H. SIFAT-SIFAT DETERMINAN DAN ATURAN CRAMER
Seperti sudah dibicarakan dalam bab II, jika A adalah sebarang matriks m x n, dan apabila kolom pertamanya diubah menjadi baris pertama, kolom keduanya menjadi baris kedua dan seterusnya, maka matriks yang baru tersebut dinamakan transpos A dan diberi simbol At. Dari definsi determinan kita peroleh bahwa determinan suatu matriks adalah jumlah semua hasil kali elementer bertanda. Karena hasil kali elementer tersebut mempunyai satu faktor dari setiap baris, dan satu faktor dari setiap kolom, maka meskipun matriks tersebut diubah menjadi matriks transpos, hasil kali elementernya akan tetap sama. Akibatnya determinannya pun akan sama seperti diberikan dalam teorema berikut,
Teorema III.5
Jika A adalah sebarang matriks bujursangkar, maka det A = det At.
Contoh III.33
Tinjaulah matriks A berikut,
A=
−
−
− −
6 1 5
3 2 7
8 4 1
Transpos matriks A adalah,
At =
− −
−
−
6 3 8
1 2 4
5 7 1
detA=
−
−
− −
=
6 1 5
3 2 7
8 4 1
(− )− ( ) (5)
− −
− − + −
6 −
2 7
4 1 1
3 7
8 1
3 2
8 4
= −( 6 2)( −28)− − − +( 1)( 3 56)+(5)(12 16− )=83 (i)
detAt =
− −
−
−
=
6 3 8
1 2 4
5 7 1
(− ) − ( ) ( )
− −
− + − −
6
2 4
7 1 3
1 4
5 1 8
1 2
5 7
= −( 6 2)( −28)−( )(3 − −1 20)+ −( 8 7 10)( + )=83 (ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa det A = det At
Jika A dan B adalah dua matriks berukuran n x n, dan k adalah sebarang skalar, maka (i) det (A + B) det A + det B
(ii) det (kA) = kn det A
Contoh III.34
Tinjaulah matriks-matriks berikut,
A= − − −
1 2 1
2 4 3
3 5 0
B=
−
− −
2 0 5
3 1 3
4 6 7
A+ = −B − −
+
−
− −
=
−
− −
1 2 1
2 4 3
3 5 0
2 0 5
3 1 3
4 6 7
1 2 6
5 5 0
7 11 7
detA= − − − =
1 2 1
2 4 3
3 5 0
( )1 ( ) ( )
4 3
5 0 2
2 3
3 0 1
2 4
3 5
− −
− − −
+ − −
=( )(1 0 15+ )−( )(2 0+9)+( )(1 − +10 12)= −1 (i)
detB=
−
− − =
2 0 5
3 1 3
4 6 7
(− ) − ( ) (5)
− −
+ − −
2
1 3
6 7
0
3 3
4 7
3 1
4 6
= −( 2)(− −7 18)−( )(0 − −21 12)+(5)(− +18 4)= −20 (ii)
det A + det B = −1 − 20 = -21 (iii)
det(A+B)=
−
− − =
1 2 6
5 5 0
7 11 7
(− ) − ( ) ( )
− −
+ − −
1
5 0
11 7
2
5 0
7 7
6
5 5
7 11
=(− − −1)( 35 0)−( )(2 − −35 0)+( )(6 − +55 35)= −15) (iv) Dari (iii) dan (iv) diperoleh bahwa det (A + B) de A + det B
Sekarang ambil k = 5 dan kalikan k dengan matriks A, maka akan diperoleh,
kA=
= − − −
5
5 10 5
10 20 15
15 25 0
1 2 1
-2 -4 -3
3 5 0
det(5 )A = − − − =
5 10 5
10 20 15
15 25 0
(5) ( ) (5)
− −
− − −
+ − −
20 15
25 0 10
10 15
15 0
10 20
15 25
=(5)(0+375)−(10 0)( +225)+(5)(−250+300)= −125 (v)
kn det A = 53 (−1) = −125 (vi) Dari (v) dan (vi) diperoleh bahwa det (5A) = 53 det A = 125 det A.
Teorema III.6
Jika A dan B adalah matriks bujursangkar yang ukurannya sama, maka det (AB) = det A det B.
