METODE NORTHWEST- CORNER RULE
Bridging: Transportasi adalah perpindahan manusia atau barang dari suatu tempat ketempat yang lainnya dengan menggunakan sebuah kendaraan yang digerakan oleh manusia atau mesin. Masalah transportasi adalah, pemrograman linear pada umumnya berhubungan dengan distribusi suatu produk tunggal dari beberapa sumber, dengan penawaran terbatas menuju beberapa tujuan dengan biaya tertentu pada biaya transportasi minimum.
Tujuan dari model transportasi adalah merencanakan pengiriman suatu dari sumber-sumber ke tujuan sedemikian rupa untuk meminimumkan total biaya transportasi. Transportasi dikatakan seimbang jika total jumlah antara sumber dan tujuan sama sedangkan transportasi dikatakan tidak seimbang jika sumber lebih besar dari tujuan atau jumlah sumber lebih kecil dari tujuan. Permasalahan tersebut diselesaikan pada batas dari suatu situasi khusus pada waktu tertentu ketika sebuah masalah mempunyai variasi waktu teknik riset operasi lainnya harus mampu menyelesaikan masalah tersebut secara dinamis.
Permasalahan pada optimalisasi biaya transportasi adalah bagaimana meminimalkan biaya transportasi pengiriman barang dari beberapa lokasi sumber (supply) ke beberapa lokasi tujuan (demand) dan permasalahan ini merupakan permasalahan linear yang mempunyai karakter khusus, yaitu cenderung membutuhkan sejumlah pembatas yang relatif banyak, sehingga penggunaan komputer untuk mengolah data akan sangat membantu dalam menyelesaikan persoalan tersebut.
● Pengertian: Metode Stepping Stone adalah metode untuk mendapatkan solusi optimal masalah transportasi (TC yang minimum), metode ini bersifat trial and error, yaitu dengan mencoba-coba memindahkan sel yang ada isinya (stone) ke sel yang kosong (water) tentu saja pemindahan pemindahan ini harus mengurangi biaya untuk itu harus dipilih sedemikian rupa sel-sel yang kosong yang biaya transportasi kecil dan memungkinkan dilakukan pemindah.
CONTOH SOAL:
● Pada sel matrik pada tabel berikut, diketahui adanya permintaan sebesar 10.000 ton dari 4 buah lokasi permintaan dengan kemampuan supply yang sama besar dari 3 buah sumber.
● Pertanyaan:
1. Bagaimana distribusi barang yang paling optimal guna memenuhi kebutuhan ketiga Kota tersebut?
2. Berapa total biaya optimal untuk distribusi barang dari pabrik ke Kota tujuan?
SUMBER
TUJUAN
Kapasitas
A1 A2 A3 A4
F1
$ 10
100
$ 8 $ 5 $ 6
2400 ton
F2
$ 5 $ 2 $ 6 $ 3
4000 ton
F3
$ 9 $ 7 $ 4 $ 7
3600 ton
Permintaan 2300 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton 10000 ton
A. Menentukan Solusi Awal dengan NWC (Northwest-Corner Rule) - Prosedur:
1. Alokasikan dengan kapasitas penuh pada sel kiri atas. Jika masih ada sisa kapasitas, alokasikan pada sel di bawahnya atau di kanannya sedemikian sehingga kapasitas baris atau kolom terpenuhi.
2. Ulangi langkah 1 hingga seluruh kapasitas pada baris atau kolom terpenuhi.
3. Catatan: Solusi awal matriks transportasi disebutfeasiblejika jumlah sel terisi adalah m+n-1 dimana m=jumlah baris, dan n=jumlah kolom. Jika sel terisi kurang dari m+n-1 maka perlu ditambahkan sel dummy dengan alokasi sebanyak 0 pada sel kosong yang memiliki ongkos terkecil.
