Pengenalan umum tentang Himpunan

Pertemuan ke 2

HIMPUNAN

1. Definisi

 Kumpulan objek-objek yang berbeda dan mempunyai sifat-sifat tertentu yang sama.

 Setiap objek yang terdapat dalam

himpunan disebut anggota atau unsur atau elemen.

 Anggota-anggota himpunan ditulis dalam

tanda kurung kurawal.

2. Penyajian Himpunan

4 cara menyajikan himpunan :

 Tabulasi atau enumerisasi

 Simbol-simbol baku

 Notasi pembentuk himpunan (set builder)

 Diagram Venn

Tabulasi atau Enumerasi

 Metode tabulasi adalah cara menulis atau menyatakan himpunan dengan jalan menuliskan semua anggotanya.

 Jika A adalah himpunan bilangan 1,2,3,4 maka himpunan tersebut

ditulis dalam bentuk A = { 1, 2, 3, 4}

Contoh 1 :

Sah-sah saja elemen-elemen di dalam himpunan tidak mempunyai hubungan satu sama lain, asalkan berbeda.

Sebagai contoh, {kucing, a, Amir, 10, paku} adalah himpunan yang terdiri dari lima elemen, yaitu

kucing, a, Amir, 10, paku Contoh 2 :

   

 

     

 

 

 





 K

a a

a C

c a c

b a b

a R

, ,

, ,

, , ,

,

Contoh 2.6 :

Himpunan bilangan bulat positif ditulis sebagai

Sedangkan himpunan bilangan bulat sebagai

 ^{1 , 2 , 3 ,  } 

 ^{  ,  2 ,  1 , 0 , 1 , 2 ,  } 

Untuk menyatakan keanggotaan tersebut digunakan notasi :

A x

A x





Untuk menyatakan x merupakan anggota himpunan A

Untuk menyatakan x bukan merupakan anggota himpunan A Contoh 3 :

  ^      ^    

 R a b a b c a c dan K A 1 , 2 , 3 , 4 , , , , , , , ,

 

 

  ^{a R K}

R a

R c

b a

A A











 , , 5 3

Maka 

Simbol-simbol Baku

Simbol baku yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering

digunakan antara lain :

 P = himpunan bilangan bulat positif

 Z = himpunan bilangan bulat.

 Q = himpunan bilangan rasional.

 R = himpunan bilangan riil.

Kadang kita berhubungan dengan himpunan-himpunan yang semuanya merupakan bagian dari sebuah himpunan yang universal.

Himpunan yang universal ini disebut semesta dan disimbolkan dengan U

Misalnya :

^{U }  ^{1 , 2 , 3 , 4 , 5} 

A adalah himpunan bagian dari U, dengan

^{A }  ^{1 , 3 , 5} 

Notasi Pembentuk Himpunan

 Himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.

 Notasi:{x | syarat yang harus dipenuhi x }

Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan : a. Bagian di kiri tanda ‘ | ’ melambangkan elemen himpunan

b. Tanda ‘ | ’ dibaca dimana atau sedemikian sehingga

c. Bagian di kanan tanda ‘ | ’ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan

d. Setiap tanda ‘ , ’ di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan

A adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5, dinyatakan sebagai

A = { x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}

Atau dalam notasi yang lebih ringkas : A = { x | x  P, x < 5 }

Yang sama dengan

A = { 1, 2, 3, 4 } Contoh 2.9 :

Diagram Venn

 Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis.

 Diagram Venn terdiri dari himpunan atau himpunan-himpunan yang

dilambangkan dengan lingkaran dan himpunan semesta dilambangkan

dengan persegi panjang ^.

Contoh 4:

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = {1, 2, 3, 5 }

B = {2, 5, 6, 8 }

U atau S mempunyai anggota bilangan asli < 10

U

^{A B}

1

3

2 5

8

6

4 7

3. Kardinalitas

 Kardinalitas menunjukan jumlah anggota suatu himpunan.

 Jika terdapat himpunan A, maka kardinal A ditulis dengan lambang n (A) atau |A|

 Contoh : A={x | x bilangan prima, x  10}

A={2, 3, 5, 7 }

maka |A| = 4

4. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota.

Himpunan kosong dilambangkan dengan  atau { }.

Contoh :

K={x | x bilangan ril, x

²

+ 1 = 0}

Maka |K| =  atau { }

P= {orang Indonesia yang pernah ke bulan},

maka |P| = 0

5. Himpunan Bagian (subset)

 Sebuah himpunan dapat merupakan bagian dari himpunan lain.

