MODUL AJAR KOMPOSISI TRANSFORMASI (1)

MODUL AJAR

KOMPOSISI TRANSFORMASI

INFORMASI UMUM A. IDENTITAS SEKOLAH

Mata Pelajaran Matematika Tingkat Lanjut Nama Penyusun ANIS WIWIN WIJAYATI

Institusi SMA Negeri 2 Pare

Tahun Ajaran 2023/2024

Jenjang Sekolah Sekolah Menengah Atas (SMA) Kelas/Semester XI/Genap

Fase F+

Topik Transformasi Geometri

Elemen Komposisi Transformasi

Capaian Pembelajaran

Pada akhir fase F, peserta didik menyelesaikan masalah terkait polinomial, melakukan operasi aljabar pada matriks dan menerapkannya dalam transformasi geometri.

Alokasi Waktu 4JP x 45 menit B. PENGETAHUAN PRASYARAT

Matriks, Fungsi Persamaan dan Trigonometri C. PROFIL PELAJAR PANCASILA

Kreatif

Membuat bentuk komposisi transormasi sendiri dari sebuah kasus atau narasi soal cerita terkait permasalahan sehari-hari yang dapat dipecahkan dengan aplikasi geogebra.

Berfikir Kritis Mengembangkan dan mengaitkan materi komposisi transformasi dalam kehidupan sehari-hari.

D. SARANA DAN PRASARANA

Modul Ajar, Handpone/Laptop, Aplikasi GeoGebra/Browser, LCD Proyektor, Spidol, Papan Tulis dan Penghapus

E. TARGET PESERTA DIDIK

Reguler/tipikal : umum, tidak ada kesulitan dalam mencerna dan memahami materi ajar.

F. MODEL PEMBELAJARAN Discovery Learning

KOMPETENSI INTI A. TUJUAN PEMBELAJARAN

Peserta didik dapat :

1. Memahami pengertian komposisi transformasi 2. Menentukan komposisi transformasi pada titik 3. Menentukan komposisi transformasi pada kurva

4. Menentukan luas bayangan kurva setelah ditransformasi

5. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan transformasi geometri Baik dengan cara manual, aplikasi Geogebra maupun dengan menggunakan matriks.

B. PEMAHAMAN BERMAKNA

Komposisi transformasi adalah transformasi majemuk yang memuat lebih dari satu transformasi yang dilakukan secara berurutan.

C. PERTANYAAN PEMANTIK

1. Pernakah kalian mendengar kata komposisi transformasi? Apakah arti dari komposisi transformasi? Apakah arti yang kalian berikan kira-kira sama dengan arti komposisi transformasi dalam matematika?

2. Berikan contoh-contoh komposisi transformasi dalam kehidupan sehari- hari!

3. Apakah kalian sudah pernah menghitung dilatasi dengan menggunakan aplikasi Geogebra?

4. Bagaimana cara menyelesaikan soal komposisi transformasi dengan menggunakan matriks?

D. KEGIATAN PEMBELAJARAN

PERTEMUAN KE-11

Pendahuluan

 Guru mengucapkan salam pembuka dan menanyakan kabar peserta didik.

 Guru mengajak peserta didik untuk mengawali pembelajaran dengan berdoa

 Guru memeriksa kehadiran dan kesiapan peserta didik untuk belajar.

 Guru melakukan apersepsi dengan mengingatkan kembali tentang materi sebelumnya.

 Guru menyampaikan tujuan pembelajaran pada materi komposisi Transformasi.

 Untuk menjawab pertanyaan pemantik, guru memberikan permasalahan kemudian siswa diajak untuk mengidentifikasi permasalahan tersebut.

Inti

 Peserta didik bersama guru melakukan tanya jawab (menstimulus peserta didik) tentang komposisi transformasi.

 Peserta didik diberikan beberapa permasalahan tentang komposisi transformasi.