4. Solusi awal dengan NWC untuk masalah di atas:
(SAJIKAN TABEL YANG SUDAH SELESAI LANGKAH NWC NYA)
B. Menentukan Solusi Optimal dengan Stepping Stone
Optimalisasi dilakukan melalui evaluasi nilai opportunity cost atau perubahan ongkos dari sel kosong (non basis). Matriks transportasi disebut optimal jika opportunity cost dari sel-sel kosong tidak ada yang negatif. Adapun langkah-langkah selanjutnya sebagai berikut.
1. Lakukan perhitungan biaya pada sel kosong tersebut, dimulai dari sel yang kosong. Perhitungan dilakukan dengan cara menghitung biaya, sel yang kosong terlebih dahulu dengan memberi tanda positif selanjutnya negatif, positif, negatif, dan seterusnya. Maka didapatkan hasil sebagaimana berikut:
SUMBER TUJUAN
Kapasitas
A1 A2 A3 A4
F1 2300
$ 10
100
$ 8 $ 5 $ 6
2400 ton
(1) (2)
F2
$ 5
3300
$ 2
700
$ 6 $ 3
4000 ton
(3) (4)
F3
$ 9 $ 7
1800
$ 4
1800
$ 7
3600 ton
(5) (6)
Permintaan 2300 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton 10000 ton
● A31 = 5 - 6 + 2 - 8 = -7
● A41 = 6 - 7 + 4 - 6 + 2 - 8 = -9
● A12 = 5 - 10 + 8 - 2= 1
● A42 = 3 - 7 + 4 - 6 = -6
● A13 = 9 - 10 + 8 - 2 + 6 - 4 = 7
● A23 = 7 - 2 + 6 - 4 = 7
2. Karena terdapat hasil yang negatif, maka alokasikan produk dari nilai negatif terbesar tersebut, yang dilihat adalah isi sel tersebut. Tambahkan dan kurangkan isi sel tersebut dengan melihat isi sel yang memiliki nilai yang paling kecil.
Tabel Realokasi Tahap 1
● A41 - A43 + A33 - A32 + A22 - A21 Maka :
● A41 = 0 + 100 = 100
● A43 = 1800 - 100 = 1700
● A33 = 1800 + 100 = 1900
● A32 = 700 - 100 = 600
● A22 = 3300 + 100 = 3400
● A21 = 100 - 100 = 0
3. Menghitung biaya transportasi
Tabel Biaya Transportasi Optimum Tahap 1
SUMBER TUJUAN
Kapasitas
A1 A2 A3 A4
F1 2300
$ 10
0
$ 8 $ 5
100
$ 6
2400 ton
F2
$ 5
3400
$ 2
600
$ 6 $ 3
4000 ton
F3
$ 9 $ 7
1900
$ 4
1700
$ 7
3600 ton
Permintaan 2300 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton 10000 ton
4. Menghitung biaya transportasi
Sel Isi Biaya Total Biaya
A1F1 2300 10 23.000
A2F1 0 8 0
A2F2 3400 2 6.800
A3F2 600 6 3.600
A3F3 1900 4 7.600
A4F1 100 6 600
A4F3 1700 7 11.900
Berdasarkan alokasi barang seperti yang telah disusun pada tabel di atas, maka diperoleh biaya transportasi adalah 53.500
5. Pengecekan
SUMBER
TUJUAN
Kapasitas
A1 A2 A3 A4
F1 2300
$ 10
0
$ 8 $ 5
100
$ 6
2400 ton
F2
$ 5
3400
$ 2
600
$ 6 $ 3
4000 ton
