A. Kekongruenan
Dua bangun disebut kongruen jika kedua bangun tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama.
Syarat dua bangun kongruen adalah:
1. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar 2. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang
Contoh:
1. Tunjukkan bahwa segiempat ABCD kongruen dengan segiempat PQRS!
Penyelesaian:
Untuk menunjukkan segiempat ABCD dan segiempat PQRS kongruen, maka kita harus menentukan sudut-sudut dan sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segiempat tersebut.
Dari gambar di atas, dapat kita lihat bahwa:
Sudut-sudut yang bersesuaian adalah:
∠𝐴 = ∠𝑆 ⇔ 900
∠𝐵 = ∠𝑃 ⇔ 900
∠𝐶 = ∠𝑄 ⇔ 900
∠𝐷 = ∠𝑅 ⇔ 900
Sisi-sisi yang bersesuaian adalah:
𝐴𝐵 dan 𝑆𝑃 ➔ 𝐴𝐵 = 𝑆𝑃 = 2,5 cm 𝐵𝐶 dan 𝑃𝑄 ➔ 𝐵𝐶 = 𝑃𝑄 = 6 cm 𝐶𝐷 dan 𝑄𝑅 ➔ 𝐶𝐷 = 𝑄𝑅 = 2,5 cm
𝐷𝐴 dan 𝑅𝑆 ➔ 𝐷𝐴 = 𝑅𝑆 = 6 cm
Karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, maka segiempat ABCD dan segiempat PQRS kongruen
2. Perhatikan gambar berikut!
Pada gambar di atas, segitiga ABC dan segitiga PQR kongruen. Tentukan:
a. Besar sudut C b. Besar sudut B c. Panjang sisi BC d. Panjang sisi PQ
Penyelesaian:
Pada dua bangun datar yang kongruen, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, dan sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. Untuk memudahkan dalam menentukan besar sudut dan panjang sisi yang ditanyakan, kita bisa tentukan terlebih dahulu sudut-sudut dan sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitaga tersebut.
Karena ∠𝐴 = ∠𝑃 = 630 dan panjang AB = panjang PR = 14 cm, maka:
∠𝐴 bersesuaian dengan ∠𝑃
Sisi AB bersesuaian dengan sisi PR
a. Besar sudut C
∠𝐶 bersesuaian dengan ∠𝑄 sehingga ∠𝐶 = ∠𝑄 = 690
b. Besar sudut B
∠𝐵 bersesuaian dengan ∠𝑅 sehingga ∠𝐵 = ∠𝑅 = 1800− 690 − 630 = 480 c. Panjang sisi BC
Sisi BC bersesuaian dengan sisi QR sehingga panjang sisi BC = QR = 12 cm d. Panjang sisi PQ
Sisi PQ bersesuaian dengan sisi AC sehingga panjang sisi PQ = AC = 10 cm
B. Kesebangunan
Dua bangun datar disebut sebangun jika memiliki bentuk yang sama, tetapi memiliki ukuran yang berbeda. Syarat dua bangun datar sebagnun adalah:
1. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
2. Sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama
Contoh:
1. Perhatikan gambar berikut!
Tunjukkan apakah persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang KLMN?
Penyelesaian:
Syarat dua bangun datar yang sebangun adalah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi- sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama.
Sudut-sudut yang bersesuaian
➢ ∠𝐴 bersesuaian dengan ∠𝐾 ➔ ∠𝐴 = ∠𝐾 = 900
➢ ∠𝐵 bersesuaian dengan ∠𝐿 ➔ ∠𝐵 = ∠𝐿 = 900
➢ ∠𝐶 bersesuaian dengan ∠𝑀 ➔ ∠𝐶 = ∠𝑀 = 900
➢ ∠𝐷 bersesuaian dengan ∠𝑁 ➔ ∠𝐷 = ∠𝑁 = 900
Karena di soal dituliskan kedua bangun adalah persegi panjang, maka sudah jelas bahwa besar setiap sudutnya adalah 900
Sisi-sisi yang bersesuaian
➢ AB bersesuaian dengan KL ➔ 𝐴𝐵
𝐾𝐿 = 15
6 =5
2
➢ BC bersesuaian dengan LM ➔ 𝐵𝐶
𝐿𝑀= 8
4= 2
➢ CD bersesuaian dengan MN ➔ 𝐶𝐷
𝑀𝑁=15
6 = 5
2
➢ DA bersesuaian dengan NK ➔ 𝐷𝐴
𝑁𝐾= 8
4= 2 Karena 𝐴𝐵
𝐾𝐿 ≠ 𝐷𝐴
𝑁𝐾 sehingga persegi panjang ABCD tidak sebangun dengan persegi panjang KLMN
2. Perhatikan gambar berikut!
Tunjukkan bahwa ABCD sebangun dengan EFGH!
