Menentukan Akar Pangkat 𝑛 Bilangan Komplek

1

AKAR BILANGAN KOMPLEK

Misal: 𝑤 bilangan komplek

Ditentukan akar pangkat 𝑛 dari 𝑤 →ⁿ w wⁿ

1

 adalah bilangan kompleks 𝑧 yang memenuhi 𝑧^𝑛 = 𝑤

Misal : 𝑧 = 1 + 𝑖

Akar pangkat 3 dari 𝑤 ditulis ³ ww¹³ z³ 

 

1i ³ Bagaimana cara menentukan 𝑧 ?

Misal : 𝑧 = 𝑟 𝐶𝐼𝑆 𝜃 𝑤 = 𝜌 𝐶𝐼𝑆 𝛼 akan dicari nilai 𝑟 dan 𝜃 𝑤 = 𝜌 𝑐𝑖𝑠 𝜃

 



 







 









sin cos

sin

cosn i n i

r

CIS CIS

r w z

n

n n











𝑟^𝑛𝑐𝑖𝑠 𝑛 𝜃 = 𝜌 𝑐𝑖𝑠 𝛼

Akibatnya

𝑟^𝑛 = 𝜌 => 𝑟 = 𝜌^1𝑛 𝑛𝜃 = 𝛼 + 2𝑘𝜋 𝜃 =𝛼 + 2𝑘𝜋

𝑛 𝑤

1

𝑛 = 𝑧 = 𝜌

1

𝑛(𝑐𝑜𝑠^{𝛼+2𝑘𝜋}

𝑛 + 𝑖 sin^{𝛼+2𝑘𝜋}

𝑛 ) dengan 𝑘 = 0, ±1, ±2, … 𝑛 − 1

Karena fungsi sinus dan cosinus periodik sebesar 2𝜋, maka 𝑘 adalah bilangan bulat, ini akan memberikan nilai akar yang berbeda. Nilai ini diperoleh dengan mengambil 𝑛 buah bilangan bulat yang berurutan untuk diberikan kepada 𝑘, misalnya 𝑘 = 0,1,2,3, … , 𝑛 − 1 sehingga

𝑤^𝑛1 = 𝑧_𝑘 = 𝜌^𝑛1(𝑐𝑜𝑠^{𝛼+2𝑘𝜋}

𝑛 + 𝑖 sin^{𝛼+2𝑘𝜋}

𝑛 ) dengan 𝑘 = 0, 1, 2, … 𝑛 − 1

2 Contoh :

Tentukan semua nilai akar pangkat 6 dari 1!

Solusi :

akar pangkat 6 dari 1 adalah 𝑧 = √1⁶ → 𝑧⁶= 1 ingat bahwa 𝑧^𝑛 = 𝑤

maka 𝑤 = 1 + 0𝑖 → terletak di sumbu 𝑥 positif jadi 𝛼 = 0 dan 𝜌 = √(−1)²+ 0²= 1

𝑤

1

6 = 𝑧_𝑘 = 1

1

6(𝑐𝑜𝑠^{𝛼+2𝑘𝜋}

𝑛 + 𝑖 sin^{𝛼+2𝑘𝜋}

𝑛 ) dengan 𝑘 = 0, 1, 2, 3, 4, 5 𝑧₀= 1(𝑐𝑜𝑠0 + 2.0. 𝜋

6 + 𝑖 sin0 + 2.0. 𝜋

6 ) = 1(cos 0 + 𝑖 sin 0) = 1 𝑧₁= 1(𝑐𝑜𝑠0 + 2.1. 𝜋

6 + 𝑖 sin0 + 2.1. 𝜋

6 ) = 1(cos𝜋

3+ 𝑖 sin𝜋 3) =1

2+1 2√3𝑖 𝑧₂= 1(𝑐𝑜𝑠0 + 2.2. 𝜋

6 + 𝑖 sin0 + 2.2. 𝜋

6 ) = 1(cos2𝜋

3 + 𝑖 sin2𝜋

3) = −1 2+1

2√3𝑖 𝑧₃= 1(𝑐𝑜𝑠0 + 2.3. 𝜋

6 + 𝑖 sin0 + 2.3. 𝜋

6 ) = 1(cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋) = −1 𝑧₄= 1(𝑐𝑜𝑠0 + 2.4. 𝜋

6 + 𝑖 sin0 + 2.4. 𝜋

6 ) = 1(cos4𝜋

3 + 𝑖 sin4𝜋

3) = −1 2−1

2√3𝑖 𝑧₅= 1(𝑐𝑜𝑠0 + 2.5. 𝜋

6 + 𝑖 sin0 + 2.5. 𝜋

6 ) = 1(cos5𝜋

3 + 𝑖 sin5𝜋 3) =1

2−1 2√3𝑖

1

𝑧₀

-1 -1

𝑧₂

𝑧₃

𝑧₁

1

𝑧₄ 𝑧₅

3 Soal

Tentukan Akar pangkat 6 dari -1