujuan Penulisan
1.3.1 Untuk mengetahui arti dari vektor
1.3.2 Untuk mengetahui cara menotasikan suatu vektor
1.3.3 Untuk mengetahui cara pengoperasian aljabar pada vektor 1.3.4 Untuk mengetahui diferensial dan turunan dari suatu vektor 1.3.5 Untuk pengintegralan vektor
3
BAB II
PEMBAHASAN MASALAH
2.1 Pengantar Vektor 2.1.1 Notasi Vektor
Vektor harus dicirikan oleh arah dan besarnya, diikuti satuan yang sesuai. Dalam hal ini perlu dipahami bahwa besar/nilai dari vektor adalah sebuah skalar (yang positif). Arah vektor didefinisikan menurut kerangka acuan (sistem koordinat) yang dipakai. Jika sebuah vektor bernilai negatif maka nilai negatifnya sebenarnya menyatakan arah negatif sistem koordinat yang digunakan dan tidak menyatakan nilai vektor.
Untuk dapat menyatakan sebuah vektor kita juga memerlukan simbol-simbol aljabar yang agak berbeda dibanding skalar. Ada beberapa cara notasi untuk menyatakan sebuah vektor:
(i) Vektor dituliskan dengan huruf tebal. Misalnya, gaya dengan notasi 𝑭.
(ii) Vektor dituliskan dengan huruf bertanda bar di bawahnya, seperti 𝐹 . (iii) Vektor dinotasikan dengan huruf dengan tanda anak panah di atasnya 𝐹⃗.
(iv) Berkaitan dengan gerak benda dari suatu titik 𝐴 ke titik yang lain 𝐵, yang menghasilkan vektor pergeseran maka dapat dituliskan dengan 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
(v) Vektor dapat juga dituliskan seperti 𝐹̌ .
Kelima cara menotasikan dan menuliskan sebuah vektor ini adalah cara yang sering digunakan dan semuanya dapat digunakan tergantung mana yang lebih memudahkan menulis serta konsisten. Besar (magnitude) suatu vektor kadang-kadang disebut panjang vektor, yang adalah bilangan non-negatif dan diperoleh dari harga mutlak vektor, yaitu:
|𝐹⃗| = besar vektor 𝐹⃗
Karena besar suatu vektor tidak lain adalah skalar, maka dapat dituliskan 𝐹 = |𝐹⃗| = besar vektor 𝐹⃗
2.1.2 Wakilan Grafis (Geometris) Vektor
Sebuah vektor secara matematis dapat diwakili oleh sebuah notasi vektor. Untuk mempermudah pemahaman kita tentang vektor, sering juga sebuah vektor ditampilkan secara grafis yaitu sebagai sebuah anak panah dengan notasi vektor di sampingnya. Dalam hal ini
4
panjang anak panah menggambarkan nilai/besar vektor sedang arah anak panah sekaligus menyatakan arah vektor.
Dua vektor 𝐴⃗ dan 𝐵⃗⃗ disebut sama yaitu 𝐴⃗ = 𝐵⃗⃗ jika baik besar maupun arah dari kedua vektor adalah sama (yaitu sejajar atau berimpit).
Vektor 𝐴⃗ dan 𝐶⃗ adalah vektor anti sejajar sedangkan vektor 𝐶⃗ dan 𝐷⃗⃗⃗ vektor kolinear satu sama lain. Hasil perkalian skalar α dengan 𝐶⃗ menghasilkan vektor baru 𝐷⃗⃗⃗ dengan panjang berbeda. Antara vektor dengan vektor ini dapat dijumlahkan. Wakilan geometris untuk vektor 3 dimensi akan kita berikan saat membahas vektor satuan.
