BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR

1 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR

a. Sifat Operasi Bilangan Bulat Berpangkat Definisi Pangkat Bulat Positif

Jika a adalah bilangan real (nyata) dan n adalah bilangan asli (bilangan bulat positif), maka        a n n a a a a a faktor sebanyak ...    

dengan n = pangkat atau eksponen

a = bilangan pokok/dasar/basis

a = bilangan berpangkat (n ditulis di sebelah kanan atas a) n

n

a dibaca: “a pangkat n“ atau “a dipangkatkan n”.

Misalanya 52 dibaca 5 pangkat 2 atau 5 dipangkatkan 2 atau 5 kuadrat; 73 dibaca 7 pabgkat 3 atau 7 dipangkatkan 3.

a a a

a  ... = hasil perpangkatan Dalam kasus n = 1, maka a1 a.

Contoh:

Tulislah setiap bilangan 64 dan 2.250 dalam bentuk pangkat bilangan prima.

Solusi:

1. Nilai Bilangan Berpangkat

Nilai bilangan berpangkat adalah hasil dari suatu perpangkatan.

Contoh: Hitunglah a. 54 b. 32 + 22 + 33 Solusi: a. 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 b. 32 + 23 + 103 = 3 × 3 + 2 × 2 × 2 + 10 × 10 × 10 = 9 + 8 + 1.000 = 1.017

2. Sifat-sifat Bilangan Berpangkat

Jika m, n, dan p adalah bilangan bulat positif (bilangan asli), a dan b adalah bilangan-bilangan real (nyata), maka

1. aman amn 2. m n m n n m a a a a a _{ }  : , jika m > n dan a  0 3. _n m n _{n m} m a a a a a    : 1 , jika m < n dan a  0 4.

 

am n amn am n a. 2 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2

Karena banyak angka 2 ada 6 buah, maka 64 = 26 b. 2 2.250 3 1.125 3 375 5 125 5 25 5

Karena banyak angka 2 ada 1 buah, angka 3 ada 2 buah, dan 5 ada 3 buah, maka 2.250 = 2 × 32 × 53

2 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

5.



ambn



p amp bnp ampbnp 6. _np m p p n p m p n m b a b a b a _{ }         , b0 Contoh: Sederhanakanlah a. 2326 c. 76:74 e.

 

103 2 g. 10 9 4 7 6       b. 58512 d. 34:37 f.



26510



5 Solusi: a. 2326 236 29 512 e.

 

103 2 1032 106 1.000.000 b. 585125812520 f.



26 510



5 2655105 230550 c. 76:74 764 72 49 g. ₉₀ 40 10 9 10 4 10 9 4 7 6 7 6 7 6 _{ }         d. 27 1 3 1 3 1 3 : 34 7  _74  ₃  b. Bentuk Akar

1. Kuadrat Suatu Bilangan

Bilangan kuadrat diungkapkan (diekspresikan) sebagai a yang artinya perkalian berulang dari a 2

sebanyak dua kali, ditulis a2 aa. Ekspresi a dibaca a kuadrat (a dikuadratkan) atau a 2

pangkat 2 (a dipangkatkan 2). Misalnya 72 dibaca 7 kuadrat, 102 dibaca 10 kuadrat.

Nilai kuadrat dari suatu bilangan adalah nilai yang dihasilkan dari perkalian bilangan sebanyak dua kali. Nilai daria adalah 2 aa.

Bilangan kuadrat mempunyai ciri khas antara angka akhir bilangan yang dipangkatkan dengan angka akhir hasil perpangkatan.

Bilangan yang dipangkatan

dua dengan angka akhir

Bilangan hasil perpangkatan dua dengan angka akhir

0 0 1 1 2 4 3 9 4 6 5 5 6 6 7 9 8 4 9 1 Contoh: Hitunglah a. 72 b. 92 c. 102 d. 542 e. 2532 f. 1.5022 Solusi: a. 72 = 7 × 7 = 49 d. 542 = 54 × 54 = 2.916 b. 92 = 9 × 9 = 81 e. 2532 = 253 × 253 = 64.009 c. 102 = 10 × 10 = 100 f. 1.5022 = 1.502 × 1.502 = 2.256.004

3 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Jika n adalah bilangan asli dengan n > 1 dan apabila a dan b sedemikan rupa sehingga an b, maka dikatakan bahwa a adalah akar pangkat n dari b, ditulis _an _{b, dengan n adalah indeks}

(tingkat akar) dari bentuk akar (radikal), b adalah bilangan yang diambil akarnya (radikan), dan lambang dinamakan tanda akar kuadrat.