Contoh III.35
Tinjau matriks-matriks berikut,
A= −
−
1 3 0
4 6 1
5 0 2
B=
−
−
−
3 1 4
2 0 6
1 5 3
AB = −
−
−
−
−
=
+ − + − + + + + −
+ − + − − + + − + + − −
− + − +
1 3 0
4 6 1
5 0 2
3 1 4
2 0 6
1 5 3
1 3 3 2 0 1 1 1 3 0 0 5 1 4 3 6 0 3
4 3 6 2 1 1 4 1 6 0 1 5 4 4 6 6 1 3
5 3 0 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 ( 5)( 1) ( )( )0 0 ( )( )2 5 ( 5 4)( ) ( )( )0 6 ( )(2 3)
3 1 22
1 9 55
13 15 26
− − + + − + + −
=
− −
− −
− −
detA= −
−
1 3 0
4 6 1
5 0 2
= (1)
6 1
0 2
− − (3) 4 1
5 2
−
− + (0)
4 6
5 0
−
=( )(1 12+0)−( )(83 − +5) ( )(0 0+30)=3 (i)
detB =
−
−
−
3 1 4
2 0 6
1 5 3
= (3)
0 6
5 −3 − (−1) −
−
2 6
1 3
+ (4) −2 0 1 5
=( )(3 0−30)− −( 1 6)( −6)+( )(4 − −10 0)= −130 (ii)
det(AB)=
− −
− −
− −
3 1 22
1 9 55
13 15 26
= (−3) −
−
9 55
15 26
− (−1) −
− −
1 55
13 26
+ (22)
− −
−
1 9
13 15
= −( 3 234)( −825)− −( 1 26)( +715)+(22)(− −15 117)= −390 (iii) Dari (i) dan (ii) diperoleh,
(det A)(det B) = 3(−130) = − 390 (iv) sedangkan dari (iii) dan (iv) diperoleh,
det (AB) = (det A)(det B)
Dalam bab II telah dibicarakan bahwa matrik bujur sangkar yang semua komponen pada diagonal utamanya 1 dan komponen lainnya nol dinamakan matriks satuan yang diberi simbol I. Berdasarkan teorema III.3 matriks semacam ini determinannya adalah hasil kali semua komponen pada diagonal utamanya, jadi det I = 1.
Contoh III.36
Matriks-matriks satuan berikut, determinannya sama dengan satu.
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
, detI = =( )( )( ) =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 1 1
I =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
, detI = =( )( )( )( )=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 1 1 1 1
Teorema III.7
Sebuah matriks bujursangkar A dapat dibalik (mempunyai invers) jika det A 0
Bukti :
Jika A dapat dibalik maka AA−1 = I . Jika kita ambil determinannya, maka
det (AA−1 ) = det I = 1 (i)
Menurut teorema III.6,
det (AA−1 ) = (det A)(det A−1 ) (ii) Dari (i) dan (ii) diperoleh, (det A)(det A−1 ) = 1, dengan demikian det A 0.
Akibat dari teorema III.7, jika A dapat dibalik, makadet A det
A
−1 = 1
Bukti :
Dari bukti teorema III.7 diperoleh (det A)(det A−1 ) = 1. Karena det A 0, maka detA det
A
−1 = 1 Contoh III.37
Tinjaulah matriks−matris berikut,
A=
− −
4 7 2
2 5 1
6 0 3
B=
6 4 3
4 3 4
3 2 2
det A = 0 karena kolom pertama dan ketiga matriks A sebanding (kolom pertama dua kali kolom ketiga), jadi menurut teorema III.7, matriks A tidak dapat dibalik (tidak mempunyai invers).
= = − +
= − − − + − =
det ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
B
6 4 3
4 3 4
3 2 2
6
3 4
2 2
4
4 4
3 2
3
4 3
3 2
6 6 8 4 8 12 3 8 9 1
Karena det B = 1 0, maka menurut teorema III.7, matriks B dapat dibalik (mempunyai inver).
Berdasarkan hubungan det B det
B
−1 = 1
, maka det B det
B
−1 = 1 = =1
1 1. Untuk mengetahui apakah harga determinan B−1 ini benar, akan kita hitung B−1 dengan cara OBE, kemudian kita tentukan det B−1 dengan cara ekspansi kofaktor.
