Pengantar Permutasi -Faktorial

Pengantar Permutasi -Faktorial

Misalkan n adalah bilangan bulat positif.

Besaran n faktorial (n!) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara n hingga 1. Untuk n = 0 atau dengan kata lain 0!

didefinisikan =1.

n! = n.(n-1)(n-2)... 1

0! = 1.

Pengantar Permutasi -Faktorial

Contoh:

Tuliskan 10 faktorial pertama : Penyelesaian:

0! = 1 1! = 1

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

Dst...

Pengantar Permutasi -Faktorial

Latihan Soal 1.

2.

4

Prinsip Dasar (Aturan Perkalian)



Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam n1

cara yang berlainan dan kejadian yang lain

dapat terjadi dalam n2 cara yang berlainan

maka kejadian-kejadian tersebut bersama-

lama dapat terjadi n1.n2 cara yang berlainan.

5

Contoh:

 Berapakah banyak bilangan-

bilangan bulat positif yang

ganjil terdiri atas 3 angka yang

dapat disusun dari angka-

angka 3, 4, 5, 6 dan 7.

6

Jawab:



Sediakan 3 kotak, masing-masing untuk ratusan, puluhan dan satuan

ratusan puluhan satuan

Tiap angka dapat diambil sebagai ratusan. Cara itu menghasilkan 5 kemungkinan.

Karena tidak diharuskan ketiga angka berlainan, maka tiap angka dapat diambil sebagai puluhan. Ada 5 kemungkinan lagi. Satuan hanya dapat dipilih dari 3, 5, 7 sebab harus bilangan ganjil . Ada 3 kemungkinan.

Maka banyak bilangan ada 5 . 5 . 3 = 75 bilangan.

Permutasi

Definisi:

permutasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan objek- objek berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada objek yang diulang dari objek-objek tersebut

Permutasi



Misalkan H adalah himpunan dengan n objek



Misalkan k ≤ n, permutasi k objek dari

himpunan H adalah susunan objek-objek berbeda dalam urutan tertentu yang terdiri dari k objek anggota himpunan H



Lambang permutasi adalah huruf P

Permutasi n objek dari n objek yang berbeda

situasi: ada n objek yang satu sama lain berbeda

masalah: menentukan banyaknya susunan terurut terdiri dari n objek yang ada

notasi: _n

P

_n

P ( n , n ) P

_nⁿ

Masalah tersebut dapat dipandang sebagai masalah menempatkan n objek dalam n kotak yang berbeda

Kotak ke- 1 2 ……… n – 1 n

Tahap pertama adalah mengisi kotak ke-1, tahap kedua adalah mengisi kotak ke-2, dan seterusnya sampai tahap ke-n

Tahap Pengisian kotak ke- Banyak cara

1 1 n

2 2 n – 1

… … …

n – 1 n – 1 2

n n 1

Menurut kaidah perkalian

Banyak cara mengisi kotak tersebut adalah:

n(n-1)(n-2)(n-3) …2 • 1 = n!

= n!

n

n

P

Contoh:

Dari empat calon pengurus kelas, berapa banyak susunan yang dapat terjadi untuk menentukan ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara?

Solusi:

Masalah tersebut merupakan masalah permutasi 4 objek dari 4 objek

24 1

. 2 . 3 . 4

!

4 4

4 P    Jadi ada 24 susunan calon pengurus kelas

Permutasi k objek dari n objek yang berbeda, k ≤ n

situasi: ada n objek yang satu sama lain berbeda

masalah: menentukan banyaknya

susunan terurut terdiri dari k

objek dari n objek yang ada, k ≤ n notasi: _n

P

_k ^P(n,k)

P

^kn

Masalah tersebut dapat dipandang sebagai masalah memilih k objek dalam n objek yang ada, k ≤ n

Kotak ke- 1 2 ……… k – 1 k

Tahap pertama adalah mengisi kotak ke-1, tahap kedua adalah mengisi kotak ke-2, dan seterusnya sampai tahap ke-k

Tahap Pengisian kotak ke- Banyak cara

1 1 n

2 2 n – 1

… … …

k – 1 k – 1 n - (k - 2) = n – k +2

k k n - (k -1) =n – k +1

Menurut kaidah perkalian

Banyak cara mengisi kotak tersebut adalah:

n(n-1)(n-2)(n-3) …(n – k + 1) =

Contoh:

Tentukan banyak susunan presiden dan wakil presiden jika ada enam calon.