Dalam kasus n = 2, maka indeksnya dihilangkan, sehingga b mempunyai arti 2_{b . Ekspresi} b dibaca “akar pangkat dua dari b” atau “akar kuadrat dari b”. Perlu diperhatikan bahwa, nilai

dari a bhanya ada satu nilai. Sebagai ilustrasi: 93, karena 32 9. Walaupun (3)2 9, tetapi 93. Peristiwa memperoleh 3 dari 9 biasa dinamakan menarik akar (kuadrat). Bilangan yang ditarik akarnya mempunyai ciri khas antara angka akhir bilangan yang ditarik akarnya dengan angka akhir hasil menarik akar itu.

Bilangan (kuadrat) yang ditarik akarnya dengan angka akhir

Bilangan hasil penarikan akar dengan angka akhir

0 0 1 1 atau 9 4 2 atau 8 5 5 6 4 atau 6 9 1 atau 3

1. Menarik Akar dari Bilangan yang Hasilnya Rasional atau Bentuk Akar

Untuk menarik dari akar kuadrat dapat digunakan konsep rumus-rumus berikut ini.

1. 2 1 2 10 2 10 20 2 4 2 2 20 4 2 c ab c b a c b a c b a    2. a2ba b 3. a4b15 a2b7 b Contoh: Sederhnakanlah a. 196 b. 5184 c. 72 d. 648 Solusi: a. Strategi 1: Strategi 2:

Nilai dari 196 dapat dicari dengan prosedur sebagai berikut ini.

 Langkah 1: Kelompokkan bilangan-bilangan itu (radikan) dari kanan ke kiri, dengan tiap kelompok terdiri dari dua angka.

 Pilih dua angka yang sama yang hasil kalinya sama atau mendekati 1.

 Jumlahkan dua angka yang sama itu (1 + 1 = 2), kemudian pilih angka yang sama lagi, kemudian pilih angka yang sama lagi sebagai pasangan 2 yang jika dikalikan sama atau mendekati 96, yaitu 4, sehingga 24 × 4 = 96.

196 = 14 1 × 1 = 1 96 24 × 4 = 96 0 Jadi, 19614 2 196 196 = 22 × 72 2 98 7 49 7 7 49 7 Jadi, 196 2272 2714

4 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

 Jawabannya adalah dua angka yang sama yang dipilih itu. b. Strategi 1:

Strategi 2:

Nilai dari 5184 dapat dicari dengan prosedur sebagai berikut ini.

 Langkah 1: Kelompokkan bilangan-bilangan itu (radikan) dari kanan ke kiri, dengan tiap kelompok terdiri dari dua angka.

 Langkah 2: Pilih dua angka yang sama yang hasil kalinya sama atau mendekati 51.

 Langkah 3: Jumlahkan dua angka yang sama itu (7 + 7 = 14), kemudian pilih angka yang sama lagi sebagai pasangan 14 yang jika dikalikan sama atau mendekati 284, yaitu 2, sehingga 142 × 2 = 284.

 Langkah 4: Jawabannya adalah dua angka yang sama yang dipilih itu.

c. 72 2332 23 26 2 d. 432 2433 223 312 3

2. Menarik Akar dari Bilangan yang Hasilnya Dinyatakan Dalam Desimal Contoh: Hitunglah 5 dan 837

Solusi:

a. Nilai dari 5 dapat dicari dengan prosedur sebagai berikut ini.

 Langkah 1: Tuliskan angka nol dibelakang tanda koma sesuai kebutuhan.

 Langkah 2: Kelompokkan bilangan-bilangan itu (radikan) dari kanan ke kiri, dengan tiap kelompok terdiri dari dua angka.

