Masalah dalam Suku Bunga Minggu 3

Masalah dalam Suku Bunga

MA3161 – Pendahuluan Teori Suku Bunga

Ade Candra Bayu, M.Si.

FMIPA

Minggu 3

Masalah dalam Suku Bunga

Masalah-masalah mendasar dalam suku bunga melibatkan 4 (empat) besaran.

1. Nilai awal investasi (principal) 2. Panjang periode investasi (time)

3. Ukuran bunga (suku bunga/diskon, force of interest) 4. Nilai akumulasi

Apabila 3 dari 4 besaran diketahui, maka besaran lainnya dapat dihitung.

Persamaan Nilai (Equations of Value)

Prinsip dasar dalam teori suku bunga adalah nilai dari sejumlah uang pada suatu waktu bergantung pada

• waktu yang sudah berlalu sejak uang tersebut dibayarkan, atau

• waktu yang akan datang sebelum uang tersebut dibayarkan

Prinsip ini dapat disebut time value of money (nilai uang berdasarkan waktu).

Seringkali diperlukan perbandingan dari dua atau lebih aliran dana yang dibayarkan pada waktu yang berlainan. Hal tersebut hanya dapat dilakukan jika perhitungan dilakukan pada titik waktu yang sama (comparison date).

Pada comparison date, aliran dana dapat dihitung dengan faktor diskon atau faktor akumulasi. Kedua metode perhitungan tersebut menghasilkan persamaan nilai.

Contoh

Seseorang dijanjikan mendapatkan $600 pada akhir tahun ke-8 dari sekarang, asalkan orang tersebut melakukan 3 kali deposit, yaitu $100 saat ini, $200 pada akhir tahun ke-5, dan terakhir pada akhir tahun ke-10. Hitung besar deposit terakhir apabila berlaku suku bunga nominal 8% convertible semiannually.

Unknown Time

Apabila diketahui aliran dana investasi dan suku bunga/diskon, maka waktu investasi bisa ditentukan.

Contoh kasus 1

Misalkan aliran dana 𝑠𝑠₁, 𝑠𝑠₂, … , 𝑠𝑠_𝑛𝑛 masing-masing dibayarkan pada waktu 𝑡𝑡₁, 𝑡𝑡₂, … , 𝑡𝑡_𝑛𝑛. Apabila aliran dana tersebut digantikan oleh satu kali saja sebesar 𝑠𝑠₁ + 𝑠𝑠₂ + ⋯ + 𝑠𝑠_𝑛𝑛, pada waktu 𝑡𝑡 , berapa 𝑡𝑡 yang tepat sehingga pembayaran ini ekuivalen dengan pembayaran terpisah sebelumnya?

Persamaan nilai pada waktu 0 adalah

𝑠𝑠₁ + 𝑠𝑠₂ + ⋯ + 𝑠𝑠_𝑛𝑛 𝑣𝑣^𝑡𝑡 = 𝑠𝑠₁𝑣𝑣^𝑡𝑡1 + 𝑠𝑠₂𝑣𝑣^𝑡𝑡2 + ⋯ + 𝑠𝑠_𝑛𝑛𝑣𝑣^{𝑡𝑡𝑛𝑛} 𝑣𝑣^𝑡𝑡 = 𝑠𝑠₁𝑣𝑣^𝑡𝑡1 + 𝑠𝑠₂𝑣𝑣^𝑡𝑡2 + ⋯+ 𝑠𝑠_𝑛𝑛𝑣𝑣^{𝑡𝑡𝑛𝑛}