Penyelesaian:
ABCD adalah trapezium sama kaki, sehingga ∠𝐴 = ∠𝐵 = 600 dan AD = BC = 9 cm EFGH adalah trapezium sama kaki, sehingga ∠𝐸 = ∠𝐹 = 600 dan EH = FG = 5,4 cm
Sudut-sudut yang bersesuaian:
➢ ∠𝐴 bersesuaian dengan ∠𝐸 ➔ ∠𝐴 = ∠𝐸 = 600
➢ ∠𝐵 bersesuaian dengan ∠𝐹 ➔ ∠𝐵 = ∠𝐹 = 600
➢ ∠𝐶 bersesuaian dengan ∠𝐺 ➔ ∠𝐶 = ∠𝐺 = 1200
➢ ∠𝐷 bersesuaian dengan ∠𝐻 ➔ ∠𝐷 = ∠𝐻 = 1200
Sisi-sisi yang bersesuaian:
➢ AB bersesuaian dengan EF ➔ 𝐴𝐵
𝐸𝐹 = 15
9 =5
3
➢ BC bersesuaian dengan FG ➔ 𝐵𝐶
𝐹𝐺= 9
5,4=5
3
➢ CD bersesuaian dengan GH ➔ 𝐶𝐷
𝐺𝐻= 8
4,8=5
3
➢ DA bersesuaian dengan HE ➔ 𝐷𝐴
𝐻𝐸= 9
5,4=5
3
Karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama, maka trapezium ABCD dan EFGH sebangun.
C. Kesebangunan pada Segitiga dengan Garis Sejajar 1. Perhatikan gambar berikut!
Dari gambar di atas, tentukan panjang DE!
Penyelesaian:
Dari gambar di atas, dapat kita pisahkan menjadi dua segitiga yang sebangun.
Karena ABC dan DEC sebangun, maka perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama besar, sehingga:
𝐷𝐸 𝐴𝐵 =𝐷𝐶
𝐴𝐶
⇔𝐷𝐸
12 = 10
10+6
⇔𝐷𝐸
12 =10
16
⇔ 𝐷𝐸 × 16 = 10 × 12
⇔ 𝐷𝐸 =10×12
16
⇔ 𝐷𝐸 = 7,5 cm
Jadi, panjang DE adalah 7,5 cm
Berdasarkan penyelesaian soal di atas, kita peroleh perbandingan kesebangunan dari segitiga dengan garis tinggi sebagai berikut:
2. Perhatikan gambar berikut!
Dari gambar di atas, tentukan:
a. Panjang AD b. Panjang EC
Penyelesaian:
a. AD = x
𝐷𝐶 𝐴𝐶 = 𝐷𝐸
𝐴𝐵 = 𝐸𝐶 𝐵𝐶
⇔ 𝑎
𝑎 + 𝑏=𝑑 𝑐 = 𝑒
𝑒 + 𝑓
AC = 8 + x
𝐷𝐶 𝐴𝐶 =𝐷𝐸
𝐴𝐵 =𝐸𝐶
𝐵𝐶
⇔ 8
8+𝑥= 5
8
⇔ 8 × 8 = 5 × (8 + 𝑥)
⇔ 64 = 40 + 5𝑥
⇔ 64 − 40 = 5𝑥
⇔ 24 = 5𝑥
⇔ 𝑥 =24
5
⇔ 𝑥 = 4,8 cm
Jadi, panjang AD adalah 4,8 cm.
b. EC = y BC = 7 + y
𝐷𝐸 𝐴𝐵 =𝐸𝐶
𝐵𝐶
⇔5
8= 𝑦
7+𝑦
⇔ 5 × (7 + 𝑦) = 8 × 𝑦
⇔ 35 + 5𝑦 = 8𝑦
⇔ 35 = 8𝑦 − 5𝑦
⇔ 35 = 3𝑦
⇔ 𝑦 = 35
3
⇔ 𝑦 = 11,67 cm
Jadi, panjang EC adalah 11,67 cm.
