Nama : Ester Sri Ulina Br Sembiring NIM : 4213111048
Kelas : PSPM 2021 C
Perhatikan Gambar Berikut!
Pada segitiga ABC pada gambar 1 (GSP) di atas. Dari titik A, B, dan C dibuat garis- garis yang masing-masing sejajar dengan sisi hadapnya sudut itu.
Apabila garis-garis itu berpotongan di D, E, dan F maka 𝐷𝐸̅̅̅̅ ∥ 𝐶𝐵̅̅̅̅; 𝐸𝐹̅̅̅̅ ∥ 𝐴𝐶̅̅̅̅; 𝐷𝐹̅̅̅̅ ∥ 𝐴𝐵̅̅̅̅
Perhatikan segiempat ABFC, maka ia adalah suatu jajar genjang sebab
𝐴𝐶⃡ ∥ 𝐵𝐹⃡ , 𝐴𝐵⃡ ∥ 𝐶𝐹⃡ , sehingga 𝐴𝐵 = 𝐶𝐹; begitu pula ABCD adalah jajar genjang. Jadi 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶. Maka 𝐷𝐶 = 𝐶𝐹, yang berarti bahwa C titik tengah 𝐷𝐹̅̅̅̅; demikian pula B titik tengah 𝐸𝐹̅̅̅̅ dan A titik tengah 𝐷𝐸̅̅̅̅. Bila 𝐴𝑄⃡ dan 𝐵𝑅⃡ garis-garis tinggi ∆𝐴𝐵𝐶 yang melalui A dan B, maka garis-garis tinggi ini adalah sumbu-sumbu dari sisi 𝐷𝐸̅̅̅̅ dan 𝐸𝐹̅̅̅̅
dalam ∆𝐷𝐸𝐹. Begitu pula 𝐶𝑃⃡ adalah sumbu sisi 𝐷𝐹̅̅̅̅. Karena sumbu-simbu dalam
∆𝐷𝐸𝐹 melalui satu titik maka garis-garis tinggi 𝐴𝑄⃡ , 𝐵𝑅⃡ dan 𝐶𝑃⃡ melalui satu titik pula.
Soal Latihan :
1. Diketahui segitiga ABC, segmen garis AD adalah garis bagi sudut BAC. Mengapa titik pada garis AD letaknya sama jauh dari garis AC dan dari garis AB. Tunjukkan.
Penyelesaian:
Pada soal nomor 1 segmen garis AD bukan garis bagi sudut BAC. Seharusnya yang menjadi garis bagi adalah segmen garis AQ yang menjadi garis bagi sudut BAC.
Maka soalnya ditukar menjadi:
“Diketahui segitiga ABC, segmen garis AQ adalah garis bagi sudut BAC. Mengapa titik pada garis AQ letaknya tidak sama jauh dari garis AC dan dari garis AB.
Tunjukkan
Definisi. Garis bagi adalah garis yang melalui titik suatu sudut dan membagi sudut tersebut menjadi dua sudut yang sama besar.
Maka untuk menunjukkan segmen garis AQ adalah garis bagi sudut BAC dapat dilakukan dengan menunjukkan bahwa besar sudut CAQ dan besar sudut BAQ sama besar. Hal ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa ∆BAQ kongruen dengan
∆ACQ.
Dua segitiga sama kaki dikatakan kongruen bisa ditinjau dari urutan empat besaran, yaitu sisi-sudut-sisi, sisi-sisi-sisi, sudut-sisi-sudut, sisi-sudut-sudut.
Untuk sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
∠𝐴𝑄𝐵 = ∠𝐴𝑄𝐶 sama-sama 90° (bertolak belakang)
∠𝐵𝐴𝑄 = ∠𝐶𝐴𝑄 sama (karena ingin dibuktikan bahwa AQ garis bagi sudut BAC) Maka
∠𝐴𝐵𝑄 = ∠𝐴𝐶𝑄
180° − ∠𝐴𝑄𝐵 − ∠𝐵𝐴𝑄 = 180° − ∠𝐴𝑄𝐶 − ∠𝐶𝐴𝑄 Berdasarkan dua sudut sebelumnya sama maka benar
∠𝐴𝐵𝑄 = ∠𝐴𝐶𝑄
Panjangng sisi AQ sama dengan panjang sisi AQ pada ∆BAQ dengan ∆ACQ berturut- turut
Maka ∆BAQ kongruen dengan ∆ACQ karena sisi-sudut-sudut.
Maka benar AQ adalah garis bagi sudut BAC
2. Andai ada segitiga ABC. Andaikan garis AD adalah garis bagi sudut luar CBF dan garis CH adalah garis bagi dari sudut luar GCB. Maka ketiga garis bagi itu akan berpotongan pada satu titik. Tugas kita : membuat sketsa sesuai pernyataan di atas. Lalu membuktikannya.
Penyelesaian :
Andaikan garis AD adalah garis bagi dari sudut BAC. Andaikan garis BE adalah garis bagi dari sudut ABC dan garis CH adalah garis bagi dari sudut ACB. Maka ketiga garis bagi itu akan berpotongan pada satu titik.
Sebuah segitiga yang memiliki garis bagi pada suatu titik sudutnya akan selalu membagi dua segitiga tersebut menjadi dua segitiga baru yang kongruen.
Garis AD adalah garis bagi dari sudut BAC Membentuk segitiga baru ∆𝐴𝐵𝐷 dan ∆𝐴𝐶𝐷 garis BE adalah garis bagi dari sudut ABC Membentuk segitiga baru ∆𝐴𝐵𝐸 dan ∆𝐵𝐶𝐸 dan garis CH adalah garis bagi dari sudut ACB Membentuk segitiga baru ∆𝐴𝐶𝐻 dan ∆𝐵𝐶𝐻
Berdasarkan gambar dapat dilihat bahwa tidak ada garis sejajar, sesuai dengan geometri eclid bahwa 2 garis yang tidak sejajar maka garis tersebut hanya akan memiliki 1 titik sekutu (1 titik yang sama).
Misalkan
Garis AD dan garis BE memiliki titik sekutu yaitu M Garis AD dan garis CH memiliki titik sekutu yaitu P Garis BE dan garis CH memiliki titik sekutu yaitu Q
Tetapi karena garis, AD, BE, dan CH adalah garis bagi yang membagi segitiga yang sama yaitu segitiga ABC maka segitiga baru yang dihasilkan sama/kongruen.
Misalkan segitiga baru ACH memiliki garis CH yang berpotongan dengan garis AD dititik P dan garis AD juga menjadi garis bagi dari segitiga baru tersebut. Sama untuk segitiga lainnya sehingga didapatkan
Sehingga didapatkan perbandingan 𝐴𝑀 𝑀𝐷 = 𝐶𝑄
𝑄𝐻 =𝐵𝑃 𝐸𝑃
Maka dapat disimpulkan titik P, titik Q dan titik M merupakan titik yang sama.
Maka garis AD, garis BE, dan garis CH memiliki 1 titik yang sama misalkan titik O