Solusi:

Masalah tersebut merupakan masalah permutasi 2 objek dari 6 objek sehingga ada:

susunan presiden dan wakil presiden

)!

(

! k n P_k n

n  

)!

(

! k n

n



30 5

! 6 4

! 6 )!

2 6 (

! 6

2

6    

  P

Permutasi n objek dari n objek dengan beberapa objek sama

situasi:

ada n objek yang beberapa diantaranya sama.

Misal ada sejumlah n₁ objek q₁, sejumlah n₂ objek q₂, … n_k objek q_k, dengan n₁+n₂+…+n_k = n

masalah:

menentukan banyak susunan terurut terdiri dari n

objek notasi:

) ..

,...

,

(n₁ n₂ n_k

n

P

Permutasi n objek dari n objek yang terdiri dari sejumlah n₁ objek q₁, sejumlah n₂ objek q₂, … n_k objek q_k, dengan n₁+n₂+…+n_k = n

adalah:

!

!...

!

!

2 1

) ..

,...

, ( _{1 2}

k n

n n

n

n n n

P n

k



Contoh: Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari

kata MATEMATIKAWAN?

Solusi: Terdapat 13 huruf pada kata MATEMATIKAWAN, terdiri dari 2 huruf M, 4

huruf A, 2 huruf T, 1 huruf I, 1 huruf E, 1 huruf K, 1 huruf W, 1 huruf N Banyak susunan huruf yang dapat dibuat adalah:

64864800

! 4 . 2 . 1 . 2 . 1

! 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 . 11 . 12 . 13

! 1

! 1

! 1

! 1

! 1

! 2

! 4

! 2

! 13

) 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 4 , 2 (

13P   

PERMUTASI SIKLIS

Pada permutasi siklis yang akan dihitung adalah

banyak susunan terurut yang mungkin dari sejumlah n objek yang berbeda ditempatkan secara melingkar.

Perhatikan contoh berikut !

Dengan berapa cara 3 orang duduk mengelilingi meja bundar?

Jawab :

Jika 3 orang tsb duduk berderet dalam satu baris maka ada 3! = 6 cara

Untuk menentukan susunan duduk mengelilingi meja bundar. Satu orang kita tentukan dahulu letaknya misal A, kemudian 2 orang yang lain.

A

B

Jadi banyaknya permutasi siklis dari 3 orang tsb adalah 2! = (3 – 1)!

C

A

C B

RUMUS PERMUTASI SIKLIS Kesimpulan :

1. Permutasi siklis adalah susunan unsur-unsur yang membentuk lingkaran dengan memperhatikan urutannya.

2. Banyaknya permutasi siklis dari n unsur adalah (n – 1)!

SOAL:

 Tentukan susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata

”JUMBO”, jika susunan huruf tersebut terdiri atas lima huruf berbeda dan (tidak ada huruf yang digunakan berulang dalam susunan)

 Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata “MAHASISWA”?

 Petugas perpustakaan akan menyusun tiga buku matematika yang sama, dua buku fisika yang sama, tiga buku biologi yang sama, dan empat buku kimia yang sama secara berderet pada sebuah rak buku. Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat?

Discuss



There are 5 non collinear points. How many lines can be formed?



If from 10 finalist shall be chosen 3 winners (first, second, third), then how many

possibilities for winners are there?



A password that contains two different

vowels shall be made. How many possible

passwords can be made?

Discuss



How many phone numbers are there that contains 6 different digits?



There are seven executives, where three executives shall be chosen as marketing manager, after sales manager, and human resources manager. Find the number of

possibilities.



Prove that:

_n1

P

_r



_n

P

_r

 r

_n

P

_r1