 Peserta didik bersama guru menyelesaikan masalah tersebut dengan menggunakan cara manual dan matriks.

1. Menentukan komposisi transformasi pada titik.

2. Menentukan komposisi transformasi pada kurva.

3. Menentukan luas bayangan kurva setelah ditransformasi.

4. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan transformasi geometri.

 Peserta didik diberi kesempatan untuk bertanya dan menanggapi.

 Guru memberikan umpan balik, apersepsi, dan evaluasi terhadap hasil belajar peserta didik.

Penutup

 Peserta didik dengan dibimbing oleh guru menyimpulkan kembali terkait pembelajaran yang telah dilakukan.

 Guru dan peserta didik melakukan refleksi terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.

 Guru menyampaikan kepada peserta didik tentang materi pertemuan yang akan datang.

 Guru mengucapkan terimakasih dan salam.

E. ASESMEN

Asesmen Diagnostik Guru membuat instrumen untuk mengetahui pemahaman peserta didik.

Asesmen Formatif

Asesmen formatif dilakukan oleh guru selama proses pembelajaran berlangsung. Asesmen selama proses penyelesaian masalah transformasi geometri. Peserta didik dinilai berdasarkan hasil pengamatan saat proses penyelesaian komposisi transformasi dan dari hasil pengerjaan kuis.

F. REFLEKSI PESERTA DIDIK DAN GURU Refleksi Peserta Didik

Nama :

Kelas :

Pertanyaan Refleksi Jawaban Refleksi 1. Bagian manakah yang menurutmu

paling sulit dari pelajaran ini?

2. Apa yang akan kamu lakukan untuk memperbaiki hasil belajarmu?

3. Kepada siapa kamu akan meminta bantuan untuk memahami pelajaran ini?

4. Jika kamu diminta untuk memberikan bintang 1 sampai 5, berapa bintang akan kamu berikan pada usaha yang telah kamu lakukan?

Refleksi Guru

Pertanyaan kunci yang membantu guru untuk merefleksikan kegiatan pengajaran dikelas, misalnya :

1. Apakah semua peserta didik terlibat aktif dalam proses pembelajaran?

2. Kesulitan apa yang dialami?

3. Apa langkah yang perlu dilakukan untuk memperbaiki proses belajar?

4. Apakah kegiatan pembelajaran dapat menumbuhkan kemampuan berpikir kritis pada diri siswa?

LAMPIRAN

A. BAHAN BACAAN GURU DAN PESERTA DIDIK

1. Istiqomah, S.Pd. 2020. Modul Pembelajaran SMA Matematika Umum.

Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN.

B. GLOSARIUM

Geometri Cabang matematika yang menerangkan sifat-sifat garis, sudut, bidang, dan ruang.

Transformasi Perubahan posisi dan ukuran dari suatu objek (titik, garis, kurva, bidang).

Transformasi Geometri

Perubahan posisi dan ukuran dari suatu objek (titik, garis, kurva, bidang) dan dapat dinyatakan dalam gambar dan matriks.

Komposisi Transformasi

Transformasi majemuk yang memuat lebih dari satu transformasi yang dilakukan secara berurutan.

C. DAFTAR PUSTAKA

Mengetahui, Kediri, 11 Januari 2024 Kepala Sekolah

Drs. SUPRISWANTO, M.Si NIP 19651114 199802 1 003

Guru Mata Pelajaran

Anis Wiwin Wijayati, S.Pd NIP. 1197308142014082002 1. Istiqomah, S.Pd. 2020. Modul Pembelajaran SMA Matematika Umum.

Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN.

0 Lampiran

MATERI KOMPOSISI TRANSFORMASI

Komposisi transformasi adalah tranformasi majemuk yang memuat lebih dari satu transformasu yang dilakukan secara berurutan.

