MATEMATIKA EKONOMI
ADI MUSHARIANTO, S.E., M.M.
PROGRAM STUDI D3/S1/AKT/MNJ ITB AHMAD DAHLAN JAKARTA
DERET HITUNG
DERET HITUNG
• Deret hitung adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung dinamakan pembeda/beda (b) yang
merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku
yang bersamaan.
PENGGOLONGAN DERET HITUNG
• Suku Pembentuknya
– Terbagi menjadi deret berhingga (jumlah suku
tertentu) dan deret tidak terhingga (jumlah yang tidak terhingga).
• Berdasarkan pembeda
– Terbagi menjadi deret hitung naik dan deret
hitung turun. Deret hitung naik yaitu deret hitung dengan nilai “b “positif, deret hitung turun dengan nilai “b” negatif.
BENTUK UMUM DERET
1. Menentukan besarnya suku ke-n
– Dimana:
– Sn = suku ke-n
– a = suku pertama
– n = suku dalam deret – b = pembeda/beda
Sn = a + (n – 1)b
BENTUK UMUM DERET
2. Menentukan besarnya jumlah n suku
– Dimana Jn adalah jumlah bilangan sampai dengan suku ke-n
3. Pembeda/Beda
Jn = n/2(a + Sn) atau Jn = n/2 {2a + (n – 1)b}
B = Sn – S
(n – 1)CONTOH 1.1 DERET HITUNG
• Deret hitung: 10, 25, 40, 55, 70, …
• Maka:
• (1) Pembeda/beda (b) = 15
• (2) suku ke-n dari deret hitung
Deret 10 25 40 55 70
Suku ke S1 S2 S3 S4 S5
CONTOH 1.1 DERET HITUNG
• Sehingga:
S
1= 10 = a
S
2= 25 = a + (2 – 1)b = a + b S
3= 40 = a + (3 – 1)b = a + 2b S
4= 55 = a + (4 – 1)b = a + 3b S
5= 70 = a + (5 – 1)b = a + 4b
Berdasarkan rumus diatas maka dengan mudah dapat dihitung nilai-nilai untuk suku ke-6, ke-10 dan ke-25.
CONTOH 1.1 DERET HITUNG
S6 = a + (6 – 1)b = a + 5b
= 10 + 5(15)
= 85
S10 = a + (10 – 1)b = a + 9b
= 10 + 9(15)
= 145
S25 = a + (25 – 1)b = a + 24b
= 10 + 24(15)
= 360
CONTOH 1.1 DERET HITUNG
J1 = 1/2(a + S1) = ½(10 + 10) = 10 J2 = 2/2(a + S2) = 1(10 + 25) = 35 J3 = 3/2(a + S3) = 1,5(10 + 40) = 75 J4 = 4/2(a + S4) = 2(10 + 55) = 130 J5 = 5/2(a + S5) = 2,5(10 + 70) = 200 J6 = 6/2(a + S6) = 3(10 + 85) = 285 J10 = 10/2(a + S10) = 5(10 + 145) = 775 J25 = 25/2(a + S25) = 12,5(10 + 360) = 4.625
PENERAPAN DERET HITUNG DALAM ILMU EKONOMI DAN BISNIS
• Perusahaan sepatu Gemilang memperoleh penerimaan sebesar Rp 650 juta pada tahun ke-5 dan menerima sebesar Rp 850 juta di tahun ke-7
– Tentukan penerimaan tahun pertama dan ke-10?
– Pada tahun ke berapkah penerimaan menjadi Rp 500 juta?
– Tentukan total penerimaan hingga tahun ke-10?
PENERAPAN DERET HITUNG DALAM ILMU EKONOMI DAN BISNIS
S5 = a + 4b = 650.000.000 S7 = a + 4b = 850.000.000 -2b = -200.000.000 2b = 200.000.000
b = 200.000.000 / 2 b = 100.000.000
S5 = a + 4b
650.000.000 = a + 4(100.000.000) 650.000.000 = a + 400.000.000
a = 650.000.000 – 400.000.000 a = 250.000.000
S1 = 250.000.000
Penerimaan tahun pertama (s1)
S1 = a = 250.000.000, penerimaan tahun pertama adalah Rp 250 juta Penerimaan tahun ke-10 (S10)
S10 = a + 9b
S10 = 250.000.000 + 9(100.000.000)
S10 = 1.150.000.000., Penerimaan tahun ke-10 adalah Rp 1,15 Milyar
PENERAPAN DERET HITUNG DALAM ILMU EKONOMI DAN BISNIS
• Di tahun berapakah penerimaan akan menjadi Rp 500 juta?
Sn = a + (n – 1)b
500.000.000 = 250.000.000 + (n – 1)100.000.000
500.000.000 = 250.000.000 + 100.000.000n –100.000.000 500.000.000 = 150.000.000 + 100.000.000n
500.000.000 – 150.000.000 = 100.000.000n 350.000.000 = 100.000.000n
350.000.000 /100.000.000 = n n = 3,5
Penerimaan akan menjadi Rp 500 juta pada tahun ke 3,5
PENERAPAN DERET HITUNG DALAM ILMU EKONOMI DAN BISNIS
• Berapakah total penerimaan pada tahun ke- 10?
Jn = n/2 (a + Sn)
J10 = n/2 (a + S10), maka:
J10 = 10/2 (250.000.000 + 1.150.000.000) J10 = 5 (1.400.000.000)
J10 = 7.000.000.000
Total penerimaan hingga tahun ke-10 adalah sebanyak Rp 7 Milyar
PENERAPAN DERET HITUNG DALAM ILMU EKONOMI DAN BISNIS
• Pabrik softdrink memproduksi 200.000 botol minuman pada tahun ketiga operasinya. Karena persaingan keras dari minum merk lain, produksinya terus menurun secara konstan sehingga tahun k-7 hanya memproduksi 100.000 botol saja.
– Berapakah penurunan produksi per tahun?
– Pada tahun ke berapa pabrik ini tidak berproduksi lagi?
– Berapa botol minuman yang dihasilkan selama operasinya?
PENERAPAN DERET HITUNG DALAM ILMU EKONOMI DAN BISNIS
S3 = a + 2b = 200.000 S7 = a + 6b = 100.000 4b = 100.000
b = 100.000 / 4
b = -25.000 ➔ Penurunan produksi per tahun adalah 25.000 botol Karena; S3 = a + 2(-25.000) = 200.000 Maka;
200.000 = a + 2(-25.000) 200.000 = a – 50.000
a = 200.000 + 50.000
a = 250.000 ➔ jumlah produksi di tahun pertama
Sn = a + (n – 1)b
0 = 250.000 + (n – 1)(-25.000) 0 = 250.000 – 25.000n – 25.000 0 = 225.000 – 25.000n
N = 225.000/25.000
N = 9 ➔ perusahaan akan menutup usahanya pada tahun ke-9 artinya
perusahaan hanya berproduksi sampai tahun ke-8
Jn = n/2 (a + Sn) J8 = n/2 (a + S8) S8 = a + 7b
S8 = 250.000 + 7(25.000) S8 = 425.000
J8 = 8/2 (250.000 + 425.000)
J8 = 2.700.000 ➔ jumlah produksi selama perusahaan berdiri.