3. Perhatikan gambar berikut!
Dari gambar di atas, tentukan Panjang EF!
Penyelesaian:
Untuk menentukan Panjang EF, kita dapat membuat garis bantu yang sejajar dengan sisi AD dari titik C ke sisi AB, seperti gambar berikut:
Sehingga kita peroleh, DC = EG = AH = 15 cm GF = x = EF – EG
Untuk menentukan panjang GF, dapat kita gunakan kesebangunan segitiga dengan garis sejajar, seperti berikut!
𝐺𝐹 𝐻𝐵 =𝐶𝐹
𝐶𝐵
⇔ 𝑥
10= 8
8+7
⇔ 𝑥 =10×8
15
⇔ 𝑥 = 5,33 GF = x = 5,33 cm
EF = EG + GF = 15 + 5,33 = 20,33 cm Jadi, panjang EF adalah 20,33 cm.
D. Kesebangunan pada Segitiga Siku-siku dengan Garis Tinggi Perhatikan gambar berikut!
Dari gambar di atas, kita peroleh:
1. Perbandingan segitiga ABC dan segitiga ADB
2. Perbandingan segitiga ABC dan segitiga BDC
𝐴𝐵 𝐴𝐷= 𝐴𝐶
𝐴𝐵
⇔ 𝐴𝐵 × 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 × 𝐴𝐶
⇔ 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐷 × 𝐴𝐶
⇔ 𝐴𝐵 = √𝐴𝐷 × 𝐴𝐶
𝐵𝐶 𝐷𝐶 = 𝐴𝐶
𝐵𝐶
⇔ 𝐵𝐶 × 𝐵𝐶 = 𝐷𝐶 × 𝐴𝐶
⇔ 𝐵𝐶2 = 𝐶𝐷 × 𝐶𝐴
⇔ 𝐵𝐶 = √𝐶𝐷 × 𝐶𝐴
3. Perbandingan segitiga BDC dan ADB
Contoh soal:
1. Perhatikan gambar berikut!
Dari gambar di atas, tentukan:
a. Panjang AB b. Panjang AC c. Panjang CD
Penyelesaian:
a. Panjang AB
𝐵𝐶2 = 𝐵𝐷 × 𝐵𝐴
⇔ 122 = 6 × 𝐴𝐵
⇔12×12
6 = 𝐴𝐵
⇔ 𝐴𝐵 = 24
Jadi, panjang AB adalah 24 cm.
𝐵𝐷 𝐴𝐷= 𝐷𝐶
𝐷𝐵
⇔ 𝐵𝐷 × 𝐷𝐵 = 𝐴𝐷 × 𝐷𝐶
⇔ 𝐵𝐷2 = 𝐴𝐷 × 𝐷𝐶
⇔ 𝐵𝐷 = √𝐴𝐷 × 𝐷𝐶
b. Panjang AC AD = AB – DB AD = 24 – 6 AD = 18 cm
𝐴𝐶2 = 𝐴𝐷 × 𝐴𝐵
⇔ 𝐴𝐶 = √𝐴𝐷 × 𝐴𝐵
⇔ 𝐴𝐶 = √18 × 24
⇔ 𝐴𝐶 = √432
⇔ 𝐴𝐶 = 12√3
Jadi, panjang AC adalah 12√3 cm.
c. Panjang CD
⇔ 𝐶𝐷 = √𝐴𝐷 × 𝐷𝐵
⇔ 𝐶𝐷 = √18 × 6
⇔ 𝐶𝐷 = √108
⇔ 𝐶𝐷 = 6√3
Jadi, Panjang CD adalah 6√3 cm.
E. Aplikasi Kesebangunan pada Masalah Kontekstual
Cara menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan kesebangunan, antara lain:
1. Membuat gambar sketsa dari masalah kontekstual 2. Membuat model matematika dari masalah kontekstual 3. Menyelesaikan masalah kontekstual
Contoh:
1. Budi akan mengukur tinggi tiang bendera. Panjang bayangan tiang bendera 2,1 m, sedangkan panjang bayangan Budi 60 cm. Jika tinggi Budi 160 cm, berapa tinggi tiang bendera yang diukur oleh Budi?