Diketahui 𝑇! Merupakan transfomasi yang memetakan titik 𝐴(𝑥, 𝑦) ke titik 𝐴′(𝑥, 𝑦) dan 𝑇2 merupakan transformasi yang memetakan titik 𝐴′(𝑥′, 𝑦′) ke titik 𝐴′′(𝑥′^′, 𝑦^′′).

Transformasi yang memetakan titik 𝐴(𝑥, 𝑦) ke titik 𝐴′′(𝑥^′′, 𝑦^′′) dapat ditulis sebagai berikut :

𝑇2∘𝑇1

( ) ^′′( ^{′′ ′′}) 𝐴 𝑥, 𝑦 →−−→ 𝐴 𝑥 , 𝑦

Bentuk 𝑇2 ∘ 𝑇1 disebut komposisi transformasi dan dibaca “𝑇2 komposisi 𝑇1” artinya transformasi 𝑇1 dilanjutkan oleh transformasi 𝑇2 dan dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑇₁ ′( ^′ ′) ^{𝑇2 ′′}( ^{′′ ′′}) 𝐴(𝑥, 𝑦) → 𝐴 𝑥 , 𝑦 → 𝐴 𝑥 , 𝑦

Komposisi transformasi bisa berupa komposisi translasi, komposisi refleksi, komposisi rotasi, komposisi dilatasi, komposisi matriks tertentu atau komposisi dari translasi, refleksi, rotasi, dilatasi dan matriks tertentu.

Contoh 1:

Jika titik (3,4) dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh 90° dengan pusat titik asal, kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥

Penyelesaian:

𝑇1 merupakan matriks transformasi rotasi terhadap titik asal (0,0) dengan besar sudut 90°

cos 90° − sin 90°

𝑇₁ = (

sin 90° cos 90° ) 0 −1 𝑇1 = (

1 0 )

𝑇2 merupakan matriks transformasi refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑥 0 1

𝑇2 = ( 1 )

Titik (3,4) ditransformasikan oleh 𝑇1 dilanjutkan 𝑇2 diperoleh

𝑥′ 𝑥

(𝑦′) = 𝑇2 ∘ 𝑇1 ( 𝑦) 𝑥′ 0 1 0 −1 3 ( ) = ( ) . ( ) . ( )

𝑦′ 1 0 1 0 4

( 𝑥′ 1

) = ( 0 3 ) . ( )

𝑦′ 0 −1 4

( 𝑥′

𝑦′

Jadi, koordinat bayangan adalah (3, −4) Contoh 2:

) = ( 3 )

−4

Bayangan garis 3𝑥 + 𝑦 = 4 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks ( ^{0 1}) dilanjutkan oleh rotasi dengan pusat 𝑂(0,0) sejauh 270°

−1 3

Penyelesaian:

𝑇1 merupakan matriks transformasi ( ^{0 1})

−1 3

0 1 𝑇1 = (

−1 3)

𝑇2 merupakan matriks transformasi rotasi terhadap pusat 𝑂(0,0) dengan besar sudutn 𝛼 = 270°

cos 270° − sin 270°

𝑇₂ = (

sin 270°

𝑇2 = ( 0

cos 270° ) 1 )

−1 0

Garis 3𝑥 + 𝑦 = 4 ditransformasikan oleh 𝑇1 dilanjutkan 𝑇2 diperoleh ( 𝑥′

𝑦′

𝑥 ) = 𝑇2 ∘ 𝑇1 (

𝑦) ( 𝑥′ 0

) = ( 1 0

) . ( 1 𝑥 ) . ( )

𝑦′ −1 0 −1 3 𝑦

( 𝑥′ −1

) = ( 3 𝑥

) . ( )

𝑦′ 0 −1 𝑦

( 𝑥′

𝑦′ ) = ( −𝑥 + 3𝑦

−𝑦 )

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh 𝑥^′ = −𝑥 + 3𝑦 dan 𝑦^′ = −𝑦 Dari persamaan 𝑦^′ = 𝑦 dapat kita ubah menjadi 𝑦 = −𝑦′