6 4 3
4 3 4
3 2 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
O13
3 2 2
4 3 4
6 4 3
0 0 1
0 1 0
1 0 0
O12(-1)
− − − −
1 1 2
4 3 4
6 4 3
0 1 1
0 1 0
1 0 0
O21(4)
O31(6)
− − −
− −
− −
−
−
−
1 1 2
0 1 4
0 2 9
0 1 1
0 3 4
1 6 6
O12(-1)
O32(-2)
−
− −
−
−
−
−
1 0 2
0 1 4
0 0 1
0 2 3
0 3 4
1 0 2
O13(2)
O23(-4)
−
−
−
−
− −
−
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2 2 7
4 3 12
1 0 2
O1(-1)
O2(-1) O3(-1)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2 2 7
4 3 12
1 0 2
− −
−
−
Jadi didapatkan
B− =
− −
−
−
1
2 2 7
4 3 12
1 0 2
det ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
B− =
− −
−
−
= − −
− − −
− +
−
= − − − − + + =
1
2 2 7
4 3 12
1 0 2
2
3 12
0 2
2
4 12
1 2
7
4 3
1 0
2 6 2 8 12 7 0 3 1
Jadi benar bahwa det
det .
B B
−1 = 1 = 1
Contoh III.38
Hitunglah determinan invers matriks-matris berikut tanpa harus menghitung inversnya dahulu.
A=
2 4 1
1 2 1
3 4 2
B=
− −
−
− −
1 2 3 1
4 3 4 2
0 5 1 6
0 6 1 4
Jawab :
Untuk menjawab soal ini akan kita gunakan hubungan det A det
A
−1 = 1
, karena itu akan kita cari dulu determinan matriks A dan B dengan menggunakan reduksi baris.
detA=
2 4 1
1 2 1
3 4 2
R12
=
−1 2 1
1 4 1
3 4 2
R21(-1)
=
R31(-3)
−
− −
1 2 1
0 2 0
0 2 1
R32(1)
=
−
−
1 2 1
0 2 0
0 0 1
= −(1)(2)(−1) = 2
detB=
− −
−
− −
1 2 3 1
4 3 4 2
0 5 1 6
0 6 1 4
R21(-4)
=
1 2 3 1
0 5 8 6
0 5 1 6
0 6 1 4
− −
−
− −
R32(-1)
=
R42(1)
1 2 3 1
0 5 8 6
0 0 9 0
0 1 7 2
− −
−
− −
R24
=
−
− −
− −
−
1 2 3 1
0 1 7 2
0 0 9 0
0 5 8 6
R3(1/9)
=
−− −
− −
− (9)
1 2 3 1
0 1 7 2
0 0 1 0
0 5 8 6
R42(5)
=
−− −
− −
− (9)
1 2 3 1
0 1 7 2
0 0 1 0
0 0 43 16
R43(43)
=
−− −
− −
(9)
1 2 3 1
0 1 7 2
0 0 1 0
0 0 0 16
= −(9)(1)(−1)(1)(16) = 144
Karena det A = 2 dan det B = 144, maka detA det
A
−1 = 1 = 1 2
detB det .
B
−1 = 1 = 1 144
Dalam bagian C bab ini telah dibicarakan bahwa kofaktor-kofaktor sebuah matriks dapat dibuat matriks lain yang disebut dengan matriks kofaktor dan transpos matriks kofaktor ini disebut matriks adjoin. Jadi apabila matriksnya adalah A maka adjointnya dinyatakan oleh adj A. Dari matriks adjoin ini dapat ditentukan matriks inversnya seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema III.8
Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka A
A A
−1 = 1
det adj Bukti :
Tinjau matriks A yang dapat dibalik, A
a a a
a a a
a a a
a a a
n
i i in
n n nn
=
11 12
21 22 2
1 2
1 2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. .
1n
Adjoin dari matriks A ini adalah, adj A
C C
C C
C C C C
n
j n
n n jn nn
=
11 21 1 1
12 22 2 2
1 2
. . . C . . . C . . . C . . C .
. .
. . .
. . .
. . . . .
j
.
. . . .