F3
$ 9 $ 7
1900
$ 4
1700
$ 7
3600 ton
Permintaan 2300 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton 10000 ton
● A12 = 5 - 2 + 6 - 4 + 7 + 6 - 10 = 9
● A13 = 9 - 7 + 6 - 10 = 0
● A21 = 8 - 2 + 6 - 4 + 7 - 6 = 9
● A23 = 7 - 4 + 6 - 2 = 7
● A31 = 5 - 4 + 7 - 6 = 2
● A42 = 3 - 7 + 4 - 6 = -6
●
SUMBER TUJUAN
Kapasitas
A1 A2 A3 A4
F1 2300
$ 10
0
$ 8 $ 5
100
$ 6
2400 ton
F2
$ 5
3400
$ 2
0
$ 6
600
$ 3
4000 ton
F3
$ 9 $ 7
2500
$ 4
1100
$ 7
3600 ton
Permintaan 2300 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton 10000 ton
Sel Isi Biaya Total Biaya
A1F1 2300 10 23.000
A2F2 3400 2 6.800
A3F3 2500 4 10.000
A4F1 100 6 600
A4F2 600 3 1800
A4F3 1100 7 7.700
Berdasarkan alokasi barang seperti yang telah disusun pada tabel di atas, maka diperoleh biaya transportasi adalah 49.900
● A12 = 5 - 3 + 6 - 10 = -2
ITERASI 3 (ini blm masuk ppt)
● A13 = 9 - 7 + 6 - 10 = -2
● A21 = 8 - 2 + 3 - 6 = 3
● A23 = 7 - 7 + 3 - 2 = 1
● A31 = 5 - 6 + 7 - 4 = 2
● A32 = 6 - 4 + 7 -3 = 6
SUMBER TUJUAN
Kapasitas
A1 A2 A3 A4
F1 2300
$ 10
0
$ 8 $ 5
100
$ 6
2400 ton
F2
$ 5
3400
$ 2
0
$ 6
600
$ 3
4000 ton
F3
$ 9 $ 7
2500
$ 4
1100
$ 7
3600 ton
Permintaan 2300 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton 10000 ton
SUMBER TUJUAN
Kapasitas
A1 A2 A3 A4
F1 2200
$ 10
0
$ 8 $ 5
200
$ 6
2400 ton
F2 100
$ 5
3400
$ 2
0
$ 6
500
$ 3
4000 ton
F3
$ 9 $ 7
2500
$ 4
1100
$ 7
3600 ton
Permintaan 2300 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton 10000 ton
Sel Isi Biaya Total Biaya
A1F1 2200 10 22.000
A1F2 100 5 500
A2F2 3400 2 6.800
A3F3 2500 4 10.000
A4F1 200 6 1200
A4F2 500 3 1500
A4F3 1100 7 7.700
TOTAL 49.700
FINAL CEK (sampek sini blm masuk ppt)
SUMBER
TUJUAN
Kapasitas
A1 A2 A3 A4
F1 2200
$ 10 $ 8 $ 5
200
$ 6
2400 ton
F2 100
$ 5
3400
$ 2 $ 6
500
$ 3
4000 ton
F3
$ 9 $ 7
2500
$ 4
1100
$ 7
3600 ton
Permintaan 2300 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton 10000 ton
● A13 = 9 - 7 + 3 - 5 = 0
● A21 = 8 - 2 + 3 - 6 = 3
● A23 = 7 - 7 + 3 - 2 = 1
● A31 = 5 - 6 + 7 - 4 = 2
● A32 = 6 - 4 + 7 -3 = 6
Total Biaya NWC
⦁ Z = (2300x$10) + (100x$8) + (3300x$2) +
=
(700x$6) + (1800x$4) + (1800x$7)
$ 54400
METODE VOGEL’ S APPROXIMATION
⦁ Metode ini lebih panjang prosesnya dibandingkan dengan metode sebelumnya namun hasil (Zij) dari proses metode ini umumnya jauh lebih optimal dibanding metode-metode sebelumnya.
