Pundamental ng kompleks na function

Fungsi Kompleks dan

Fungsi Elementer

FUNGSI KOMPLEKS

DEFINISI 2.1.1 (Fungsi bernilai tunggal)

bernilai tunggal adalah suatu aturan yangmemasangkan setiap z

A dengan tepat satu wB yang dinotasikan dengan w = f(z)".

“Diberikan himpunan ^{A C .} Fungsi kompleks

C dan B

f : A B

 

dan ( ) :

f f

D  A R  f z  B z  A

 

: suatu fungsi.

f A C dengan A C  f z( ) 2 z 3

FUNGSI KOMPLEKS

DEFINISI 2.1.2 ( Fungsi Bernilai Banyak )

"Diberikan himpunan A C dan B C.

Fungsi kompleks bernilai banyak f:A B adalah suatu aturan yang

memasangkan setiap z A dengan paling sedikit satu w B dan terdapat z

A yang dipasangkan dengan paling sedikit dua w B".

Tulisakan operasi dari fungsi f dan g padaD=A

Diberikan himpunan A C dan B

C. Fungsi f dan g didefinisikan dengan w =

f(z),z A dan s=g(z), z

B.

B.

•

 

 

FUNGSI KOMPLEKS

 

 

•

 

 Fungsi yang berbentuk f(z) = az + b dengan a,b C disebut fungsi linear .

 Fungsi yang berbentuk P (z) = a₀ + a₁z + … + a_nzⁿ dengan n bilangan bulat tak negatif dan a₀, a1, … , an konstanta kompleks disebut fungsi suku banyak

 Jika P(z) dan Q(z) adalah fungsi suku banyak, maka fungsi

yang berbentuk disebut fungsi rasional.

P(z) = az+b dan Q(z) = cz+bd, maka dan

disebut fungsi bilinear.

Fungsi Elementer

0 )

( ), (

) ) (

(  Qz z

Q z z P

f

0 ,

)

(  



adbc d

cz b z az

f

c  0



FUNGSI EKSPONEN

Fungsi yang berbentuk

f ( z )

eksponen.

DEFINISI:

Untuk bilangan kompleks z = x + iy didefinisikan

e^z = e^x(cos y + i sin y).

Gunakan definisi di atas untuk membuktikan teorema

berikut: Jika z,w C, maka

C disebut fungsi

e^z , z

e^z

(a) e

^z

0 (d)

e^z _z+w

=e^z.e^w

e^w e^z

z

(b) e (e)

w

e e^{z 2 i}

(c)

e^z

(f) Jika z=x+iy , maka

e^z

e^x

dan

Arg(e

^z

)=y

FUNGSI

TRIGONOMETRI

DEFINISI: Untuk bilangan kompleks z didefinisikan

2 ( b ) sin e

z

( a ) cos e z

e^iz iz

e^iz iz

2i sin z (c) tan

z

sin z ( f )

cscz

cos z

1 (e) sec

z

sin z

1 cos z

cos z (d ) cot z

FUNGSI

TRIGONOMETRI

Berdasarkan definisi di atas buktikan Teorema berikut:

Jika z,w C, maka berlaku

2

cos z cos

²

z 1 cos(

z ) sin

²

z

(a) sin z (b) cos z (c)sin( z )

(d ) (e)

0 jika dan hanya jika z k , k Z 0 jika dan hanya jika z k , k Z

sin z

FUNGSI

TRIGONOMETRI

(k ) cos z

2

sinh

²

y, z x iy sinh

²

y, z x iy

sin

²

x cos

²

x

i cos x sinh y, z x iy i sin x sinh y, z x

iy sin x cosh y

cos x cosh y

( f ) sin(z (g) cos(

z

(h) sin z (i) cos z ( j) sin z

²

w) sin z cos w cos z sin w

w) cos z cos w ∓ sin z

sin w

FUNGSI

HIPERBOLIK

DEFINISI :

Untuk variabel kompleks z didefinisikan fungsi hiperbolik

 

 

) sinh 1

2 ) cosh 1

2 ) tanh sinh

cosh ) coth cosh

sinh ) sec 1

cosh ) csch 1

sinh

z z

z z

a z e e

b z e e

c z z

z

d z z

z

e z

z

f z

z





 

 









FUNGSI HIPERBOLIK [3]

Berdasarkan definisi di atas, buktikan Teorema berikut: Jika z,w C, maka berlaku sifat-sifat

coth² z sinh( z) cosh(

z) tanh( z)

sech² z 1 csch ² z

sinh z coshz

tanh z 1 tanh² z

(a) cosh² z sinh ² z 1 (b)

(c) (d ) (e) ( f )

FUNGSI HIPERBOLIK [4]

w) sinh z cosh w cosh z sinh w w) cosh z cosh w sinh z sinh sinh x cos yw

cosh x cos y

(g) sinh(z (h) cosh(z ( i ) sinh z ( j ) cosh z

( k )

i cosh x sin y,z x iy i sinh x sin y,z x iy

sin² y,z x iy sin² y,z x iy

sinh z ² sinh² x ( l ) cosh z ² cosh² x