Unit 2 State Space
Sistem kendali
Prodi Pendidikan Teknik Mekatronika Jurusan Pendidikan Teknik Elektro
Fakultas Teknik- Universitas Negeri Yogyakarta
Bentuk Representasi Model
Dua pendekatan analisis :
- Fungsi Alih (Tradisional, untuk sistem SISO)
- State Space (Modern, untuk sistem modern, misal MIMO)
Model Matematis untuk Sistem Mekanis (sistem pegas)
k : konstanta pegas b : konstanta redaman m: massa benda
u : gaya external (sebagai input sistem) p : posisi benda (sebagai output)
𝑑𝑝 𝑡
𝑑𝑡 =v= kecepatan benda
𝑑2𝑝 𝑡
𝑑𝑡2 = 𝑎 = percepatan benda
𝑓 = 𝑚 𝑎
Total gaya pada suatu benda sebanding dengan percepatan dan massa benda tersebut
Gaya external u(t)
Model Matematis untuk Sistem Mekanis (sistem pegas)
𝑓 = 𝑚 𝑎
−𝑏 𝑑𝑝 𝑡
𝑑𝑡 − 𝑘 𝑝 𝑡 + 𝑢(𝑡) = 𝑚 𝑎 𝑢(𝑡) = 𝑚 𝑑2𝑝 𝑡
𝑑𝑡2 + 𝑏 𝑑 𝑝 𝑡
𝑑𝑡 + 𝑘 𝑝 𝑡 Lakukan transformasi laplace, diperoleh : u(s) = 𝑚𝑠2𝑃(𝑠) + 𝑏𝑠𝑃(𝑠) + 𝑘𝑃 𝑠
Transfer function :
u s = (𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘) 𝑃 𝑠 P s
𝑈(𝑠) = 1
𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘 Gaya external
u(t)
Model Matematis untuk Sistem Mekanis (Pegas)
𝑚𝑎 = −𝑏 𝑑 𝑝 𝑡
𝑑𝑡 − 𝑘 𝑝 𝑡 + 𝑢(𝑡)
𝑚 𝑑2𝑝 𝑡
𝑑𝑡2 −= −𝑏 𝑑 𝑝 𝑡
𝑑𝑡 − 𝑘 𝑝 𝑡 + 𝑢(𝑡) 𝑚 ሷ𝑝 = −𝑏 ሶ𝑝 − 𝑘𝑝 + 𝑢
Struktur State Space
x = internal state u(t) = input
y(t) = output A= state matrix B= input matrix C=output matrix
D= disturbace matrix ሶ𝒙 = 𝐴𝒙 + 𝐵𝒖
𝑦 = 𝐶𝒙 + 𝐷𝒖
State Space
State Space pada sistem mekanik (sistem pegas)
Internal State
• State pertama →𝑥1 = posisi (𝑝)
• State kedua → 𝑥2 = perubahan posisi ( ሶ𝑝) 𝒙 = 𝑥1
𝑥2 = 𝑝 ሶ𝑝
𝑚 ሷ𝑝 = −𝑏 ሶ𝑝 − 𝑘𝑝 + 𝑢
Input = u(t)
Output y(t) → posisi (𝑥1)
𝑚 ሷ𝑝 = −𝑏 ሶ𝑝 − 𝑘𝑝 + 𝑢 ሷ𝑝 = − 𝑏
𝑚 ሶ𝑝 − 𝑘
𝑚 𝑝 + 1 𝑚 𝑢 ሶ𝒙 = ሶ𝑥1
ሶ𝑥2 = ሶ𝑝
ሷ𝑝 =
0 1
− 𝑘
𝑚 − 𝑏 𝑚
𝑝 ሶ𝑝 +
0 1 𝑚
𝒖
ሶ𝒙 =
0 1
− 𝑘
𝑚 − 𝑏 𝑚
𝑥1
𝑥2 +
0 1 𝑚
𝒖
A x B u
𝒚 = 1 0 𝑥1
𝑥2 + 𝟎 𝒖
C D
Step 2 ubah persamaan dalam bentuk matrix
Step 1 Tentukan variabel
Model Matematis untuk Sistem Mekanis (sistem pegas)
Gaya external u(t)
Koefisien damping b= 1 Ns/m Koefisien pegas = 2 N/m
Massa = 1 kg
ሶ𝒙 =
0 1
− 2
1 − 1 1
𝒙 + 0 1 1
𝒖
𝒚 = 1 0 𝑥1
𝑥2 + 0 𝒖