 Anggota yang terkandung pada himpunan tersebut juga terkandung pada himpunan yang lain.

 Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.

 Notasi : A  B

Diagram Venn Himpunan Bagian

 Suatu himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri.

Jika terdapat suatu himpunan A, maka berlaku A  A.

 Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan.

Jika terdapat himpunan kosong dan himpunan A, maka berlaku   A.

Jika A  B dan B  C, maka A  C

6. Himpunan yang Sama

 Himpunan A dikatakan sama dengan

himpunan B jika dan hanya jika A adalah himpunan bagian B dan B merupakan

himpunan bagian A.

 Dengan menggunakan lambang matematika.

A = B  A  B dan B  A

7. Himpunan yang Ekivalen

 Himpunan A dikatakan ekivalen dengan

himpunan B jika dan hanya jika kardinal A = kardinal B.

 Dengan menggunakan lambang matematika,

A  B  A = B

8. Himpunan Saling Lepas

 Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak mempunyai anggota yang sama.

 Dalam bentuk lambang dapat ditulis :

A // B.

Diagram Venn Himpunan Saling Lepas

9. Himpunan Kuasa

 Himpunan kuasa (power set) adalah suatu himpunan A yang anggota-anggotanya

merupakan suatu himpunan bagian A,

termasuk himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri.

 Himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan :

P (A) atau 2

^A



Contoh 2.20 :

Jika

^{A }   ^{1 , 2}

Maka

^   ^{A }  ^{ ,}    ^{1 , 2 , 1 , 2} 

10. Operasi Thdp Himpunan

 Irisan (intersection)

 Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur yang termasuk di dalam A dan di dalam B.

 Irisan dari himpunan A dan himpunan

B dilambangkan A  B.

Diagram Venn Operasi Irisan

Gabungan (union)

 Gabungan himpunan A dan himpunan B adalah semua unsur yang termasuk di dalam A atau di dalam B.

 Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B.

 A  B ={X:x  A, x  B, atau x  AB }

Diagram Venn Operasi Gabungan

Komplemen (complement)

 Himpunan komplemen adalah

himpunan semua unsur yang tidak termasuk dalam himpunan yang diberikan.

 Jika himpunannya A maka himpunan

komplemennya dilambangkan A’ atau

Ā

Diagram Venn Komplemen

U

A

A

Selisih (difference)

 Selisih himpunan A dan B adalah

semua unsur A yang tidak termasuk di dalam B.

 Selisih himpunan A dan himpunan B

dilambangkan A – B atau A  B’

Diagram Venn Operasi Selisih

Beda Setangkup (symmetric difference)

 Beda setangkup himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya hanya

merupakan anggota himpunan A saja atau B saja.

 ^{A B}   ^{A B}   ^{A B}   ^{B A} 

B

A         

Diagram Venn Beda Setangkup

Perkalian Kartesian

 Jika terdapat himpunan A dan himpunan B maka perkalian kartesian A x B adalah

himpunan yang anggota-anggotanya merupakan pasangan terurut dengan

komponen pertama berasal dari himpunan A dan komponen kedua berasal dari

himpunan B.

 A x B ={(a,b) | a  A dan b  B }

Contoh 2.29 : Perkalian Kartesian

Misal : C = { 1, 2, 3 } D = { a, b }

Maka : C x D = {(1,a) ,(1,b) ,(2,a) ,(2,b), (3,a) , (3,b)}

 Pasangan berurut (a,b) berbeda dengan

(b,a), dengan kata lain (a,b)  (b,a)

 Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A x B  B x A, dengan syarat A atau B tidak kosong

 Jika A = Ø atau B = Ø, maka A x B = B x A = Ø

 Jika A dan B merupakan himpunan

berhingga, maka : |A x B | = | A | . | B |

11. Perampatan Operasi Himpunan

Operasi himpunan dapat dilakukan thdp 2 atau lebih himpunan.

i n n i

i n n i

i n n i

i n n i

A A

A A

A A

A A

A A

A A

A A

A A

2 1 1

2 1 1

2 1 1

2 1 1

































































Contoh 5 :

Misalkan :

 

 

 ^{1 , 2 1 , , 0 3 , , 3 6 , 9} 

3 , 2 , 0

3 2 1







 A A A

Maka,

  ³

³

 ^{1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 6 , 9} 

1 3

1









 i

i i i

A dan

A 



No Hukum

1 (i)