⦁ Prinsip dari metode ini adalah :
⦁ “Alokasi ditentukan berdasarkan selisih terbesar antara 2 unit biaya (Cij) terkecil dalam satu kolom atau satu baris,
Perhitungan selisih biaya terbesar berlanjut sebanyak iterasi yang dilakukan,Alokasi suplai maksimal pada sel yg terpilih”
⦁ Dengan menggunakan permasalahan yang sama dengan metode sebelumnya, penyelesaian permasalahan dengan metodeVogel
Langkah 1 :
SUMBER TUJUAN
Kapasitas ΔCij
A1 A2 A3 A4
F1
$ 10 $ 8 $ 5 $ 6
2400 ton (6-5) 1
F2
$ 5
3400
$ 2 $ 6 $ 3
4000 ton (3-2) 1 (1)
F3
$ 9 $ 7 $ 4 $ 7
3600 ton (7-4) 3
Permintaan 2300 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton
10000 ton
ΔCij (9-5)
4 (7-2)
5
(5-4) 1
(6-3) 3
Langkah 2 :
SUMBER TUJUAN
Kapasitas ΔCij
A1 A3 A4
F1
$ 10 $ 5 $ 6
2400 ton (6-5) 1
F2 600
$ 5 $ 6 $ 3
600 ton (5-3) (2) 2
F3
$ 9 $ 4 $ 7
3600 ton (7-4) 3
Permintaan 2300 ton 2500 ton 1800 ton
6600 ton
ΔCi (9-5)
4
(5-4) 1
(6-3) 3
Langkah 3 :
SUMBER TUJUAN Kapasita s
ΔCij
A1 A3 A4
F1
$ 10 $ 5 $ 6
2400 ton (6-5) 1
F3
$ 9
2500
$ 4 $ 7
3600 ton (7-4) 3 (3)
Permintaan 1700 ton 2500 ton 1800 ton
6000 ton ΔCi
(10-9) 1
(5-4) 1
(7-6) 1
Langkah 4 :
SUMBER TUJUAN
Kapasitas ΔCij
A1 A4
F1
$ 10
1800
$ 6
2400 ton (10-6) (4) 4
F3
$ 9 $ 7
1100 ton (9-7) 2
Permintaan 1700 ton 1800 ton
3500 ton
ΔCij (10-9)
1
(7-6) 1
Langkah 5 :
SUMBER TUJUAN
Kapasitas ΔCij
A1 A2
$ 8
A3
$ 5
A4
$ 6 1800 (4)
F1 600
$ 10
600 ton 4
(5)
$ 2 3400 (1)
$ 6 $ 3
F3
110 0
$ 9 $ 7 $ 4
2500 (3)
$ 7
1100 ton 9
(5)
Permintaan 1700 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton
(5-4) 1
(7-6)
1 1700 ton
ΔCi
(10-9) 1
Hasil Akhir :
SUMBER
TUJUAN
Kapasitas
A1 A2 A3 A4
F1 600
$ 10 $ 8 $ 5
1800
$ 6
1600 ton
(5) (4)
F2 600
$ 5
3400
$ 2 $ 6 $ 3
600 ton
(2) (1)
F3 1100
$ 9 $ 7
2500
$ 4 $ 7
1100 ton
(5) (3)
Permintaan 1700 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton 1700 ton
Total Biaya Vogel
⦁ Z = (600x$10) + (600x$5) + (1100x$9) +
=
(3400x$2) + (2500x$4) + (1800x$6)
$46500
HASIL AKHIR
⦁ Nilai total cost yang dihasilkan dari metodeVogel ini lebih minimal dibandingkan dengan kedua metode sebelumnya.
⦁ Sehingga alokasi terbaik yang dapat ditentukan adalah sesuai dengan hasil dari metode Vogel ini yaitu dengan alokasi sbb:
⦁ Alokasi dari Sumber F1 ke Lokasi TujuanA1 sebesar 600 ton/minggu.
⦁ Alokasi dari Sumber F1 ke Lokasi TujuanA4 sebesar 1800 ton/minggu.
⦁ Alokasi dari Sumber F2 ke Lokasi TujuanA1 sebesar 600 ton/minggu.
⦁ Alokasi dari Sumber F2 ke Lokasi TujuanA2 sebesar 3400 ton/minggu.
⦁ Alokasi dari Sumber F3 ke Lokasi Tujuan A1 sebesar 1100 ton/minggu.