2.1.3 Operasi Aljabar Vektor 1. Penjumlahan Vektor
Operasi penjumlahan (sering digunakan untuk mencari resultan vektor) untuk vektor- vektor memiliki aturan-aturan penjumlahan agak berbeda. Dalam hal ini penjumlahan dua buah vektor sangat mudah digambarkan bila kita tinjau vektor pergeseran lebih dahulu. Untuk dua buah garis yang mendefinisikan vektor 𝑎⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ maka pergeseran lurus dari titik 𝐴 ke 𝐶 melalui 𝐵 menghasilkan:
𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = 𝑐⃗ yaitu pergeseran total yang merupakan vektor resultan 𝑐⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Disebut aturan penjumlahan vektor atau aturan penjumlahan segitiga dan hasil penjumlahan 𝑐⃗ = 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ yang merupakan vektor tunggal disebut resultan dari 𝑎⃗ dan 𝑏⃗⃗ . Aturan Penjumlahan Vektor (aturan segitiga) Sebuah vektor dapat digambarkan sebagai anak panah dan bilamana dua buah vektor 𝑎⃗ dan 𝑏⃗⃗ dijumlahkan maka dapat dilukis dengan cara
5
ujung vektor 𝑎⃗ berimpit dengan pangkal vektor 𝑏⃗⃗ dan resultan vektor 𝑐⃗ = 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ adalah anak panah (vektor) dari pangkal vektor 𝑎⃗ langsung ke ujung vektor 𝑏 ⃗⃗⃗⃗.
2. Pengurangan Vektor dan Hukum Aljabar Vektor
Dari definisi vektor anti sejajar sebelumnya, maka untuk pengurangan/ selisih vektor dapat didefinisikan sebagai berikut:
𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ = 𝑎⃗ + (-𝑏⃗⃗) = 𝑐⃗
Dari definisi sebelumnya, suatu vektor besarnya selalu dinyatakan sebagai bilangan riil positif. Secara geometri jelas bahwa untuk vektor 𝐵⃗⃗ = -𝑏⃗⃗ adalah vektor yang besarnya sama
|𝐵⃗⃗| = |𝑏⃗⃗| namun arahnya berlawanan (anti sejajar).
Kemudian sejumlah vektor dapat juga dijumlahkan menurut aturan penjumlahan poligon.
Aturan ini tidak lain aturan penjumlahan segi tiga yang diterapkan secara berturutan/serial.
Aturan penjumlahan ini berlaku baik untuk vektor-vektor yang koplanar (sebidang) ataupun tidak, hanya untuk poligon tiga dimensi sulit untuk digambar jika vektor-vektor tidak koplanar.
adalah wakilan grafis penjumlahan vektor dengan aturan penjumlahan poligon untuk 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗ + 𝑑⃗ = 𝑒⃗
6
Penjumlahan (pengurangan) vektor juga memenuhi aturan-aturan (hukum) aljabar sebagai berikut (untuk vektor sembarang 𝑥⃗ , 𝑦⃗, 𝑧⃗ ) :
Secara grafis untuk operasi penjumlahan vektor yang memenuhi hukum komutatif seperti aturan di atas, maka dapat kita misalkan untuk penjumlahan vektor
𝑟1
⃗⃗⃗⃗ + 𝑟⃗⃗⃗⃗ = 𝑅⃗⃗ = 𝑟2 ⃗⃗⃗⃗ + 𝑟2 ⃗⃗⃗⃗ 1
Dengan aturan penjumlahan segitiga, maupun jajaran genjang ini arah dan besar vektor resultan dapat ditentukan dari teorema Pitagoras dan trigonometri. Dalam hal ini besar vektor resultan dapat kita buktikan bahwa
2.2 Diferensial Vektor
2.2.1 Defenisi turunan vektor
A(t) adalah sebuah fungsi vektor yang bergantung pada sebuah variabel t, didefinisikan turunan dari A(t) sebagai berikut:
𝑑𝐴
𝑑𝑡 = lim
∆𝑡→0
𝐴(𝑢 + ∆𝑡) − 𝐴(𝑡)
∆𝑡
Jika fungsi vektor 𝐴(𝑇) = 𝐴1(𝑡)𝑖 + 𝐴2(𝑡)𝑗 + 𝐴3(𝑡)𝑘 dengan fungsi skalar 𝐴1(𝑡), 𝐴2(𝑡), 𝑑𝑎𝑛 𝐴3(𝑡) dapat didiferensialkan terhadap variabel t, maka A(t) mempunyai turunan variabel terhadap t yang dirumuskan sebagai berikut:
𝑑𝐴
𝑑𝑡 =𝑑𝐴1
𝑑𝑡 𝑖 +𝑑𝐴2
𝑑𝑡 𝑗 +𝑑𝐴3 𝑑𝑡 𝑘
7 2.2.2 Turunan biasa vector
Misalkan →𝑅(𝑢) vektor yanag bergantung pada variabel skalar Tunggal u. Maka,
∆𝑅⃗⃗
∆𝑢 =𝑅⃗⃗(𝑢 + ∆𝑢) − 𝑅⃗⃗(𝑢)
∆𝑢 Dimana ∆𝑢 menyatakan perubahan nilai u.