(ii) 2 Dominasi

3 Komplemen 4 Idempoten

Identitas

(i) (ii) (i) (ii) (i) (ii)

12. Hukum-hukum Aljabar Himpunan

A A

A A







 U Ø

U A

A







 U

Ø Ø

 Ø





 A A

U A

A

A A

A

A A

A









5 Involusi

6 Penyerapan 7 Komutatif 8 Asosiatif

  ^{A  A}

 

 ^{A B}  ^A

A

A B

A A













A B

B A

A B

B A













   



^{B C}

 

^{A B}



^C

A

C B

A C

B A





















9 Distributif 10 De Morgen 11

     



B C

 

A B

 

A C



A

C A

B A

C B

A

























B A

B A

B A

B A













Hukum 0/1

Kompl. 2 _Ø

Ø



 U

U

13. Prinsip Dualitas

1 Identitas : Dualnya :

2 Dominasi : Dualnya :

3 Komplemen : Dualnya : 4 Idempoten : Dualnya :

A Ø 

 A

Ø Ø 

 A

U A

A 

A A

A 

A U 

 A

U U

A 

 Ø

 A A

A A

A 

5 Penyerapan : Dualnya :

6 Komutatif : Dualnya :

7 Asosiatif : Dualnya :

8 Distributif : Dualnya :

9 De Morgan : Dualnya :

10 Hukum 0/1 Dualnya :

 

^A

A AB  ^A



^AB



^{ A}

A B

B

A   A B  B  A



^{B C}

 

^{A B}



^C

A     ^A



^{B C}

 

^{ AB}



^C



^{B C}

 

^{A B}

 

^{A C}



A      ^A



^BC

 

^{ AB}

 

^{ AC}



B A

B

A    A  B  A  B

U

Ø U  Ø

14. Prinsip Inklusi - Eksklusi

AB = A + B - A  B

Menghitung jumlah elemen hasil operasi beda setangkup

B A

B A

B

A     2 

Contoh 6 :

Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?

Penyelesaian :

A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3.

B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3.

A  B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5

(yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK-Kelipatan Persekutuan Terkecil-dari 3 dan 5,

yaitu 15)

Yang ditanyakan adalah AB.

Terlebih dahulu kita harus menghitung

^{100 /3} ^{ 33 } ^{100 /5} ^{ 20  } ^{100 /15} ^{ 6}

 B A B

A

Untuk mendapatkan

AB = A + B - A  B

= 33 + 20 – 6

= 47

Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5

ABC

=

^{A + B + C - A  B - A  C - B  C +  ABC }

Prinsip inklusi-eksklusi dapat dirampatkan untuk operasi lebih dari dua buah himpunan

Contoh 7 :

I = himpunan mhs yang mengambil kuliah Bahasa Inggris.

P= himpunan mhs yang mengambil kuliah Bahasa Perancis.

J = himpunan mhs yang mengambil kuliah Bahasa Jerman.

maka

I = 1232, P = 879, J = 114

I  P = 103, I  J = 23, P  J = 14, dan

IPJ = 2092

Penyulihan nilai-nilai di atas pada persamaan

IPJ

=

^{I + P + J - I  P - I  J - P  J +  IPJ }

Memberikan

2092 = 1232 + 879 +114 – 103 -23 -14 +  IPJ  Sehingga

 IPJ  = 7

Jadi, ada 7 orang mhs yang mengambil ketiga buah kuliah Bahasa Inggris, Perancis dan Jerman.

Sifat-sifat Operasi Himpunan dan

prinsip dualitas

15. Partisi

Partisi dari sebuah himpunan A adalah

sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A₁, A₂,…dari A sedemikian sehingga :

a.

b. Himpunan bagian A_i saling lepas, yaitu dan

A A

A₁  ₂   

j i untuk

Ø 



 _j

i A

A

Contoh 8 :

Misalkan

 

      

 ^{2 1 , 3 , , 4 2 , 5 , 3 , 6 , 4 , 7 , , 8 7 , 8 , 5 , 6} 

, 1 maka

A 

Adalah partisi dari A

16. Pembuktian Proposisi Himpunan

Pernyataan himpunan dapat dibuktikan dengan menggunakan :

 Diagram Venn

 Tabel keanggotaan

 Sifat aljabar/operasi himpunan

 Definisi

Pembuktian dengan menggunakan Diagram Venn

 Untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan himpunan dengan

menggunakan diagram Venn :

 Gambarkan diagram Venn untuk ruas kiri dan ruas kanan kesamaan.

