1. Tentukan basis untuk ruang null dari
𝐴 = [
2 2 −1 0 1
−1 −1 2 −3 1 1
0 1 0
−2 0 −1 1 1 1
]
Jawab.
Ruang null dari A adalah ruang solusi dari sistem homogen 2𝑥1+ 2𝑥2− 𝑥3+ 𝑥5 = 0
−𝑥1− 𝑥2+ 2𝑥3− 3𝑥4+ 𝑥5= 0 𝑥1+ 𝑥2− 2𝑥3− 𝑥5= 0
𝑥3+ 𝑥4+ 𝑥5= 0 Dengan menggunakan OBE diperoleh solusi umumnya adalah
𝑥1= −𝑠 − 𝑡 𝑥2 = 𝑠 𝑥3 = −𝑡
𝑥4= 0 𝑥5= 𝑡 Sehingga bisa ditulis menjadi
[ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5]
= [
−𝑠 − 𝑡
−𝑡𝑠 0 𝑡 ]
= [
−𝑠 𝑠0 0 0 ]
+ [
−𝑡
−𝑡0 0 𝑡 ]
= 𝑠 [
−1 10 0 0 ]
+ 𝑡 [
−1
−10 0 1 ] Yang menunjukkan bahwa vektor-vektor
𝑣1= [
−1 1 0 0 0 ]
dan 𝑣2 = [
−1 0
−1 0 1 ] Membentuk suatu basis untuk ruang ini.
2. Tentukan basis-basis untuk ruang baris dan ruang kolom dari
𝐴 = [ 1 22
−1
−3
−6−6 3
4 99
−4
−2
−1−1 2
5 89
−5 4 27
−4 ]
Dengan menggunakan OBE akan diperoleh
𝑅 = [ 1 00 0
−3 00 0
4 10 0
−2 30 0
5
−2 1 0
4
−6 5 0
]
Oleh karena itu vektor-vektor basis untuk ruang baris dari 𝐴 adalah 𝑟1= [1 −3 4 −2 5 4]
𝑟2= [0 0 1 3 −2 −6]
𝑟1 = [0 0 0 0 1 5]
Kolom pertama, ketiga dan kelima dari R terdiri dari vektor-vektor baris dengan 1 utama sehingga
𝑐1′ = [ 1 00 0
] , 𝑐2′ = [ 4 10 0
] 𝑑𝑎𝑛 𝑐3′ = [ 5
−21 0
]
Membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari R, jadi vektor-vektor kolom yang bersesuaian dari A yaitu
𝑐1= [ 1 22
−1
] , 𝑐2= [ 4 9 9
−4
] 𝑑𝑎𝑛 𝑐3= [ 5 89
−5 ]
Membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari A.