Turunan biasa dari vektor 𝑅⃗⃗(𝑢) terhadap skalar u adalah 𝑑𝑅⃗⃗
𝑑𝑢 = lim
∆𝑢→0
∆𝑅⃗⃗
∆𝑢 = lim
∆𝑢→0
𝑅⃗⃗(𝑢 + ∆𝑢) − 𝑅⃗⃗(𝑢)
∆𝑢 Karena 𝑑𝑅⃗⃗
𝑑𝑢 merupakan vektor yang bergantung pada u, kita dapat menyatakan turunannya terhadap u, jika turunan dari 𝑑𝑅⃗⃗
𝑑𝑢 ada maka dapat dinotasikan sebagai 𝑑2𝑅⃗⃗
𝑑𝑢2. 2.2.3 Turunan Parsial
Turunan parsial untuk fungsi vektor dua variabel atau lebih, prinsipnya sama dengan turunan satu variabel, dimana semua variabel dianggap konstan. Kecuali satu yaitu variabel terhadap apa fungsi vektor itu diturunkan.
Misalkan A adalah sebuah fungsi vektor yang tergantung kepada variabel skalar x, y, dan z.
maka dapat dituliskan A = A (x, y, z). ketiga turunan parsialnya didefinisikan sebagai berikut:
𝜕𝐴
𝜕𝑥 = lim
∆𝑥→0
𝐴(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧)
∆𝑥
𝜕𝐴
𝜕𝑦 = lim
∆𝑦→0
𝐴(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦, 𝑧) − 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧)
∆𝑦
𝜕𝐴
𝜕𝑧 = lim
∆𝑧→0
𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧 + ∆𝑧) − 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧)
∆𝑧
8
Merupakan masing-masing turunan parsial dari A terhadap x, y, dan z jika limitnya ada.
Jika fungsi vektor 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐴1(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖 + 𝐴2(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗 + 𝐴3(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘 dengan fungsi skalar 𝐴1(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐴2(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑑𝑎𝑛 𝐴3(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘 mempunya turunan parsial terhadap variabel x, y, dan z yang dirumuskan sebagai berikut:
𝜕𝐴
𝜕𝑥= 𝜕𝐴1
𝜕𝑥 𝑖 +𝜕𝐴2
𝜕𝑥 𝑗 +𝜕𝐴3
𝜕𝑥 𝑘
𝜕𝐴
𝜕𝑦= 𝜕𝐴1
𝜕𝑦 𝑖 +𝜕𝐴2
𝜕𝑦 𝑗 +𝜕𝐴3
𝜕𝑦 𝑘
𝜕𝐴
𝜕𝑧 = 𝜕𝐴1
𝜕𝑧 𝑖 +𝜕𝐴2
𝜕𝑧 𝑗 +𝜕𝐴3
𝜕𝑧 𝑘 Berikut sifat-sifat turunan parsial:
Misalkan A dan B adalah fungsi-fungsi vektor dan ∅ adalah fungsi skalar x, y dan z dapat didiferensialkan terhadap ketiga variabel tersebut, maka berlaku:
i. 𝜕
𝜕𝑥(𝐴 + 𝐵) =𝜕𝐴𝜕𝑥+𝜕𝐵
𝜕𝑥
ii. 𝜕
𝜕𝑥(∅𝐴) = ∅𝜕𝐴
𝜕𝑥+𝜕∅
𝜕𝑥𝐴 iii. 𝜕
𝜕𝑥(𝐴𝐵) = 𝐴.𝜕𝐵𝜕𝑥 +𝜕𝐴
𝜕𝑥. 𝐵 iv. 𝜕
𝜕𝑥(𝐴 × 𝐵) = 𝐴 ×𝜕𝐵𝜕𝑥+𝜕𝐴
𝜕𝑥× 𝐵
v. 𝜕2
𝜕𝑦𝜕𝑥(𝐴. 𝐵) = 𝜕
𝜕𝑦{𝜕
𝜕𝑥(𝐴. 𝐵)} = 𝜕
𝜕𝑦{𝐴.𝜕𝐵
𝜕𝑥+𝜕𝐴
𝜕𝑥. 𝐵}
= 𝐴. 𝜕2𝐵
𝜕𝑦𝜕𝑥+𝜕𝐴
𝜕𝑦.𝜕𝐵
𝜕𝑥+𝜕𝐴
𝜕𝑥.𝜕𝐵
𝜕𝑦+ 𝜕2𝐴
𝜕𝑦𝜕𝑥. 𝐵 2.2.4 Aturan rantai
