05 Dalil Segmen Garis

GEOMETRI BIDANG

C. Dalil Segmen Garis

Ingat bahwa garis AB adalah himpunan tak berbatas dari titik-titik yang membentang tampa henti di kedua arah, tetapi satu baris. Sedangkan segmen garis AB adalah bagian dari garis AB dan memiliki panjang terbatas (titik A dan B sebagai batas)

Perhatikan beberapa dalil segmen garis berikut ini :

Dalil 1 : (Sifat kongruen segmen garis)

Sifat kongruen segmen garis adalah refleksi, simetri dan transitif Refleksi : Untuk setiap garis AB berlaku AB ≡ AB

Simetri : Jika AB ≡ CD, maka CD ≡ AB

Transitif : Jika AB ≡ CD, dan CD ≡ EF maka AB ≡ EF

Dalil 2 : Sebuah segmen garis dapat diperpanjang di kedua arah Pada gambar di samping

dikatakan bahwa titik D terletak pada perpanjangan segmen AB

Dalil 3 : Melalui dua titik yang diberikan, hanya dapat dibuat satu garis Pada gambar di samping

diberikan titik A dan B, hanya satu garis yang dapat dibuat melalui kedua titik itu.

Dalil 4 : Dua garis tidak berpotongan pada lebih dari satu titik Pada gambar di samping AEBdan

CED berpotongan di titik D dan tidak berpotongan dititik lain.

B

A

D

A

B

A

B C

Dalil 5 : Jika terdapat sebuah titik pada suatu garis hanya dapat dibuat satu garis tegak lurus melalui garis tersebut

Dalil 6 : Untuk setiap dua titik berbeda, hanya ada satu bilangan real positif, yaitu panjang segmen garis yang menghubungkan dua titik.

Pada gambar disamping, untuk titik A dan B yang berbeda, hanya ada satu bilangan real positif, diwakili oleh AB yang

merupakan AB . yang merupakan jarak titik A ke titik B

Dalil 7 : Jarak terpendek antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkan dua titik itu.

Dalil 8 : Segmen garis memiliki satu dan hanya satu titik tengah.

Pada gambar disamping, segmen AB

memiliki titik tengah M, dan tidak ada titik tengah lain pada AB.

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

01. Pada gambar berikut ini, jika AD = BE dan BC = CD maka buktikanlah AC = CE

Jawab

Karena AD = BE maka AB + BD = BD + DE

Jadi AB = DE ... (1) BC = CD (diketahui) ... (2) Dari (1) dan (2) berlakulah : AC = AB + BC

AC = DE + CD AC = CD + DE AC = CE (terbukti)

P

A B

Q

B A

B

A M

B _C

02. Dalam segitiga ABC diketahui <A = 800. Titik D, E dan F berturut-turut terletak pada sisi BC, AC, dan AB sedemikian sehingga CE = CD dan BD = BF. Tentukanlah besar < EDF

04. Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi dengan panjang 2 satuan. Melalui B dibuat garis yang tegak lurus dengan BC. Garis tersebut berpotongan dengan perpanjangan AC di titik D.

Tentukanlah panjang BD

Jawab

<CBA = 600 <ABD = 900– 600 = 300 <BAC = 600 <BAD = 1800– 600 = 1200 <ADB + <DBA + <ADB = 1800

<ADB + 1200 + 300 = 1800 <ADB = 300

Jadi segitiga BAD sama kaki AD = 2 satuan AD = 2AP = 2(2) = 4 satuan

Jadi BD = 2 2

CB

CD  = 2 2

2

4  = 12 Jadi BD = 2 3 satuan

05. Pada persegi panjang ABCD disamping diketahui AB = 16 cm dan BC = 20 cm. Jika DAEF adalah layang-layang maka tentukan panjang EF

Jawab

Karena DAEF adalah layang-layang maka DA = DF dan AE = EF

Sehingga : FC2 = DF2 – DC2 2

FC = DA2– DC2 2

FC = 202– 162 2

FC = 144

FC = 12 cm FB = 20 – 12 = 8 cm

Misalkan EF = x cm, maka AE = x cm sehingga EB = 16 – x

Akibatnya EB2 + FB2 = EF2 (16 – x)2 + 82 = x2

256 – 32x + x2 + 64 = x2 32x = 320

x = 10 cm Jadi panjang EF = 10 cm

A

B C

D

2

D C

A _{E B}

06. Pada bangun disamping diketahui AP = PC, PQ = QB dan luas segitiga ABP sama dengan 12 satuan luas, maka tentukanlah luas segitiga PQC