Jika kita kalikan matriks A dengan adj A maka diperoleh,
A
a a
a
a a a
a a a
C C
C C
C C C C
n
i i in
n n nn
n
j n
n n jn nn
( )
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
.
. . . .
adj A
. . a a a . .
. . .
. .
. . . C . . . C . . . C . . C .
. .
. . .
. . .
. . . . .
1n
j
=
11 12
21 22 2
1 2
1 2
11 21 1 1
12 22 2 2
1 2
Komponen baris pertama kolom pertama dari hasil kali ini adalah, a C11 11+a C12 12 + . . . +a C1n 1n Komponen baris pertama kolom kedua dari hasil kali ini adalah,
a C11 21+a C12 22 + . . . +a C1n 2n
dan seterusnya. Secara umum komponen matriks hasil kali ini, yaitu komponen baris ke i kolom ke j adalah,
a Ci1 j1+a Ci2 j2 + . . . +a Cin jn () Jika i = j, maka () merupakan ekspansi kofaktor dari det A sepanjang baris ke i dari matriks A. Sebaliknya jika i j maka koefisien-koefisien a dan kofaktor-kofaktornya berasal dari baris-baris matriks A yang berbeda, sehingga nilai dari () sama dengan nol.
Karena itu hasil kali matriks A dengan adj A adalah,
A A
A
A
A . .
. . . . . . . . (adj )
det .
det .
.
. .
det
=
0 0
0 0
0 0
=
= det
. .
. . .
det ( )
A A I
. . . . .
. . . . .
1 0 0
0 1 0
0 0 1
()
Karena matriks A dapat dibalik, maka det A 0. Jadi persamaan () dapat dituliskan sebagai,
1
det (adj ) A A A = I atau
A 1A I
det adj A
=
Jika persamaan terakhir ini dikalikan dengan A−1 akan diperoleh,
A A − A A I−
=
1 1 1
det adj A Karena A−1A = I dan A−1 I = A−1, maka didapatkan,
1 1
det adj
A A A
= − atau
A A
−1 = 1
det adj A
Untuk memperjelas pembuktiaan di atas, kita ambil matriks 3 x 3 seperti dalam contoh berikut,
Contoh III.39
Tinjau matriks 3 x 3 berikut,
A=
−
−
1 2 1
2 4 1
3 0 2
Kofaktor-kofaktor matriks A ini adalah, C11
4 1
0 2
8
= = C12
2 1
3 2
7 = − =
− − C13
2 3
12 =
4 0
=
−
C21
2 1
0 2
5 = − − =
C22
1 1
3 2
5 = =
− C23
1 2
3 0
6 = − − =
−
C31
2 1
4 1
6 = =
− − C32
1 1
2 1
1
= − = C33
2
8 =
1
2 4
=
−
Determinan matriks A adalah (dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama),
detA= a C11 11+a C12 12+a C13 13 =( )(8)1 + −( 2)(− +7) ( )(1 12)=34 Matriks kofaktornya adalah,
8 7 12
4 5 6
6 1 8
−
−
Matriks adjoin A adalah,
adj A=
−
−
8 4 6
7 5 1
12 6 8
Sekarang kalikan matriks A dengan adj A,
A (adj )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
A
=
−
−
−
−
=
+ − − + + − + − + − +
+ − + + + − + +
− + − +
1 2 1
2 4 1
3 0 2
8 4 6
7 5 1
12 6 8
1 8 2 7 1 12 1 4 2 5 1 6 1 6 2 1 1 8
2 8 4 7 1 12 2 4 4 5 1 6 2 6 4 1 1 8
3 8 0 7 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
det ( )
2 12 3 4 0 5 2 6 3 6 0 1 2 8
34 0 0
0 34 0
0 0 34
34
1 0 0
0 1 0
0 0 1
− + + − − + +
=
=
=
A I
Dari hasil perkalian ini diperoleh bahwa A (adj A) = det A (I). Jika ruas kanan dan kiri dikalikan dengan A−1 maka diperoleh hasil seperti bukti di atas yaitu,
A A
−1 = 1
det adj A Contoh III.40
Tentukanlah invers matriks A dalam contoh III.39 dengan menggunakan teorema III.8.
