Teori Antrian Penelitian Operasional

Teori Antrian 2

Model Input Terbatas (M/M/s):(GD/N/N)

• Asumsi

• Waktu antar kedatangan = distribusi eksponensial

• Waktu pelayanan = distribusi eksponensial

• Jumlah pelayan paralel = c

• Displin antrian = general discipline

• Jumlah maksimum pelanggan dalam sistem = N

• Jumlah populasi = N

• Aplikasi:

• Machine repair problem

N mesin

c repairman

Machine Repair Problem



,



_n = ^{n = 1,2, …}

n = 0, 1,2, …, N n  N

( )



 −

= 0,

,

_n ^{N n}

0 1 2 n - 2 n - 1 n

N ^{(N - 1)} (N – c + 2)

   

Rate diagram:

Kasus: c = 1

…

_{N - 1 N}

…

(N – c + 1) 



( )



=

 





 





 

 





−

=

N

n

n

n N

N P

0 0

!

! 1





( N N n ) P n N

P

n

n

, 1 , 2 , ,

!

!

0

= 

 

 





= −





( ) (

₀

)

1

1

1 P N P

n L

N

n

n

q

+ −

−

=

−

= 

=







(

₀

) (

₀

)

0

1

1 P N P

L nP

L

_q

N

n

n

s

=  = + − = − −

=







^s

s

W = L



q q

W = L

( )

_n

(

_s

)

n n

n

n

P = N − n P = N − L

=  

^

=



=









0 0

dengan:

n = 0, 1,2, …, N n  N

( )



 −

= 0,

,

_n ^{N n}

0 1 2 c - 2 c - 1 c

N ^{(N - 1)} (N – c + 2)

 2 _{(s - 1)} ^s

Rate diagram:

Kasus: c > 1

…

_{N - 1 N}

…

(N – c + 1) 

s n = 1, 2, ..., c

n  c

𝜇_𝑛 = ቊ𝑛𝜇, 𝑐𝜇,

𝑃_𝑛 =

𝑁!

𝑁 − 𝑛 ! 𝑛!

𝜆 𝜇

𝑛

𝑃₀, 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑐 𝑁!

𝑁 − 𝑛 ! 𝑐! 𝑐^𝑛−𝑐 𝜆 𝜇

𝑛

𝑃₀, 𝑐 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 0, 𝑛 > 𝑁

𝑃₀ = 1

σ_𝑛=0^𝑐−1 𝑁!

𝑁 − 𝑛 ! 𝑛!

𝜆 𝜇

𝑛

+ σ_𝑛=𝑐^𝑁 𝑁!

𝑁 − 𝑛 ! 𝑐! 𝑐^𝑛−𝑐 𝜆 𝜇

𝑛

𝐿_𝑞 = ෍

𝑛=𝑠 𝑁

𝑛 − 𝑐 𝑃_𝑛

𝐿_𝑠 = ෍

𝑛=0 𝑐−1

𝑛𝑃_𝑛 + 𝐿_𝑞 + 𝑐 1 − ෍

𝑛=0 𝑐−1

𝑃_𝑛

 W

_s

= L



q q

W = L

( )

_n

(

_s

)

n n

n

n

P = N − n P = N − L

=  

^

=



=









0 0

dengan:

Model-model Antrian Lain

• Model pelayanan mandiri

• Model waktu pelayanan berdistribusi umum, (M/G/1):(GD/  /  )

• Model waktu pelayanan konstan, (M/D/1):(GD/  /  )

• Model waktu pelayanan berdistribusi Erlang, (M/E

_k

/1):(GD// )

• Model antrian disiplin prioritas

Model Pelayanan Mandiri (M/M/  ):(GD/K/  )

• Asumsi

• Waktu antar kedatangan = distribusi eksponensial

• Waktu pelayanan = distribusi eksponensial

• Jumlah pelayan paralel = tak terbatas

• Displin antrian = general discipline

• Jumlah maksimum pelanggan dalam sistem = K

• Jumlah populasi = tak terbatas

 ,



_n

=

 ,



_n

= n

n = 0, 1, 2, … n = 0, 1, 2, …

! ,

!

⁰

p

⁰

p n p n

n n

n n





 =

=

n = 0, 1, 2, …









=

−

= +

+ +

= e

p e 1

! 1 2

1

0



! , n p e

n n





=

− n = 0, 1, 2, …(Distribusi Poisson dengan mean )



s

= L

= 0

=

_q

q

W

L

Model : (M/G/1):(GD/  /  )

• Asumsi:

• Waktu antar kedatangan = distribusi eksponensial

• Waktu pelayanan = distribusi general dengan mean 1/ dan variansi ²

• Jumlah pelayan paralel = 1

• Displin antrian = general discipline

• Jumlah maksimum antrian = tak terhingga

• Jumlah populasi = tak terhingga



−

= 1 p

0

(   )





−

= +

1 2

2 2

2

L

q

q

s

L

L =  +



q q

W = L

 + 1

=

_q

s

W

W

 1

= 

 

Model : (M/D/1):(GD/  /  )

• Asumsi:

• Waktu antar kedatangan = distribusi eksponensial

• Waktu pelayanan = konstan (degenerate service-time distribution)

• Jumlah pelayan paralel = 1

• Displin antrian = general discipline

• Jumlah maksimum antrian = tak terhingga

• Jumlah populasi = tak terhingga



−

= 1 p

0

(  −  )

= 2 1

2

L

q

q

s

L

L =  +



q q

W = L

 + 1

=

_q

s

W

W

Model : (M/E k /1):(GD/  /  )

• Asumsi:

• Waktu antar kedatangan = distribusi eksponensial

• Waktu pelayanan = distribusi Erlang

• Jumlah pelayan paralel = 1

• Displin antrian = general discipline

• Jumlah maksimum antrian = tak terhingga

• Jumlah populasi = tak terhingga

Fungsi padat probabilitas untuk distribusi Erlang:

( ) ( ) ( 1 ) !