𝑠𝑠₁ + 𝑠𝑠₂ + ⋯ + 𝑠𝑠_𝑛𝑛 𝑡𝑡 = ln 𝑠𝑠₁𝑣𝑣^𝑡𝑡1 + 𝑠𝑠₂𝑣𝑣^𝑡𝑡2 + ⋯+ 𝑠𝑠_𝑛𝑛𝑣𝑣^{𝑡𝑡𝑛𝑛}

𝑠𝑠₁ + 𝑠𝑠₂ + ⋯ + 𝑠𝑠_𝑛𝑛

1

ln 𝑣𝑣 , … ∗

Persamaan ∗ dapat diaproksimasi dengan method of equated time, yaitu 𝑡𝑡 ≈ 𝑠𝑠₁𝑡𝑡₁ + 𝑠𝑠₂𝑡𝑡₂ + ⋯ + 𝑠𝑠_𝑛𝑛𝑡𝑡_𝑛𝑛

𝑠𝑠₁ + 𝑠𝑠₂ + ⋯ + 𝑠𝑠_𝑛𝑛

(Penurunan metode ini menjadi bahan belajar mandiri mahasiswa)

Contoh kasus 2

Apabila diketahui suku bunga 𝑖𝑖, berapa lama nilai awal investasi menjadi 2 kali lipat?

Persamaan nilai pada waktu 𝑡𝑡 adalah

1 + 𝑖𝑖 ^𝑡𝑡 = 2

𝑡𝑡 = ln 2

ln 1 + 𝑖𝑖 , … ∗∗

Persamaan ∗∗ dapat diaproksimasi dengan banyak pendekatan. Salah satu yang lazim digunakan adalah Aturan 72, yaitu

𝑡𝑡 = ln 2

ln 1 + 𝑖𝑖 ≈

0.72 𝑖𝑖 Aturan 72 diperoleh dengan pendekatan berikut.

𝑡𝑡 = ln 2

ln 1 + 𝑖𝑖 = ln 2 𝑖𝑖

𝑖𝑖

ln 1 + 𝑖𝑖 = ln 2 𝑖𝑖 ln 1 + 𝑖𝑖

𝑖𝑖 Pilih 𝑖𝑖 = 8% sehingga diperoleh

ln 2 𝑖𝑖

ln 1 + 𝑖𝑖 = ln 2 0,08

ln 1,08 = 0.720517467

Jadi aproksimasi waktu sehingga nilai awal investasi menjadi 2 kali lipat adalah 𝑡𝑡 ≈ 0.72

𝑖𝑖

Aturan 72 memberikan hasil aproksimasi yang cukup baik untuk menentukan waktu sehingga nilai awal investasi menjadi dua kali lipat.

Suku Bunga Nilai 𝑡𝑡 Hampiran 𝑡𝑡 ≈ 0.72

𝑖𝑖

Nilai 𝑡𝑡 Eksak

𝑡𝑡 = ln 2

ln 1 + 𝑖𝑖

4% 18 17.67298769

6% 12 11.89566105

8% 9 9.006468342

10% 7,2 7.272540897

12% 6 6.116255374

18% 4 4.187835134

Contoh

1. Kapan investasi sebesar $1000 akan menjadi dua kali lipat jika memperoleh suku bunga per tahun 6% convertible semiannually. Gunakan perhitungan eksak dan Aturan 72.

2. Deposit sebesar $100, $00, dan $500 dilakukan berturut-turut pada akhir tahun ke-2, ke-3, dan ke-8. Tentukan kapan deposit sebesar$800 akan setara nilainya dengan 3 kali pembayaran sebelumnya jika berlaku suku bunga 5% per tahun.

Gunakan perhitungan eksak dan aproksimasi.

Unknown Rate of Interest

Apabila diketahui aliran dana dan waktu investasi, maka suku bunga/diskon bisa ditentukan.

Masalah penentuan suku bunga diperluas menjadi masalah penentuan rate of return (yield rate) dari suatu investasi.