Selanjutnya persaman 𝑦 = −𝑦′ kita subtitusi ke persamaan 𝑥^′ = −𝑥 + 3𝑦 diperoleh

𝑥^′ = −𝑥 + 3(−𝑦^′)

𝑐 𝑑

𝑥^′ = −𝑥 − 3𝑦^′ 𝑥 = −𝑥^′ − 3𝑦′

Subtitusikan 𝑥 = −𝑥^′ − 3𝑦′ dan 𝑦 = −𝑦′ ke persamaan 3𝑥 + 𝑦 = 4 diperoleh 3𝑥 + 𝑦 = 4

3(−𝑥^′ − 3𝑦^′) + (−𝑦^′) = 4

−3𝑥^′ − 9𝑦^′ − 𝑦^′ = 4 3𝑥^′ − 10𝑦^′ − 4 = 0 3𝑥^′ + 10𝑦^′ + 4 = 0 3𝑥 + 10𝑦 + 4 = 0 Jadi, bayangan garis adalah 3𝑥 + 10𝑦 + 4 = 0 Luas daerah bangun hasil transformasi

Misalkan matriks transformasi 𝐴 = (^𝑎𝑏) mentransformasikan bangun 𝐵 menjadi bangun 𝐵′, maka

𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 𝐵^′ = | det 𝐴| × 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 𝐵

| det 𝐴| merupakan nilai mutlak dari determinan matriks A dan merupakan faktor perbesaran luas

Contoh:

det 𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

Diketahui segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan 𝐴 (1,0), 𝐵 (6,0), dan 𝐶 (6,3). Luas bayangan segitiga 𝐴𝐵𝐶 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks (^{4 2} ).

1 −3

Pembahasan :

Untuk menentukan luas segitiga 𝐴𝐵𝐶, perhatikan gambar berikut:

Pada gambar terlihat 𝐴𝐵 merupakan alas segitiga dengan panjang 𝐴𝐵 = 5 satuan dan 𝐵𝐶 merupakan tinggi segitiga dengan panjang 𝐵𝐶 = 3 satuan sehingga luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah

𝑙𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 = 1

× 𝐴𝐵 × 𝐵𝐶 = 2

1 15

× 5 × 3 =

2 2

Selanjutnya, kita cari determinan dari matriks transformasi yang bersesuain yaitu 4 2

𝐴 = ( ) 1 −3

det 𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 4 . (−3) − 2 . 1 = −12 − 2 = −14 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 ∆𝐴𝐵𝐶 = | det 𝐴| × 𝑙𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶

= | − 14| × ¹⁵ = 14 × ¹⁵ = 105

2 2

Jadi, luas bayangan segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah 105 satuan.

LEMBAR ASESMEN DIAGNOSTIK Mata Pelajaran : Matematika

Semester : Genap

Materi : Komposisi Transformasi

Pertemuan 11

Tanggal :

Pertanyaan Jawaban

Ya Tidak Apakah sudah paham terkait definisi komposisi

transformasi?

Apakah sudah bisa menyelesaikan soal komposisi transformasi dengan cara manual?

Apakah sudah bisa mengoperasikan aplikasi geogebra?

Apakah sudah bisa menyelesaikan soal komposisi transformasi dengan menggunakan matriks?

Diisi dengan banyaknya peserta didik yang sesuai dengan kriteria

Guru Mata Pelajaran

ANIS WIWIN WIJAYATI

KISI-KISI ASESMEN FORMATIF Sekolah : SMA Negeri 2 Pare

Mata Pelajaran : Matematika

Kelas : XI Saintek 2

Kurikulum : Merdeka Bentul Soal : Essay

Pertemuan 11

Jumlah Soal :

Topik Elemen Indikator Soal Level Kognitif Transformasi Komposisi Disajikan soal berkaitan Menganalisis

Geometri Transformasi dengan komposisi (C4) transformasi. Peserta didik

mampu menyelesaikan soal dengan cara manual dan matriks.