 Langkah 3: Pilihlah dua angka yang sama yang hasil kalinya sama atau mendekati 5, yaitu 2, sehingga 2 × 2 = 4.

 Langkah 4: Jumlahkan dua angka yang sama itu (2 + 2 = 4), kemudian pilih angka yang sama lagi sebagai pasngan 4 yang jika dikalikan sama atau mendekati 100, yaitu 2 sehingga 42 × 2 = 84.

 Demikian seterusnya, sampai desimal yang diminta.

 Langkah 5: Jawabannya adalah angka-angka yang sama yang dipilih itu. 5184 = 72 7 × 7 = 49 284 142 × 2 = 284 0 Jadi, 518472 2 5184 5184 = 25 × 34 2 2592 2 1296 2 648 2 324 2 162 3 81 3 27 3 9 3 Jadi, 5184 2634 23328972

5 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

b. Nilai dari 837 dapat dicari dengan prosedur sebagai berikut ini.

 Langkah 1: Tuliskan angka nol dibelakang tanda koma sesuai kebutuhan.

 Langkah 2: Kelompokkan bilangan-bilangan itu (radikan) dari kanan ke kiri, dengan tiap kelompok terdiri dari dua angka.

 Langkah 3: Pilihlah dua angka yang sama yang hasil kalinya sama atau mendekati 8, yaitu 2, sehingga 2 × 2 = 4.

 Langkah 4: Jumlahkan dua angka yang sama itu (2 + 2 = 4), kemudian pilih angka yang sama lagi sebagai pasngan 4 yang jika dikalikan sama atau mendekati 437, yaitu 8 sehingga 48 × 8 = 384.

 Demikian seterusnya sesuai dengan kebutuhan, sampai decimal yang diminta terpenuhi.

 Langkah 5: Jawabannya adalah angka-angka yang sama yang dipilih itu.

c. Pangkat Tiga dan Akar Pangkat Tiga Suatu Bilangan 1. Pangkat Tiga Suatu Bilangan

Arti pangkat tiga suatu bilangan adalah hasil perkalian tiga factor yang masing-masing bilangan itu sendiri. Jadi, a3aaa. Ekspresi a dibaca “a pangkat tiga” atau “a kubik”. Nilai pangkat 3

tiga dari suatu bilangan adalah nilai yang dihasilkan dari perkalian bilangan sebanyak tiga kali. Nilai daria adalah 3 aaa.

5,000000= 2,236…. 2 × 2 = 4

100 (mulai diberi tanda koma, karena sudah ada 42 × 2 = 84 penambahan nol) 1600 443 × 3 = 1329 27100 4466 × 6 = 26796 304 Jadi, 52,236.... 837,000000= 28,93…. 2 × 2 = 4 437 48 × 8 = 384

5300 (mulai diberi tanda koma, karena sudah 569 × 9 = 5121 ada penambahan nol)

17900 5783 × 3 = 17349 551 Jadi, 83728,93....

6 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Bilangan pangkat tiga mempunyai ciri khas antara angka akhir bilangan yang dipangkatkan dengan angka akhir hasil perpangkatan.

Bilangan yang dipangkatan

tiga dengan angka akhir

Bilangan hasil perpangkatan tiga dengan angka akhir

0 0 1 1 2 8 3 7 4 4 5 5 6 6 7 3 8 2 9 9 Contoh: Hitunglah a. 53 b. 123 c. 2343 Solusi: a. 53 = 5 × 5 × 5 = 125 b. 123 = 12 × 12 × 12 = 1.728 c. 2343 = 234 × 234 × 234 = 12.812.904

2. Akar Pangkat Tiga Suatu Bilangan

Jika n adalah bilangan asli dengan n > 1 dan apabila a dan b sedemikan rupa sehingga an b, maka dikatakan bahwa a adalah akar pangkat n dari b, ditulis _an _{b, dengan n adalah indeks}

(tingkat akar) dari bentuk akar (radikal), b adalah bilangan yang diambil akarnya (radikan), dan lambang 3 _{dinamakan tanda akar pangkat tiga.}

Dalam kasus n = 3, maka _a3 _{b. Ekspresi} 3 _{b dibaca “akar pangkat tiga dari b” atau “akar}

kubik dari b”. Perlu diperhatikan bahwa, nilai dari a3 bhanya ada satu nilai. Sebagai ilustrasi: 2

8

3 _

, karena 23 8. Peristiwa memperoleh 2 dari 3 8 biasa dinamakan menarik akar (kubik). Bilangan yang ditarik akarnya mempunyai ciri khas antara angka akhir bilangan yang ditarik akarnya dengan angka akhir hasil menarik akar itu.