Secara umum, menentukan suku bunga adalah menyelesaikan 𝑖𝑖 dari polinomial 𝑠𝑠₀ + 𝑠𝑠₁ 1 + 𝑖𝑖 + 𝑠𝑠₂ 1 + 𝑖𝑖 ² + ⋯ 𝑠𝑠_𝑛𝑛 1 + 𝑖𝑖 ^𝑛𝑛 = 0

atau

𝑠𝑠₀ + 𝑠𝑠₁𝑣𝑣 + 𝑠𝑠₂𝑣𝑣² + ⋯ 𝑠𝑠_𝑛𝑛𝑣𝑣^𝑛𝑛 = 0, 𝑣𝑣 = 1 1 + 𝑖𝑖

Metode yang digunakan bervariasi, seperti metode aljabar, interpolasi, dan metode numerik.

Contoh

1. Tentukan suku bunga nominal convertible quarterly apabila deposit sebesar

$1000 menjadi $1600 dalam waktu 6 tahun.

2. Tentukan suku bunga efektif apabila nilai sekarang dari deposit sebesar $2000 pada akhir tahun ke-2 dan $3000 pada akhir tahun ke-4 adalah $4000.

Penentuan Periode Waktu Harian

Praktik keuangan seringkali melibatkan waktu harian dalam perhitungan. Ada 3 metode dalam penentuan jumlah hari dalam periode satu tahun.

1. Metode pertama, jumlah hari dalam satu tahun sama dengan jumlah eksak dari banyaknya hari dalam satu tahun, yaitu 365 hari. Metode ini disebut sebagai

“actual/actual” atau “exact simple interest/compound interest”.

Pada metode pertama ini, setiap hari dalam satu tahun mempunyai nomor urutan hari, sehingga jumlah hari dari suatu tanggal awal investasi ke tanggal akhir investasi dapat menghitung dengan mudah.

Tabel nomor urut hari dalam 1 tahun

Penentuan Periode Waktu Harian

2. Metode kedua, menggunakan asumsi bahwa semua bulan terdiri dari 30 hari sehingga jumlah hari dalam satu tahun adalah 360. Metode ini disebut sebagai

“30/360” atau “ordinary simple interest/compound interest”.

Jumlah hari di antara dua tanggal, misalnya dari tanggal 𝐷𝐷₁/𝑀𝑀₁/𝑌𝑌₁ sampai tanggal 𝐷𝐷₂/𝑀𝑀₂/𝑌𝑌₂, ditentukan dengan rumus

360 𝑌𝑌₂ − 𝑌𝑌₁ + 30 𝑀𝑀₂ − 𝑀𝑀₁ + 𝐷𝐷₂ − 𝐷𝐷₁

3. Metode ketiga adalah campuran (hybrid) dari kedua metode sebelumnya. Jumlah hari dalam satu tahun adalah 365 (eksak) namun pembagi suku bunga adalah 360. Metode ini disebut sebagai “actual/360” atau Aturan Banker.

Metode manakah yang lebih menguntungkan?

Contoh

Hitung besar uang yang diperoleh apabila $2000 didepositokan tanggal 17 Juni dan diambil tanggal 10 September pada tahun yang sama, dengan suku bunga tunggal 8%. Gunakan perhitungan berdasarkan

1. Exact simple interest (actual/actual) 2. Ordinary simple interest (30/360) 3. Aturan Banker (actual/360)

Contoh

Uang sejumlah $10,000 diinvestasikan pada bulan Juli dan Agustus pada instrument yang memberikan 6% bunga majemuk. Berapa besar bunga yang diperoleh? Gunakan perhitungan berdasarkan

1. Exact compound interest (actual/actual) 2. Ordinary compound interest (30/360) 3. Aturan Banker (actual/360)

Referensi

1. Kellison, Stephen G., The Theory of Interest, 3rd Edition, Mc Graw Hill, 2008

2. Vaaler, Leslie Jane Federer, Mathematical Interest Theory, AMS MAA Textbooks, 2019 3. Wilders, Richard James, Financial Mathematics for Actuarial Science The Theory of

Interest, CRC Press, 2020