⦁ Alokasi dari Sumber F3 ke Lokasi TujuanA3 sebesar 2500 ton/minggu.
Perbandingan Hasil
METODE HASIl (Z)
LEAST COST $47700
NORTHWEST $ 54400
VOGEL $46500
⦁ Dari tabel diatas diketahui bahwa metodeVO GEL dapat mencapai hasil terbaik.
⦁ Untuk menguji apakah hasil yang didapat telah mencapai titik optimal, diperlukan langkah selanjutnya yaitu dengan menggunakan metode Stepping Stone
Selesaikan persoalan berikut kemudian bandingkan hasilnya.
NIM 031- 041 : Least Cost NIM 042 – 049 : NWCR NIM 050 – 057 - Vogel
30 Operations Research - Ganjil 2012 06/01/2013
CONTOH 1
cij destination
Si
1 2 3 4 5 6
source
1 10 12 13 8 14 19 18
2 15 18 12 16 19 20 22
3 17 16 13 14 10 18 39
4 19 18 20 21 12 13 14
Dj 10 11 13 20 24 15 ∑Si = ∑Dj = 93
NORTHWEST CORNER RULE
Total Cost = 10(10) + 8(12) + 3(18) + 13(12) + 6(16) + 14(14) + 24(10) + 1(18) + 14(13)
= 1138
LEAST COST/ MATRIX MINIMUM METHOD
xij
18
9 13
6 3
1 11
2
8 7
1
24 1
5 2 9
14
4
Total Cost = 18(8) + 9(15) + 13(12) + 1(17) + 11(16) + 2(14) + 24(10) + 1(18) + 14(13)
= 1096
VOGEL APPROXIMATION
Total Cost = 18(8) + 9(15) + 13(12) + 1(17) + 11(16) + 2(14) + 24(10) + 1(18) + 14(13)
= 1096
35 Operations Research - Ganjil 2012 06/01/2013
CONTOH 1 (NCR), TOTAL COST = 1138
cij destination
ui
1 2 3 4 5 6
source
1 10 12 13 8 14 19 14
2 15 18 12 16 19 20 20
3 17 16 13 14 10 18 18
4 19 18 20 21 12 13 13
vj 4 2 8 4 8 0
zij – cij = ui – vj – cij
z46 – c46 = u4 – v6 – c46 0 = u4 - 0 - 13 u4 = 13
z36 – c36 = u3 – v6 – c36 0 = u3 - 0 - 18 u3 = 18
z35 – c35 = u3 – v5 – c35 0 = 18 – v5 - 10 v5 = 8
z34 – c34 = u3 – v4 – c34 0 = 18 – v4 - 14 v4 = 4
z24 – c24 = u2 – v4 – c24 0 = u2 - 4 - 16 u2 = 20
z23 – c23 = u2 – v3 – c23 0 = 20 – v3 - 12 v3 = 8
z22 – c22 = u2 – v2 – c22 0 = 20 – v2 - 18 v2 = 2
z12 – c12 = u1 – v2 – c12 0 = u1 - 2 - 12 u1 = 14
z11 – c11 = u1 – v1 – c11 0 = 14 – v1 - 10 v1 = 4
z13 – c13 = u1 – v3 – c13
= 14 - 8 - 13
= -7
MENGHITUNG (ZIJ – CIJ)
SOLUSI BARU 1
xij destination
1 2 3 4 5 6
source
1 10 2 6
2 9 13
3 14 24 1
4 14
Total Cost = 10(10) + 2(12) + 6(8) + 9(18) + 13(12) + 14(14) + 24(10) + 1(18) + 14(13)
= 1126
cij destination
ui
1 2 3 4 5 6
source
1 10 12 13 8 14 19 12
2 15 18 12 16 19 20 18
3 17 16 13 14 10 18 18