Misalkan F= F(x,y,z) adalah fungsi vektor yang dapat dideferensialkan terhadap variabel x,y dan z, dimana x = x(s,t,u), y = y(s,t.u), dan z = z(s,t,u) adalah fungsi-fungsi skalar yang dapat dideferensialkan terhadap variabel s, t dan u maka bentuk fungsi tersusun F dapat dituliskan dengan:
𝐹 = 𝐹[𝑥(𝑠, 𝑡, 𝑢), 𝑦(𝑠, 𝑡, 𝑢)𝑧(𝑠, 𝑡, 𝑢)]
Turunan parsial F terhadap variabel s, t, dan u dapat dirumuskan sebagai berikut:
9
𝜕𝐹
𝜕𝑠 =𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑠+𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑠+𝜕𝐹
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑠
𝜕𝐹
𝜕𝑡 =𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑡 +𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑡 +𝜕𝐹
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑡
𝜕𝐹
𝜕𝑢 = 𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑢+𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑢+𝜕𝐹
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑢 Contoh:
Jika 𝐹 = 𝑥𝑦𝑧2𝑖 + 𝑦𝑧2𝑗 + 2𝑥𝑦2𝑘, tentukan a. 𝜕𝐹
𝜕𝑥
b. 𝜕𝐹
𝜕𝑦
c. 𝜕𝐹
𝜕𝑧
Penyelesaian:
a. 𝜕𝐹
𝜕𝑥 = 𝜕
𝜕𝑥(𝑥𝑦𝑧2𝑖 + 𝑦𝑧2𝑗 +2𝑥𝑦2𝑘)
= 𝑦𝑧2𝑖 +0+2𝑦2𝑘
= 𝑦𝑧2𝑖 +2𝑦2𝑘 b. 𝜕𝐹
𝜕𝑦= 𝜕
𝜕𝑦(𝑥𝑦𝑧2𝑖 + 𝑦𝑧2𝑗 +2𝑥𝑦2𝑘)
= 𝑥𝑧2𝑖 + 𝑧2𝑗 +4𝑥𝑦𝑘 c. 𝜕𝐹
𝜕𝑧 = 𝜕
𝜕𝑧(𝑥𝑦𝑧2𝑖 + 𝑦𝑧2𝑗 +2𝑥𝑦2𝑘)
= 2𝑥𝑦𝑧𝑖 +2𝑦𝑧𝑗 +0 = 2𝑥𝑦𝑧𝑖 +2𝑦𝑧𝑗
2.3 Integral Vektor
Dalam bab ini kita akan membahas integral vektor. Integral vektor adalah konsep matematika yang melibatkan integrasi dari fungsi vektor. Dimana pembahasan dimulai dari integral biasa, integral garis, integral permukaan hingga integral volume.
2.3.1 Integral Biasa Vektor
10
Misalkan 𝑅⃗⃗(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑅1(𝑢)𝑖 + 𝑅2(𝑢)𝑗 + 𝑅3(𝑢)𝑘 sebuah vektor yang bergantung pada variable scalar tunggal u, dimana 𝑅1(𝑢), 𝑅2(𝑢), 𝑅3(𝑢) kontinu dalam suatu selang waktu yang ditentukan.
∫ 𝑅⃗⃗(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑖 ∫ 𝑅1(𝑢)𝑑𝑢 + 𝑗 ∫ 𝑅2(𝑢)𝑑𝑢 + 𝑘 ∫ 𝑅3(𝑢)𝑑𝑢 (3.1) Disebut integral tak tentu dari 𝑅⃗⃗(𝑢) . Bila terdapat sebuah vektor 𝑆⃗(𝑢) sehingga 𝑅⃗⃗(𝑢) =
𝑑
𝑑𝑢(𝑆(𝑢)), maka
∫ 𝑅⃗⃗(𝑢)𝑑𝑢 = ∫ 𝑑
𝑑𝑢(𝑆(𝑢))𝑑𝑢 = 𝑆(𝑢) + 𝑐⃗ (3.2) Dimana 𝑐⃗ adalah vektor konstan sebarang yang tak bergantung pada u. intergral tentu antara limit-limit 𝑢 = 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑢 = 𝑏 dalam hal demikian dapat ditulis
∫ 𝑅⃗⃗(𝑢)𝑑𝑢
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑑
𝑑𝑢(𝑆(𝑢))𝑑𝑢 = 𝑆(𝑢) + 𝑐⃗|𝑎 𝑏
𝑏
𝑎
= 𝑆(𝑏) − 𝑆(𝑎) (3.3) Integral ini juga dapat didefinisikan sebagai limit dari jumlah dalam cara yang analog dengan yang ada pada kalkulus integral elementer.