Jawab :
Matriks pada contoh III.39 adalah,
A=
−
−
1 2 1
2 4 1
3 0 2
Dari contoh III.39 tersebut diperoleh,
det A I
det A = 34 , dan adj A=
−
−
8 4 6
7 5 1
12 6 8
Dengan menggunakan hubungan,
A A
−1 = 1
det adj A diperoleh,
A−
−
= −
−
−
=
1
8 34
4 34
6 34 7
34 5 34
1 34 12
34 6 34
8 34
1 34
8 4 6
7 5 1
12 6 8
Untuk mengetahui kebenaran harga A−1 ini, ujilah sendiri dengan menunjukkan bahwa AA−1 = I seperti yang telah diterangkan dalam bab II.
Contoh III.41
Diketahui matrik A sebagai berikut,
A=
−
1 3 0
2 6 4
1 0 2
a) Tentukanlah kofaktor-kofaktor matriks tersebut
b) Hitunglah det A dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua c) Tentukanlah adj A
d) Tentukanlah A−1 dengan menggunakan hasil dari (b) dan (c) Jawab :
a) Kofaktor-kofaktor matriks A adalah, C11
6 4
0 2
= =12 C12
2 4
1 2
= − 8
− = −
C13
2 6
1 0
= 6
− =
C21
3 0
0 2
= − = −6 C22
1 0
1 2
= 2
− = C23
1 3
1 0
= − 3
− = −
C31
3 0
6 4
= =12 C32
1 0
2 4
= − = −4 C32
1 3
2 6
= = 0
b) Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua diperoleh, detA= a C12 12+a C22 22+a C32 32 = ( )(3 − +8) ( )( )6 2 +( )(0 − = −4) 12
c) Matriks kofaktornya adalah,
12 8 6
6 2 3
12 4 0
−
− −
−
Adjoin matriks A adalah, adj A=
−
− −
−
12 6 12
8 2 4
6 3 0
d) Invers matriks A adalah,
A A
− = =
−
−
− −
−
=
=
− −
− −
−
−
−
−
1 1 1
12
12 6 12
8 2 4
6 3 0
1 1
12 12
6 12
12 12 8
12 2 12
4 12 6
12 3 12
0
1 2 2 3
1 6
1 3 1
2 1 4
0
det adj
( )
A
Ujilah sendiri kebenaran hasil penentuan A−1 ini dengan menunjukkan bahwa A A−1 = I.
Dari pembicaraan di atas dapat dilihat bahwa penentuan invers matriks dengan menggunakan metoda yang dinyatakan dalam teorema III.8, agak sulit untuk matriks berukuran lebih besar dari 3 x 3. Karena untuk metriks berukuran lebih besar dari 3 x 3 kita harus menentukan lebih banyak lagi kofaktornya sebelum invers matriksnya dapat ditentukan. Sebagai contoh, untuk matriks 4 x 4 kita harus menentukan 16 buah kofaktornya sebelum dapat menentukan inversnya. Karena itu cara reduksi baris atau kolom lebih mudah untuk digunakan mencari invers matriks yang berukuran lebih besar dari 3 x 3. Walaupun demikian metoda mencari invers matriks seperti dinyatakan dalam teorema III.8 itu sangat berguna untuk menelaah sifat-sifat invers matriks tanpa harus menghitung inversnya.
Selain dapat digunakan untuk menentukan invers suatu matriks, determinan juga dapat digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linier dengan n bilangan tidak diketahui dan n persamaan linier. Rumus untuk memecahkan sistem persamaan linier dengan menggunakan determinan ini dinamakan aturan Cramer seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema III.9 (Aturan Cramer)
Jika AX = B adalah sistem persamaan linier yang terdiri dari n bilangan yang tidak diketahui dan n persamaan linier dan juga det A 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang unik yaitu,
x A
1 A
= det 1
det , x A
2 A
= det 2
det , . . . , x A
n A
= det n
det
di mana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti komponen-komponen dalam kolom ke-j dari matriks A dengan komponen-komponen dalam matriks B.
Bukti : Misalkan,
A
a a a
a a a
a a a
n n
n n nn
=
11 12 1
21 22 2
1 2
. . . . .
. . . .
. . . . .