Jawab

Tarik garis AQ sehingga

P QC

L = L_{P AQ} (Karena alas dan tingginya sama) P AQ

L = L_ABQ (Karena alas dan tingginya sama)

Sehingga : L_{P AQ} = L_{P QR} 2 1

P AQ

L = 2. L_{P QR} P AQ

L = 6 satuan luas Jadi L_{P QC} = L_{P AQ} = 6 satuan luas

07. Persegi panjang ABCD dibagi menjadi empat persegi panjang kecil, yaitu I, II, III dan IV. Jika luas persegipanjang I adalah 6 satuan, luas persegipanjang II adalah 15 satuan dan luas persegi panjang III adalah 10 satuan, maka tentukan luas

persegipanjang IV

Jawab

I

L = x₁. y₁ = 6 x₁ = 1 y

6

……… (1)

II

L = x₁. y₂ = 15 x₁ = 2 y 15

……… (2)

III

L = x₂. y₁ = 10 ……….……… (3)

I II

III IV

1 x

I

L L_II

III

L L_IV

A B

C D

2 x

1

(1)(2)

08. Persegi panjang ABCD dibagi menjadi 12 persegi panjang yang sama. Jika AB = 4 cm dan BC = 3 cm. maka tentukanlah luas segitiga EFG

Jawab

Pada segitiga ABC dan GQC berlaku kesetaraan:

AB

C

09. Pada jajaran genjang ABCD disamping diketahui panjang DG = 6 cm dan panjang EG = 4 cm maka tentukanlah panjang EF Jawab

Diketahui DG = 6 cm EG = 4 cm

Karena DCG kongruen dengan AFG maka CG

Karena AGD kongruen dengan EGC maka EG

10. Pada suatu segitiga ABC diketahui AB = 5 cm, AC = 6 cm dan BC = 4 cm seperti pada gambar di samping. Jika DE tegak lurus AC dan DF juga tegak lurus BC serta panjang AD = 2 cm, maka tentukanlah perbandingan DE : DF

11. Diberikan segitiga sama kaki ABC dengan AB = AC seperti pada gambar disamping. Jika panjang AD : DB = CE : EA = 3 : 1 dan luas segiempat BCED adalah 52 cm2 maka hitunglah luas segitiga ADE

Jawab

Perhatikan gambar disamping

Segitiga ABC dibagi atas 16 buah segitiga kecil.

Garis DE membagi jajargenjang DFEG sama luas, sehingga segitiga DEF terdiri atas 2 segitiga kecil dan

segitiga DEG juga terdiri atas 2 segitiga kecil Akibatnya :

Segiempat BCED disusun atas 12 + 2 = 13 segitiga kecil. Segitiga ADE disusun atas 1 + 2 = 3 segitiga kecil, sehingga : 3 : 13 = x : 52

13 3

: 52

x

x = 13

52 3x

= 12 Jadi luas segitiga ADE = 12 cm2

12. Pada segitiga ABC siku-siku di B terdapat titik E di tengah-tengah BC. Jika panjang sisi AC = 8 cm, AD = 4 cm dan BD = 4 cm, maka tentukanlah panjang DE Jawab

BC2 = AB2 + AC2 BC2 = 62 + 82 BC2 = 100

Maka BC = 10 cm, BE = 5 cm

A

B C

D

E

A

B C

D

E

Tarik garis EF tegak lurus AB, maka : segitiga ABC kongruen dengan segitiga BEF

Sehingga : BF AB

= BE BC

BF 6

= 5 10

Maka BF = 3 cm

EF AC

= BE BC

EF 8

= 5 10

Maka EF = 4 cm DF = BD – BF = 4 – 3 = 1 cm

Sehingga : DE2 = EF2 + DF2 DE2 = 42 + 12

DE2 = 17 Jadi DE = 17 cm

Penerapan dalil segmen garis adalah pada segitiga. Terdapat beberapa dalil yang berlaku pada segitiga, yakni dalil titik tengah dan dalil intersep. Berikut akan diuraikan tentang kedua dalil tersebut:

(1) Dalil titik tengah segitiga

Ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah dari dua sisi segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan setengah dari panjang sisi ketiga.