2.3.2 Integral Garis
Konsep integral garis merupakan perluasan dari konsep integral tertentu. Integral garis sepanjang lintasan dari titik A ke titik B dapat dinyatakan dalam bentuk ∫ 𝐴⃗. 𝑑𝑟⃗𝐴𝐵 dan dengan memisalkan fungsi vektor 𝐴⃗ dinyatakan sebagai gradien 𝜙 atau ∇⃗⃗⃗𝜙 dari suatu fungsi skalar dari posisi, yakni, 𝐴⃗ = ∇⃗⃗⃗𝜙 , maka integral garisnya dapat ditulis menjadi
∫ 𝐴⃗. 𝑑𝑟⃗
𝐵
𝐴
= ∫ (∇𝐵 ⃗⃗⃗𝜙 ). 𝑑𝑟⃗
𝐴
= ∫ (𝜕𝜙
𝜕𝑥𝑑𝑥 +𝜕𝜙
𝜕𝑦𝑑𝑦 +𝜕𝜙
𝜕𝑧𝑑𝑧) (3.4)
𝐵
𝐴
Jika digunakan pernyataan diferensial total dari fungsi 𝜙 yaitu
𝜕𝜙
𝜕𝑥𝑑𝑥 +𝜕𝜙
𝜕𝑦𝑑𝑦 +𝜕𝜙
𝜕𝑧𝑑𝑧
= 𝑑𝜙 (3.5) Maka persamaan (3.4) dapat ditulis dalam bentuk
11
∫ 𝐴⃗. 𝑑𝑙
𝐵
𝐴
= ∫ 𝑑𝜙
𝐵
𝐴
= 𝜙𝐵− 𝜙𝐴 (3.6) Dari sini dapat disimpulkan bahwa integral garis gradient dari seberang fungsi scalar dari posisi 𝜙 sekeliling kurva tertutup adalah nol, sebab jika kurvanya tertutup, titik tiik A dan berimpitan dan integral garis itu sama dengan 𝜙𝐵− 𝜙𝐴, yang sama dengan nol.
2.3.3 Integral Permukaan
Jika integral garis adalah perluasan dari integral biasa, maka integral merupakan perluasan dari integral lipat dua. Misalkan S adalah suatu permukaan 2 sisi yang demikian mulus dan adalah normal satuan positif, maka integral permukaan dari medan vektor (x, y, z) melalui permukaan S didefinisikan oleh
𝐼
= ∬ 𝐴⃗. 𝑛̂𝑑𝑆⃗
𝑆
(3.7)
Dengan 𝑛̂ adalah vektor satuan normal permukaan 𝑆⃗ .
Dalam kajian fisis, jika medan vektor 𝐴⃗ merupakan medan elektrostatik. maka integral permukaan yang dinyatakan oleh persamaan (2.15) menyatakan jumlah garis gaya atau fluks medan listrik yang menembus permukaan S.
Secara sederhana, untuk menghitung integral permukaan dapat dilakukan dengan memproyeksikan permukaan S pada salah satu bidang koordinat, kemudian menghitung integral lipat dua dari proyeksinya. Misalkan permukaan S memiliki proyeksi pada bidang xy, maka integral permukaan dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut.
