1. Tentukan basis untuk ruang null dari A
𝐴 = [ 1 3
−1 2
4
−2 0 3
5
−11 5
6 4
−2 7
9
−1
−1 8
]
Jawab.
Ruang null dari A adalah ruang solusi dari sistem homogen
𝑥1+ 4𝑥2+ 5𝑥3+ 6𝑥4+ 9𝑥5= 0 3𝑥1− 2𝑥2+ 𝑥3+ 4𝑥4− 𝑥5= 0
−𝑥1− 𝑥3− 2𝑥4− 𝑥5= 0 2𝑥1+ 3𝑥2+ 5𝑥3+ 7𝑥4+ 8𝑥5= 0
Dengan menggunakan OBE diperoleh bentuk matriks eselon baris tereduksi dari A adalah
( 1 00 0
0 10 0
1 10 0
2 10 0
1 20 0
| 0 00 0
)
Maka
𝑥1 = −𝑥3− 2𝑥4− 𝑥5 𝑥2 = −𝑥3− 𝑥4− 2𝑥5 Sehingga solusinya adalah
[ 𝑥1 𝑥2
𝑥3 𝑥4 𝑥5]
= [
−𝑠 − 2𝑡 − 𝑢
−𝑠 − 𝑡 − 2𝑢 𝑠𝑡
𝑢 ]
= 𝑠 [
−1
−1 10 0 ]
+ 𝑡 [
−2
−10 1 0 ]
+ 𝑢 [
−1
−2 00 1 ] Jadi vektor-vektor
[
−1
−11 0 0 ]
, [
−2
−10 1 0 ]
𝑑𝑎𝑛 [
−1
−20 0 1 ] Membentuk basis untuk ruang ini.
2. Dari nomer 1 tentukan rank dan nulitas dari A.
Jawab.
Berdasarkan nomer 1 maka nulitas dari matriks A adalah 𝑛𝑢𝑙𝑙(𝐴) = 3
Dengan menggunakan OBE maka bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah
[ 1 00 0
0 10 0
1 10 0
2 10 0
1 20 0 ]
Karena terdapat dua baris taknol (atau secara ekuivalen, dua 1 utama) sehingga 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴) = 2
Berdasarkan teorema
Jika A adalah matriks dengan n kolom maka 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴) + 𝑛𝑢𝑙𝑙 (𝐴) = 𝑛
3. Buktikan bahwa 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴𝑇)
𝐴 = [ 1
−3
−2 2 1 3
4 5 9
0 2 2 ]
Jawab.
Dengan menggunakan OBE maka diperoleh bentuk eselon baris tereduksi yaitu
[ 1 0 0
0 1 0
−6/7 17/7
0
−4/7 2/7
0 ]
Karena terdapat dua baris taknol (atau secara ekuivalen, dua 1 utama) sehingga 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴) = 2
Kemudian
𝐴𝑇 = [ 1 24 0
−3 15 2
−2 39 2
]
Dengan menggunakan OBE maka diperoleh bentuk eselon baris tereduksi yaitu
[ 1 00 0
0 10 0
1 10 0 ]
Karena terdapat dua baris taknol (atau secara ekuivalen, dua 1 utama) sehingga 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴𝑇) = 2
Jadi terbukti bahwa
𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴𝑇)