. .
. .
X x x
xn
=
1
2
. . .
B b b
bn
=
1
2
. . .
Karena det A 0, maka menurut teorema III.7, matriks A mempunyai invers. Dari teorema II.10 diperoleh bahwa sistem persamaan AX = B mempunyai pemecahan unik yaitu
X = A B−1 ()
Sedangkan dari teorema III.7 kita peroleh,
A A
−1 = 1
det adj A ()
Jika kita masukan harga A−1 ini ke dalam persamaan () dan jika
adj
. . .
.
. .
A
. . . . .
. .
. . .
. . . . .
=
C C C
C C C
C C C
n
n n n
n n nn
11 21 1
1 2 2
1 2
maka
X A B
A A
C C C
C C C
C C C
b b
b
n n
n n nn n
= =
=
−1
11 21 1
12 22 2
1 2
1
2
1 1
det adj
det
. .
. . . A B
. . . . .
. .
. . .
. . . . . .
=
+ + +
+ + +
+ + +
=
+ + +
+ + +
+ + +
1
11 1 21 2 1
12 1 22 2 2
1 1 2 2
11 1 21 2 1
12 1 22 2 2
1 1 2 2
det
. . .
det det . . . det A
C b C b C b
C b C b C b
C b C b C b
C b C b C b
A
C b C b C b
A
C b C b C b
A
n n
n n
n n nn n
n n
n n
n n nn n
. . . . . .
. . .
. . . . . .
. . .
Jadi x x
x
b C b C b C
A
b C b C b C
A
b C b C b C
A
n
n n
n n
n n n nn
1
2
1 11 2 21 1
1 12 2 22 2
1 1 2 2
. . .
det det . . . det
=
+ +
+ + +
+ + +
. . . +
. . .
. . .
()
Misalkan A
b a a
b a a
b a a
n n
n n nn
1
1 12 1
2 22 2
2
=
.
. . . .
. . . .
. . . . .
. .
. .
, maka detA1 =b C1 11+b C2 21+ . . . +b Cn n1 (ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama)
A
a b a
a b a
a b a
n
n
n n nn
2
11 1 1
12 2 2
1
=
.
. . . .
. . . .
. . . . .
. .
. .
, maka detA2 = b C1 21+b C2 22+ . . . +b Cn 2n (ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua)
dan seterusnya sampai,
A
a a b
a a b
a a b
n
n n n
=
11 12 1
21 22 2
1 2
. . . . .
. . . .
. . . . .
. .
. .
, maka detAn =b C1 1n +b C2 2n+ . . . +b Cn nn (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-n)
Selanjutnya masukan detA1, det A2, . . . , det An ke dalam persamaan (), akan diperoleh,
x x
x
A A A
A
A A
n n
1
2
1
2
. . .
det det det
det . . . det det
=
atau x A
1 A
= det 1
det , x A
2 A
= det 2
det , . . . , x A
n A
= det n
det
Contoh III.42
Carilah pemecahan sistem persamaan linier di bawah ini dengan menggunakan aturan Cramer.