Disajikan soal berkaitan Mencipta

dengan komposisi (C6)

transformasi. Peserta didik mampu membuat bentuk komposisi transformasi dengan menggunakan aplikasi geogebra.

−3

−3

Pertemuan 11

LATIHAN SOAL ASESMEN FORMATIF DAN KUNCI JAWABAN

1. Jika titik (−7,3) dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh 90° dengan pusat titik asal, kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥 Penyelesaian:

𝑇1merupakan matriks transformasi rotasi terhadap titik asal (0,0) dengan besar sudut 90°

cos 90° − sin 90°

𝑇₁ = (

sin 90° cos 90° ) 0 −1 𝑇1 = ( )

1 0

𝑇2 merupakan matriks transformasi refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑥 0 −1

𝑇2 = ( )

−1 0

Titik (−7,3) ditransformasikan oleh 𝑇1 dilanjutkan 𝑇2 diperoleh

𝑥′ 𝑥

(𝑦′) = 𝑇2 ∘ 𝑇1 ( 𝑦)

𝑥′ 0 −1 0 −1 −7

( 𝑦′ ) = (

−1 ) . (

0 1 ) . ( )

0 3

𝑥′ −1 0 −7

( 𝑦′ ) = (

0 ) . ( )

1 3

( 𝑥′ 7 ) = ( ) 𝑦′ 3 Jadi, koordinat bayangan adalah (7,3)

2. Jika titik (−5, −7) ditranslasikan pada 𝑇( ² ), kemudian hasilnya dilatasikan terhadap titik pusat (0,0) dan faktor skala 4

Penyelesaian:

𝑇1merupakan matriks transformasi translasi pada 𝑇( ² ) cos 90° − sin 90°

𝑇₁ = (

sin 90° cos 90° ) 0 −1 𝑇1 = ( )

1 0

𝑇2 merupakan matriks transformasi refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑥 0 −1

𝑇2 = ( )

−1 0

Titik (−7,3) ditransformasikan oleh 𝑇1 dilanjutkan 𝑇2 diperoleh

𝑥′ 𝑥

(𝑦′) = 𝑇2 ∘ 𝑇1 ( 𝑦)

𝑥′ 0 −1 0 −1 −7

( 𝑦′ ) = (

−1 ) . (

0 1 ) . ( )

0 3

𝑥′ −1 0 −7

( 𝑦′ ) = (

0 ) . ( )

1 3

( 𝑥′ 7 ) = ( ) 𝑦′ 3 Jadi, koordinat bayangan adalah (7,3)

3. Bayangan garis 3𝑥 + 𝑦 = 4 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks ( ^{0 1}) dilanjutkan oleh rotasi dengan pusat 𝑂(0,0) sejauh 270^°

−1 3

adalah Penyelesaian

𝑇1 merupakan matriks transformasi ( ^{0 1})

−1 3

0 1 𝑇1 = (

−1 3)

𝑇2 merupakan matriks transformasi rotasi terhadap pusat 𝑂(0,0) dengan besar sudut 𝑎 = 270°

cos 270° − sin 270°

𝑇₂ = (

sin 270°

𝑇2 = ( 0

cos 270° ) 1 )

−1 0

Garis 3𝑥 + 𝑦 = 4 ditransformasikan oleh 𝑇1 dilanjutkan 𝑇2 diperoleh

𝑥′ 𝑥

(𝑦′) = 𝑇2 ∘ 𝑇1 ( 𝑦) ( 𝑥′ 0

) = ( −1 0

) . ( 1 𝑥 ) . ( ) 𝑦′ −1 0 −1 3 𝑦

( 𝑥′ −1

) = ( 3 𝑥

) . ( )