∬ 𝐴⃗. 𝑛̂𝑑𝑆⃗
𝑆
= ∬ 𝐴⃗. . 𝑛̂𝑑𝑥𝑑𝑦
|𝑛̂. 𝑘|
𝑆
(3.8) Selanjutnya jika diproyeksi pada bidang xz, maka integral permukaannya adalah
∬ 𝐴⃗. 𝑛̂𝑑𝑆⃗
𝑆
= ∬ 𝐴⃗. . 𝑛̂𝑑𝑥𝑑𝑦
|𝑛̂. 𝑗|
𝑆
(3.9) Selanjutnya jika diproyeksi pada bidang yz, maka integral permukaannya adalah
12
∬ 𝐴⃗. 𝑛̂𝑑𝑆⃗
𝑆
= ∬ 𝐴⃗. . 𝑛̂𝑑𝑥𝑑𝑦
|𝑛̂. 𝑖|
𝑆
(3.10)
Gambar 1.Proyesi pada Intergral Permukaan
Selain itu, perhitungan integral permukaan seringkali membutuhkan transformasi variabel melalui dua parameter permukaan. Misalkan S adalah sebuah permukaan yang mencakup titik-titik (x, y, z) dalam ruang tiga dimensi yang koordinatnya dinyatakan dalam persamaan parameter
𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣)𝑧
= 𝑧(𝑢, 𝑣) (3.11)
dengan u dan v adalah dua parameter permukaan, sehingga notasi vektor permukaan S adalah tempat kedudukan semua titik dengan vektor kedudukan:
𝑟⃗(𝑢, 𝑣) = 𝑥(𝑢, 𝑣)𝑖 + 𝑦(𝑢, 𝑣)𝑗
+ 𝑧(𝑢, 𝑣)𝑘 (3.12) Dari definisi garis singgung kurva, 𝑑𝑟𝑢 = (𝜕𝑟
𝜕𝑢) 𝑑𝑢 dan 𝑑𝑟𝑣 = (𝜕𝑟
𝜕𝑣) 𝑑𝑣 yang menyinggung kurva r(u) dan r(v) pada permukaan S. Kedua garis kurva membentuk elemen luas permukaan S berupa jajaran genjang, sehingga secara vektor dapat ditulis menjadi
𝑛̂𝑑𝐴 = (𝑑𝑟𝑢 × 𝑑𝑟𝑣) = (𝜕𝑟
𝜕𝑢×𝜕𝑟
𝜕𝑣) (𝑑𝑢𝑑𝑣) 2.3.4 Integral Volume
13
Jika kita memiliki sebuah permukaan tertutup dalam ruang yang menutup volume V, maka integral volume dapat didefinisikan dengan persamaan berikut
∭ 𝐴𝑑𝑉
𝑉
= ∭ 𝐴𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑉
𝑑𝑎𝑛 ∭ 𝜙𝑑𝑉
𝑉
= ∭ 𝜙𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑉
∭ 𝜙𝑑𝑉𝑉 dinyatakan sebagai limit dari jumlah.
Didalam fisika, integral volume antara lain ditemukan pada kasus:
1. Perhitungan massa benda bervolume V yang memiliki kerapatan massa tidak homogen 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧). ∭ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
2. Volume fluida yang melewati permukaan dSdalam waktu ∆𝑇;
∬ 𝐴⃗. 𝑛̂𝑑𝑆⃗
𝑆
= ∭ ∇⃗⃗⃗. 𝐴⃗𝑑𝑉
14
BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Makalah ini menguraikan konsep dasar vektor dan signifikansinya dalam berbagai bidang.
Vektor adalah alat penting dalam matematika, memungkinkan representasi besaran dengan magnitude dan arah. Dalam fisika, vektor digunakan untuk menganalisis pergerakan dan fenomena alam. Vektor juga memiliki aplikasi luas dalam rekayasa dan grafika komputer.
Pemahaman tentang vektor penting dalam ilmu pengetahuan dan pemecahan masalah sehari- hari. Jadi, pemahaman yang kuat tentang vektor memiliki dampak besar di berbagai bidang.
3.2 Saran
Tim penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kata sempurna, baik dari segi isi, tulisan maupun kualitasnya masih banyak kekurangan. Oleh karena itu, tim penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk kesempurnaan makalah ini dan lebih baik dimasa mendatang. Akhir kata tim penulis mengharapkan semoga makalah ini dapat bermanfaat dan bisa menambah wawasan pengetahuan bagi pembaca.
15
DAFTAR PUSTAKA
A. Arkundato. Vektor dan Penggunaan Vektor. Modul 1. 1.2-1.95
Hamid, A. (2020). Matematika Untuk Fisika 2. Banda Aceh: Syiah Kuala University Press.
Misbah., dkk. (2022). Persaman Differensial Matematika Fisika. Tasikmalaya: Perkumpulan Rumah Cemerlang Indonesia (PRCI).
Sulistyorini, P., dkk. (2017). Analisis Vektor untuk Pendidikan Matematika. Malang: IKIP BUDI UTOMO Malang.