2 2 2
10 3 5
3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
− + =
+ − =
− + + = −
Jawab :
Dalam bentuk perkalian matriks, sistem persamaan linier ini dapat dituliskan sebagai AX = B di mana,
A=
−
−
−
2 1 2
1 10 3
1 1 1
X x x x
=
1
2
3
B =
−
2
5 3
Ganti komponen-komponen kolom pertama matrik A dengan komponen-komponen matriks B, maka akan diperoleh matriks baru yaitu,
A1
2 1 2
5 10 3
3 1 1
=
−
−
−
Ganti komponen-komponen kolom kedua matrik A dengan komponen-komponen matriks B, maka akan diperoleh matriks baru yaitu,
A2
2 2 2
1 5 3
1 3 1
= −
− −
Ganti komponen-komponen kolom ketiga matrik A dengan komponen-komponen matriks B, maka akan diperoleh matriks baru yaitu,
A3
2 1 2
1 10 5
1 1 3
=
−
− −
Tentukan determinan matriks-matriks A, A1, A2, dan A3 (akan ditentukan dengan cara ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama)
Komponen-komponen matriks B
Komponen-komponen matriks B
Komponen-komponen matriks B
detA=
−
−
−
=
2 1 2
1 10 3
1 1 1
2
10 3
1 1
1
1 3
1 1
2
1 10
1 1
− − − −
− +
( ) −
=2 10 3( + − −) ( 1 1 3)( − +) 2 1 10( + )=26 2 22− + =46
detA1
2 1 2
5 10 3
3 1 1
=
−
−
−
=2
10 3
1 1 1 2
5 3
3 1
5 10
3 1
− − − −
− +
( ) −
= (2 10 3+ )− −( 1)(5− +9) 2(5+30)=26 4 70− + =92
detA2
2 2 2
1 5 3
1 3 1
= −
− −
=2
5 3
3 1 2
1 3
1 1 2
1 5
1 3
−
− − −
− +
− −
= 2(5− −9) 2 1 3( − + − + = − + + =) 2( 3 5) 8 4 4 0
detA3
2 1 2
1 10 5
1 1 3
=
−
− −
=2
10 5
1 3 1
1 5
1 3 2
1 10
1 1
− − −
− − +
( ) −
= 2(− − − − − + +30 5) ( 1)( 3 5) 2 1 11( + )= − + +70 2 22= −46
Berdasarkan aturan Cramer, maka pemecahan sistem persamaan linier di atas adalah,
x A
1 A
1 92
46 2
= det = =
det x A
2 A
2 0
46 0
= det = =
det x A
3 A
3 46
46 1
= det = − = − det
Contoh III.43
Pecahkanlah sistem persamaan linier berikut dengan menggunakan aturan Cramer.
x x x
x x x
x x x x
x x x
1 2 4
2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
2 4
2 2
1
2 1
+ + =
+ + =
− + + =
+ − =
Jawab :
Sistem persamaan linier di atas dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matriks AX = B di mana,
A=
−
−
1 2 0 1
0 2 1 1
1 1 1 1
0 1 2 1
X x x x x
=
1
2
3
4
B =
4 2 1 1
Ganti komponen-komponen kolom pertama matriks A dengan komponen-komponen matriks B. Selanjutnya ganti komponen-komponen kolom kedua dengan komponen- komponen matriks B dan seterusnya sampai kolom keempat. Matriks-matriks baru yang diperoleh dengan penggantian komponen-komponen kolom A ini adalah,
A1
4 2 0 1
2 2 1 1
1 1 1 1
1 1 2 1
= −
−
A2
1 4 0 1
0 2 1 1
1 1 1 1
0 1 2 1
=
−
A3
1 2 4 1
0 2 2 1
1 1 1 1
0 1 1 1
= −
−
A4
1 2 0 4
0 2 1 2
1 1 1 1
0 1 2 1
= −
Selanjutnya, hitunglah determinan-determinan matriks A, A1, A2, A3, dan A4 maka akan diperoleh, (hitung sendiri determinan-determinan ini dengan memakai cara apa saja yang saudara anggap paling mudah)
detA=
−
−
= −
1 2 0 1
0 2 1 1
1 1 1 1
0 1 2 1
192
detA1
4 2 0 1
2 2 1 1
1 1 1 1
1 1 2 1
= 384
−
−
= − det A2
1 4 0 1
0 2 1 1
1 1 1 1
0 1 2 1
= 192
−
= −
detA3
1 2 4 1
0 2 2 1
1 1 1 1
0 1 1 1
= 0
−
−
= detA4
1 2 0 4
0 2 1 2
1 1 1 1
0 1 2 1
= 0
− =
Berdasarkan aturan Cramer, maka pemecahan sistem persamaan linier di atas adalah,