𝑦′ 0 −1 𝑦

0 1

0 1

( 𝑥′

𝑦′

−𝑥 + 3𝑦

) = ( )

−𝑦

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh 𝑥^′ = −𝑥 + 3𝑦 dan 𝑦^′ = −𝑦 Dari persamaan 𝑦^′ = −𝑦 daapt diubah menjadi 𝑦 = −𝑦′

Selanjutnya persamaan 𝑦 = −𝑦′ subtitusi ke persamaan 𝑥^′ = −𝑥 + 3𝑦 diperoleh

𝑥^′ = −𝑥 + 3(−𝑦^′) 𝑥^′ = −𝑥 − 3𝑦′

𝑥 = −𝑥^′ − 3𝑦′

Substitusi 𝑥 = −𝑥^′ − 3𝑦′ dan 𝑦 = −𝑦′ ke persamaan 3𝑥 + 𝑦 = 4 diperoleh 3𝑥 + 𝑦 = 4

3(−𝑥^′ − 3𝑦^′) + (−𝑦^′) = 4

−3𝑥^′ − 9𝑦^′ − 𝑦^′ = 4

−3𝑥’ − 10’ − 4 = 0 3𝑥^′ + 10𝑦^′ + 4 = 0 Jadi bayangan garis adalah 3𝑥 + 10𝑦 + 4 = 0

4. Persamaan bayangan garis 𝑦 = 𝑥 + 1 ditransformasikan oleh matriks (¹²), dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu 𝑥 adalah

Penyelesaian

𝑇1 merupakan matriks transformasi (¹²) 𝑇1 = ( 1 2 )

0 1

𝑇2 merupakan matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu 𝑥 1 0

𝑇2 = ( ) 0 −1

Garis 𝑦 = 𝑥 + 1 ditransformasikan oleh 𝑇1 dilanjutkan 𝑇2 diperoleh

𝑥′ 𝑥

(𝑦′) = 𝑇2 ∘ 𝑇1 ( 𝑦) ( 𝑥′ 1

) = ( 0

) . ( 1 2 𝑥 ) . ( ) 𝑦′ 0 −1 0 1 𝑦

( 𝑥′ 1

) = ( 2 𝑥 ) . ( )

𝑦′ 0 −1 𝑦

( 𝑥′

𝑦′ ) = ( 𝑥 + 2𝑦

−𝑦 )

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh 𝑥^′ = 𝑥 + 2𝑦 dan 𝑦^′ = −𝑦 𝑦^′ = −𝑦 dapat diubah menjadi 𝑦 = −𝑦′

Selanjutnya 𝑦 = −𝑦′ substitusikan ke persamaan 𝑥^′ = 𝑥 + 2𝑦 diperoleh 𝑥^′ = 𝑥 + 2𝑦

𝑥^′ = 𝑥 + 2(−𝑦^′) 𝑥^′ = 𝑥 − 2𝑦′

𝑥 = 𝑥′ + 2𝑦′

Substitusi 𝑥 = 𝑥^′ + 2𝑦′ dan 𝑦 = −𝑦′ ke persamaan 𝑦 = 𝑥 − 1 diperoleh 𝑦 = 𝑥 + 1

−𝑦^′ = (𝑥^′ + 2𝑦^′) + 1

−𝑦’ = 𝑥^′ + 2𝑦^′ + 1 𝑥^′ + 2𝑦^′ + 1 = −𝑦′

𝑥^′ + 2𝑦^′ + 𝑦^′ + 1 = 0 𝑥^′ + 3𝑦^′ + 1 = 0 Jadi, bayangan garis adalah 𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0

Pedoman penskoran :

𝒋𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉 𝒔𝒐𝒂𝒍 𝒚𝒂𝒏𝒈 𝒃𝒆𝒏𝒂𝒓 𝒏𝒊𝒍𝒂𝒊 =

𝒋𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉 𝒔𝒐𝒂𝒍 × 𝟏𝟎𝟎