Penyelesaian:
Sketsa gambar sesuai data pada soal
Model matematika Tinggi Budi = 160 cm
Panjang bayangan Budi = 60 cm
Panjang bayangan tiang bendera = 2,1 m = 210 cm Tinggi tiang bendera = t = ?
Penyelesaian:
Dengan menggunakan perbandingan pada kesebangunan
𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝐵𝑢𝑑𝑖
𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑡𝑖𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎= 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐵𝑢𝑑𝑖 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑡𝑖𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎
⇔160
𝑡 = 60
210
⇔ 60𝑡 = 160 × 210
⇔ 𝑡 =160×210
60
⇔ 𝑡 = 560 cm = 5,6 m
Jadi, tinggi tiang bendera yang diukur Budi adalah 5,6 m.
2. Sebuah foto diletakkan pada karton berukuran 30 cm x 40 cm. Di bagian atas, kanan, dan kiri foto masih tersisa karton selebar 5 cm. Jika foto dan karton sebangun, tentukan sisa karton di bagian bawah foto!
Penyelesaian:
Diketahui:
Panjang karton = pk = 30 cm Lebar karton = lk = 40 cm
Panjang foto = pf = 30 – 10 = 20 cm Lebar foto = lf = 40 – 5 – x = 35 – x cm Ditanya:
Sisa karton bagian bawah foto = x Jawab:
𝑝𝑘 𝑝𝑓= 𝑙𝑘
𝑙𝑓
⟺30
20= 40
35−𝑥
⟺ 35 − 𝑥 =40×20
30
⟺ 35 − 𝑥 = 26,67
⟺ 35 − 26,67 = 𝑥
⟺ 𝑥 = 8,33 cm
Jadi, sisa karton di bagian bawah foto adalah 8,33 cm.
3. Sebuah foto diletakkan pada sebuah karton berukuran 36 cm x 48 cm. Di bagian atas, kanan, dan kiri foto masih tersisa karton selebar 3 cm. Jika karton dan foto sebangun, tentukan luas karton yang tidak tertutup karton!
Penyelesaian:
Diketahui:
Panjang karton = pk = 36 cm Lebar karton = lk = 48 cm
Panjang foto = pf = 36 – 6 = 30 cm Lebar foto = lf = 48 – 3 – x = 45 – x cm Sisa karton bagian bawah foto = x Ditanya:
Luas karton yang tidak tertutup foto = ? Jawab:
Luas karton yang tidak tertutup foto = luas karton – luas foto
Untuk menentukan luas foto, terlebih dahulu kita tentukan lebar foto, dengan menggunakan perbandingan pada dua bangun yang sebangun.
𝑝𝑘 𝑝𝑓= 𝑙𝑘
𝑙𝑓
⇔36
30= 48
45−𝑥
⇔ 45 − 𝑥 =48×30
36
⇔ 45 − 𝑥 = 40
⇔ 45 − 40 = 𝑥
⇔ 𝑥 = 5 cm
Lebar foto = lf = 45 – 5 cm = 40 cm
Luas karton yang tidak tertutup foto
= luas karton – luas foto
= (36 x 48) – (30 – 40)
= 1728 – 1200
= 528 cm2
Jadi, luas karton yang tidak tertutup foto adalah 528 cm2.
DAFTAR PUSTAKA
Adinawan, M. Cholik. 2018. Matematika untuk SMP/MTs Kelas IX Semester 2. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Kurniawan. 2018. Mandiri Matematika. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Dirjen PAUD DIKDASMEN. 2020. Modul Pembelajaran Jarak Jauh pada Masa Pandemi Covid-19 untuk Jenjang SMP Mata Pelajaran Matematika Semester Genap. Jakarta: DitSMP. (tautan unduh:
https://ditsmp.kemdikbud.go.id/download/modul-pjj-matematika-kelas-9-semester-genap/) https://www.ruangguru.com/blog/matematika-kelas-9-apa-bedanya-kongruen-dan-sebangun-pada-
bangun-datar