x A
1 A
1 384
192 2
= = −
− =
det
det , x A
2 A
2 192
192 1
= = −
− =
det det
x A
3 A3 0
192 0
= =
− =
det
det , x A
4 A3 0
192 0
= =
− =
det det
I. LATIHAN III.4
1. Buktikanlah bahwa det A = det At untuk matriks-matriks berikut,
(i) A=
5 1 8
15 3 6
10 4 2
(ii) A=
−
− −
3 1 2 4
2 0 3 1
1 6 2 0
2 5 4 5
2. Hitunglah det(3A) dan det (5A) untuk matriks-matriks pada soal nomor 1.
3. Buktikanlah bahwa det (AB) = (det A)(det B) untuk matriks-matriks berikut,
A=
2 1 0
3 4 0
0 0 2
B=
−
1 1 3
7 1 2
5 0 1
4. Buktikanlah bahwa det (AB) = (det A)(det B) untuk matriks-matriks berikut,
A=
− −
−
− −
−
2 4 0 0
1 1 0 1
3 0 3 0
1 2 2 1
B=
−
− −
−
4 1 4 2
1 3 1 1
2 4 5 3
6 7 8 0
5. Tentukanlah apakah matriks-matriks berikut mempunyai invers atau tidak, tanpa harus menghitung inversnya terlebih dahulu. Jika mempunyai invers hitunglah determinan inversnya.
(a)
1 7 0
3 6 7
0 8 −1
(b)
− −
2 1 4
1 1 2
3 1 6
(c)
7 2 1
7 2 1
3 6 6
(d)
− −
−
−
3 4 7 2
2 6 1 3
1 0 0 0
2 8 3 4
(e)
2 1 1 3
4 6 2 3
1 0 5 0
5 0 0 5
− − −
(f)
− −
−
− −
−
4 1 0 2
3 6 1 2
1 7 5 0
8 3 0 4
6. Misalkan det A = 5, di mana A
a b c
d e f
g h i
=
Carilah,
(a). det (3A), (b) det (2A−1), (c) det[(2A)−1], (d) det
a g d
b h e
c i f
7. Untuk matriks-matriks di bawah ini, tentukanlah a) Determinannya,
b) Adjoinnya
c) Matriks inversnya dengan menggunakan hasil dari a dan b.
(i) 14 5
25 9
−
−
(ii) 7 10
15 22
(iii) cos sin
sin cos
−
8. Untuk matriks-matriks di bawah ini, tentukanlah
a) Determinannya, b) Adjoinnya
c) Matriks inversnya dengan menggunakan hasil dari a dan b.
(i)
0 1 0
1 0 0
0 0 1
(ii)
5 1 5
0 2 0
5 3 15
−
− −
(iii)
3 1 1
15 6 5
5 2 2
−
− −
−
9. Pecahkanlah sistem-sistem persamaan linier di bawah ini dengan menggunakan aturan Cramer.
(i)
− + − =
+ = −
+ + = −
x y z
x z
x y z
3 2 7
3 3 3
2 2 1
(ii)
2 5 3 1
2 2
0
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + + =
+ + =
(iii)
3 3
2 2 3 1
2 2
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ − =
− + − = −
10. Pecahkanlah sistem-sistem persamaan linier di bawah ini dengan menggunakan aturan Cramer dan eliminasi Gauss-Jordan. Metoda manakah yang paling singkat perhitungannya ?.
(i)
x y z
x y z
y z
+ + =
− + =
− + =
2 3 8
2 4 7
1
(ii)
x y z
x y z
x y z
+ + =
− − =
+ + =
2 0
3 3
2 5 3 4
(iii)
4 5 2
11 2 3
5 2 1
x y
x y z
x y z
+ =
+ + =
+ + =
11. Pecahkanlah sistem-sistem persamaan linier di bawah ini dengan menggunakan aturan Cramer.
(i)
3 7 9 4
4 4 7
2 3 0
2 4 6 6
x y z w
x y z w
x z w
x y z w
+ + + =
+ + + =
− − − =
− − − − =
(ii)
4 6
3 7 1
7 3 5 8 3
2 3
x y z w
x y z w
x y z w
x y z w
+ + + =
+ − + =
+ − + = −
+ + + =
12. Pecahkanlah sistem-sistem persamaan linier di bawah ini dengan menggunakan aturan Cramer dan eliminasi Gauss-Jordan. Metoda manakah yang paling singkat perhitungannya ?.
(i)
x x x x
x x x
x x x
x x x x
1 2 3 4
1 3 4
1 2 4
1 2 3 4
2 2 2
3 5 3
2 3 1
2 4 6 5
+ − + = −
+ + =
− + =
− − + + = −
(ii)
2 4 32
7 2 9 14
3 11
4 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
− + − = −
+ + − =
− + + =
+ − − = −