Jadi, pada segitiga ABC di samping, terdapat titik D dan E yang masing-masing merupakan titik tengah dari sisi AC dan AB, maka ruas garis DE akan sejajar dengan CB dan panjang DE setengah dari panjang AB.

Bukti Dalil

Perpanjang garis DE sampai F sehingga DE = EF, dan hubungkan garis BF. Akan dibuktikan bahwa ABFD adalah jajar genjang.

<CED = <BEF (sudut bertolak belakang) CE = EB (diketahui)

DE = EF (dibentuk)

Sehingga ∆CED ≡ ∆BEF (Sisi sudut sisi)

Akibatnya BF // AD ... (1) Karena BF // AD maka AD = DC (diketahui)

DC = BF (∆CED ≡ ∆BEF)

C

A D

B E

C

A D

B

CED CBA

Jadi 

Menurut sifat jajar genjang, jika suatu segiempat terdapat sepasang sisi sisi

berhadapan yang sejajar dan sama panjang, maka segiempat tersebut merupakan jajar genjang.

Dari (1) dan (2) terbukti bahwa ABFE jajargenjang.

Karena ABFE jajargenjang maka terbuktilah bahwa DE sejajar AB

Selanjutnya akan kita gunakan sifat jajaran genjang, untuk membuktikan panjang DE setengah dari panjang AB.

AB = DF (Sifat jajar genjang)

Jadi terbukti bahwa panjang DE setengah dari panjang AB

(2) Dalil Intersept (Intercept)

Jika dua atau lebih garis sejajar dipotong oleh dua garis berpotongan, maka tasio dari ruas garis berpotongan pertama adalah sama dengan rasio dari ruas garis yang serupa dari garis perpotongan kedua.

Jadi, pada segitiga ABC di samping, terdapat garis DE yang sejajar dengan AB, dan kemudian garis-garis sejajar itu dipotong oleh dua garis yang

Perhatikan ∆ CAB dan ∆ CDE

< CAB = < CDE < ACB = < DCE

Artinya ∆ CAB sebangun dengan ∆ CDE. Sehingga berlaku :

Pengembangan dari dalil ini, apabila terdapat tiga garis sejajar dan ketiga garis itu dipotong oleh dua garis yang berpotongan, seperti tampak pada gambar di samping, maka berlaku perbandingan :

PQ AB

=

QR BC

=

PR AC

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini : 13. Diketahui segitiga ABC, siku-siku

di B, dimana panjang AD = 5 cm dan EC = 4 cm. Jika titik D dan E berturut-turut di tengah-tengah AC dan BC maka tentukanlah panjang DE

Jawab

Karena D ditengah-tengah AC maka AC = 10 cm

Karena E ditengah-tengah BC maka BC = 8 cm

Sehingga menurut teorema Pythagoras, berlaku : AB2 = AC2– BC2 AB2 = 102– 82 AB2 = 36 AB = 6 cm

Menurut dalil titik tengah segitiga, maka DE =

2 1

AB =

2 1

(6) = 3 cm

14. Pada segitiga ABC, D, E dan F masing-masing titik tengah AB, AC dan BC, dimana BC = 130 cm dan DF = 50 cm. Jika keliling segitiga ABC 340 cm, tentukanlah panjang EF

Jawab

BC = 130 cm

DF = 50 cm maka AC = 2(50) = 100 cm AB + BC + AC = 340

C A

B

D

E

5

4

C B

A

D E

F

A B C

P

Q

AB + 230 = 340 Jadi AB = 110 cm

15. Pada gambar disamping, garis-garis GH, EF, CD dan AB adalah garis-garis yang sejajar.

Tentukanlah nilai x dan y ! tentukanlah panjang EF !

Jawab

Dari (1)(2) didapat bahwa E dan T adalah titik tengah AD dan BD.

17. Pada gambar trapesium berikut P dan Q adalah titik tengah diagonal BD dan AC. Jika panjang AB = 6 cm dan DC = 12 cm, maka

tentukanlah panjang PQ Jawab

Pada segitiga ABC berlaku kesetaraan:

AB QR

=

AC QC

6 QR

=

2 1

Maka QR = 3 cm

Pada segitiga BCD berlaku kesetaraan :

DC PR

=

BD BP

12 PR

=

2 1

Maka PR = 6 cm