Bilangan (kubik) yang ditarik akarnya dengan angka akhir

Bilangan hasil penarikan akar dengan angka akhir

0 0 1 1 2 8 3 7 4 4 5 5 6 6 7 3 8 2 9 9

Untuk menarik dari akar kuadrat dapat digunakan konsep rumus-rumus berikut ini.

1. 3 1 2 6 2 6 18 3 6 3 3 3 3 6 18 c ab c b a c b a c b a    2. 3a3b8 a1b23b2 ab23b2

7 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Contoh: Sederhnakanlah a. 3 729 b. 3 5832 c. 313824 d. 3162 e. 3 648 Solusi: a. 729 3 33 32 9 6 3 6 3 _{   } b. Strategi 1: 5832 2 3 2 33 21 32 2 9 18 6 3 3 3 3 6 3 _{        } Strategi 2:

Untuk menarik akar tiga dari suatu bilangan yang lebih dari 1000 dapat digunakan prosedur sebagai berikut.

 Langkah 1: Kelompokkan tiga angka-tiga angka mulai dari belakang.

 Langkah 2: Carilah tiga bilangan yang sama yang perkaliannya sama atau mendekati angka paling depan setelah dikelompokkan. Perhatikan bahwa angka kembar ini merupakan angka puluhan dari akar kubik.

 Langkah 3: Tentukan angka satuannya dengan berdasarkan pada table di atas. Dengan demikian,

 3 ₅₈₃₂

 Angka yang sama adalah 1 × 1 × 1 = 1 yang mendekati 5. Berarti angka puluhannya 1.  Angka terakhir dari 5832 adalah 2 yang bersesuaian pangkat kubik bilangan yang

mempunyai angka akhir 8. Berarti, angka satuannya 8. Jadi, 3583218_.

c. Strategi 1: 3138243 2933 23324

Strategi 2:

 3₁₃₈₂₄

 Angka yang adalah 2 × 2 × 2 = 8 yang mendekati 13. Berati angka puluhannya 2.

 Angka terakhir dari 13824 adalah 4 yang bersesuaian dengan pangkat kubik bilangan yang mempunyai angka akhir 4. Berarti angka satuannya 4.

Jadi, 31382424 d. 3 3 4 3 3 6 3 3 2 3 3 2 162     e. 3 3 3 4 3 3 3 6 3 3 2 3 2 648    

3. Membandingkan Bentuk Akar

 Akar senama adalah akar-akar yang mempunyai indeks sama.

Contoh:

4 _{5 ,} 4_{8 , 7}4 _{2, dan} 4

2 3 2

adalah akar-akar senama.

 Akar sejenis adalah akar-akar yang mempunyai indeks maupun radikan (bilangan pokok) sama.

Contoh: 3 , 5 3, dan 3 2 1

adalah akar-akar sejenis; ₃5 _7, 5 ₇

9 2

, dan 5 _{7 adalah}

akar-akar sejenis.

 Mengubah akar-akar menjadi senama adalah sebagai berikut.

Akar-akar mab dan n pcpdr dapat diubah menjadi akar-akar sejenis mpapbpn dan

mp _{mp mr}

d

c .

8 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Perikasalah bahwa 25 > 16 , 3 > 5 _{7 , dan 2 <}3 _3. Solusi:  255 dan 164 Karena 25 > 16, maka 25 > 16 .  _310₃5 _10_{243 dan} 5₇10₇2 10₄₉ Karena 243 > 49, maka 10_{243 >} 10 49atau 3 > 5 _{7 .}  6 3 6 8 2 2  dan 3₃6₃2 6₉

Karena 8 < 9, maka 6_8< 6_{9atau 2 <}3