 Jika ternyata kedua gambar dari diagram Venn tersebut sama maka kesamaan

tersebut terbukti benar.

 ^{B C} 

A  

A B

 ^{A  B}   ^{ A  C} 

A B

C C

Contoh 9 :

Keduanya memberikan area arsiran yang sama

Pembuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan.

A B C BC A(BC) AB AC (AB)(A C)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

Contoh 9 :

Pembuktian dengan menggunakan sifat aljabar/operasi himpunan.

 ^{A  B}  ^  ^{A  B}  ^{ A}

Misalkan A dan B himpunan.

Buktikan bahwa Contoh 10 :

     

A

U A

B B

A B

A B

A

















 Penyelesaian :

 Distributif

 Komplemen

 Identitas

Pembuktian dengan menggunakan definisi.

Membuktikan proposisi himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi proposisi yang berbentuk implikasi.

Biasanya terdapat notasi himpunan bagian

  atau  

Contoh 11 :

Misalkan A dan B himpunan.

Jika dan

maka Buktikan !

 Ø

 B

A ^{A }



^{B C}



C

A 

17. Himpunan Ganda & Operasinya

 Pada himpunan ganda, terdapat satu

anggota yang muncul lebih dari satu kali.

 Jumlah kemunculan anggota dari suatu himpunan ganda disebut multiplisitas.

 Contoh 11 :

Q = { 1,1,2,2,2,4,7,8,8,9}

Multiplisitas 2 adalah 3

Multiplisitas 8 adalah 2

Operasi Gabungan

Operasi gabungan pada multiset akan menghasilkan multiplisitas anggota- anggotanya sama dengan multiplisitas maksimum anggota-anggota pada

himpunan ganda.

Contoh 12 : S = { 1,1,2,2,2,3}

T = { 1,1,1,2,2,3,3,4}

ST = { 1,1,1,2,2,2,3,3,4}

Operasi Irisan

Operasi irisan pada multiset akan

menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan

multiplisitas minimum anggota-anggota pada himpunan ganda.

Contoh 13 : S = { 1,1,2,2,2,3}

T = { 1,1,1,2,2,3,3,4}

ST = { 1,1,2,2,3}

Operasi Selisih

Misal S dan T adalah multiset. Operasi selisih S – T akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-

anggotanya ditentukan dengan cara :

 Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada S maka S – T multiplisitas anggota yang ada pada S dikurangi multiplisitas pada T, jika selisihnya positif

 Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada T, maka multiplisitas anggota yang sama

tersebut sama dengan 0 ( jika selisihnya nol atau negatif )

Contoh : S = { 1,1,2,2,2,3}

T = { 1,1,1,2,2,3,3,4}

S - ^{T = { 2 }}

T - S = { 1,3,4}

Operasi Jumlah

Misal S dan T adalah multiset. Operasi penjumlahan S + T akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-

anggotanya merupakan jumlah dari multiplisitas masing- masing anggota yang sama.

Contoh 14 : S = { 1,1,2,2,2,3}

T = { 1,1,1,2,2,3,3,4}

S+T = { 1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,4}

Latihan



Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika :

U = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7}

B = {1,3,4,7,8 }

Kemudian selesaikan :

(a) A – B (c) A ∩ B (e) A ∩ B

(b) B – A (d) A U B (f) B ∩ Ā

Hasil riset pemasaran yang diselenggarakan sebuah perusahaan Penerbit terhadap 100 orang Mahasiswa UBD mengungkapkan informasi berikut:

15 orang ingin membeli diktat Kalkulus, 20 orang ingin membeli diktat Agama, 30 orang ingin membeli diktat Fisika, 10 orang ingin membeli diktat Kalkulus dan diktat Fisika, 5 orang ingin membeli diktat Agama dan diktat Fisika, 13 orang ingin membeli diktat Kalkulus dan diktat Agama, 7 orang ingin membeli diktat Kalkulus, diktat Agama dan diktat Fisika.

Rumuskan dengan notasi himpunan, kemudian dengan memakai diagram Venn, untuk menjawab pertanyaan – pertanyaan berikut:

•Berapa orangkah yang ingin membeli diktat Kalkulus?

•Berapa orangkah yang ingin membeli diktat Agama?

•Berapa orangkah yang ingin membeli diktat Fisika?

•Berapa orangkah yang tak berminat membeli diktat Kalkulus?

•Berapa orangkah yang tak berminat membeli diktat Agama?

•Berapa orangkah yang tak berminat membeli diktat Fisika?