4 19 18 20 21 12 13 13
vj 2 0 6 4 8 0
zij - cij destination
ui
1 2 3 4 5 6
source
1 0 0 -7 0 -10 -7 12
2 1 0 0 -2 -9 -2 18
3 -1 2 0 0 18
-1 0
4 -8 -5 -13 -12 -7 0 13
vj 2 0 6 4 8 0
xij destination
1 2 3 4 5 6
source
1 10 2(-θ) 6(+θ)
2 9 13
3 24 1
+θ 14(-θ)
4 14
Solusi Baru 2
xij
destination
1 2 3 4 5 6
source
1 10 8
2 9 13
3 2 12 24 1
4 14
Total Cost = 10(10) + 8(8) + 9(18) + 13(12) + 2(16) + 12(14) + 24(10) + 1(18) + 14(13)
= 1122
cij destination
ui
1 2 3 4 5 6
source
1 10 12 13 8 14 19 12
2 15 18 12 16 19 20 20
3 17 16 13 14 10 18 18
4 19 18 20 21 12 13 13
vj 2 2 8 4 8 0
zij - cij
destination
ui
1 2 3 4 5 6
source
1 0 0 -10 -7 12
-2 -9
2 0 0 -7 0 20
3 0
3 -1 0 0 0 18
-3 0
4 -8 -7 -15 -12 -7 0 13
vj 2 2 8 4 8 0
Solusi Baru 3
xij destination
1 2 3 4 5 6
source
1 1 17
2 9 13
3 11 3 24 1
4 14
Total Cost = 1(10) + 17(8) + 9(15) + 13(12) + 11(16) + 3(14) + 24(10) + 1(18) + 14(13)
= 1095
cij destination
ui
1 2 3 4 5 6
source
1 10 12 13 8 14 19 12
2 15 18 12 16 19 20 17
3 17 16 13 14 10 18 18
4 19 18 20 21 12 13 13
vj 2 2 5 4 8 0
zij - cij destination
ui
1 2 3 4 5 6
source
1 0 -2 -6 0 -10 -7 12
2 0 -3 0 -3 -10 -3 17
3 -1 0 0 0 0 0 18
4 -8 -7 -12 -12 -7 0 13
vj 2 2 5 4 8 0
Tidak ada (zij – cij) yang positif Solusi baru 3 = solusi optimal
CONTOH 2
cij
destination
Si
1 2 3 4
source
1 2 3 4 9 20
2 14 12 5 1 30
3 12 15 9 3 40
Dj 10 10 20 50 ∑Si = ∑Dj = 90
SOLUSI AWAL CONTOH 2 (MMM)
cij destination
Si
1 2 3 4
source
1 10 2
10 3
0 4 9
2 3 6 20
2 14 12 5 1
30 1
3 12 15
20 9
20 3
40
5 4
Dj 10 10 20 50 ∑Si = ∑Dj = 90
xij
30
CONTOH 3
cij destination
Si
1 2 3 4
source
1 2 3 4 9 20
2 14 12 5 1 50
3 12 15 9 3 40
Dj 10 10 20 50 ∑Si = 110 ≠ ∑Dj = 90
SOLUSI AWAL CONTOH 3 (MMM)
xij cij destination
Si
1 2 3 4 5
source
1 10 2 10 3 0 4 9 0
3 4 7 20
2 14 12 5 1 0
2 1 50
3 12 15 20 9 20 3 0
6 5 40
Dj 10 10 20 50 20 ∑Si = ∑Dj = 110
30 20
CONTOH 4
cij destination
Si
1 2 3 4
source
1 2 3 4 9 20
2 14 12 5 1 30
3 12 15 9 3 40
Dj 10 20 20 50 ∑Si = 90 ≠ ∑Dj = 100
SOLUSI AWAL CONTOH 4 (MMM)
cij destination
Si
1 2 3 4
source
1 10 2
10 3
0 4 9
20
2 3 6
2 14 12 5
30 1
30 1
3 12 15
20 9
20 3
40
5 4
4 M
10 M M M
10 7
Dj 10 20 20 50 ∑Si = ∑Dj = 100
xij
57 Operations Research - Ganjil 2012 06/01/2013