^{k 1 k t}

,

k

e k t

t k

f 

_{− −} ^

= −

 Mean = 1

 k baku 1

Simpangan =

bulat) bilangan

dan 0

0;

(  k 

 0 t

• Distribusi Erlang merupakan distribusi yang sangat penting dalam teori antrian

• Alasan (1):

• Jika terdapat k variabel random (T₁, T₂, …, T_k) yang

berdistribusi identik eksponensial dengan mean = 1/k_, maka jumlah

T = T₁ + T₂ + … + T_k

akan berdistribusi Erlang dengan parameter  dan k.

• Pelayan melakukan sejumlah tugas dalam melayani satu pelanggan.

• Alasan (2):

• Distribusi Erlang mewakili satu keluarga distribusi yang mengijinkan nilai yang tak negatif.

• Distribusi empiris dapat didekati dengan distribusi Erlang.

• Baik distribusi eksponensial maupun degenerate (konstan) kasus khusus dari distribusi Erlang.

k = 1 → distribusi eksponensial k =  → distribusi degenerate

( )      ( − )   

 



=  +

−

= +

















^{2 2 2 2}

2 1 1

2 k

L

_q

k

( )   

 



 −



 



=  +







 k

L

_s

k

2 1

s

s

W

L = 

 + 1

=

_q

s

W

W

Model Antrian Disiplin Prioritas

• Disiplin antrian didasarkan pada sistem prioritas.

• Kasus:

• Nonpreemptive priorities

• Preemptive priorities

• Asumsi:

• Terdapat N kelas prioritas (kelas 1 mempunyai prioritas

lebih tinggi dan kelas N mempunyai prioritas lebih rendah)

• Untuk tiap kelas prioritas memiliki proses input Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi eksponensial

• Waktu pelayanan rata-rata untuk semua kelas adalah sama.

• Laju kedatangan rata-rata untuk tiap kelas dapat berbeda

Nonpreemptive Priorities

• Pelanggan dengan prioritas yang lebih rendah yang sedang dilayani tidak dapat diinterupsi jika pelanggan dengan prioritas yang lebih tinggi masuk ke sistem

antrian.

𝑊_𝑘^𝑐 = 1

𝐴 ⋅ 𝐵_𝑘−1 ⋅ 𝐵_𝑘 + 1

𝜇, 𝑘 = 1,2, ⋯ , 𝑁

Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem untuk anggota dari kelas prioritas k

𝐴 = 𝑐! 𝑐𝜇 − 𝜆

𝑟^𝑐 ෍

𝑗=0 𝑐−1𝑟^𝑗

𝑗! + 𝑐𝜇 𝐵₀ = 1

𝐵_𝑘 = 1 − σ_𝑖=1^𝑘 𝜆_𝑖

𝑐𝜇 , 𝑘 = 1,2, ⋯ , 𝑁

dimana

c = banyaknya pelayan

 = laju pelayanan rata-rata per pelayan sibuk



_i

= laju kedatangan rata-rata untuk kelas prioritas k, i = 1, 2, ..., N



=

=

^N

i

i 1







=  r

Asumsi:

෍

𝑖=1 𝑁

𝜆_𝑖 < 𝑐𝜇

N k

W

L

^s_k

= 

_{k k}

, = 1 , 2 ,  ,

Ekspektasi banyaknya anggota dari kelas prioritas k dalam sistem:

Ekspektasi waktu menunggu anggota dari kelas prioritas k dalam antrian:

N k

W

W

_k^q _k

1 , 1 , 2 , ,

= 

−

= 

Ekspektasi banyaknya anggota dari kelas prioritas k dalam antrian:

N k

W

L

^q_k

= 

_{k k}^q

, = 1 , 2 ,  ,

Untuk kasus c = 1:





²

=

A

Preemptive Priorities

• Pelanggan dengan prioritas lebih rendah yang sedang dilayani

dimasukkan ke dalam antrian jika pelanggan dengan prioritas lebih

tinggi masuk ke dalam sistem antrian.

N B k

W B

k k

s

k

1 , 1 , 2 , ,

1

= 

= 

−

Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem untuk anggota dari kelas prioritas k

untuk s = 1

N k

W

L

^s_k

= 

_{k k}

, = 1 , 2 ,  ,

Ekspektasi banyaknya anggota dari kelas prioritas k dalam

sistem:

• Tiga kelas prioritas yaitu kelas 1, 2, 3

• Kelas 1: 10%

• Kelas 2: 30%

• Kelas 3: 60%

• Terdapat interupsi

• Laju pelayanan rata-rata  = 3

• Laju kedatangan rata-rata  = 2

• Laju kedatangan untuk tiap kelas:

_{1 = 0.2}

₂ = 0.6

₃ = 1.2

c = 1 c = 2

A - -

B

₁

0.933 -

B

₂

0.733 -

B

₃

0.333 -

W

₁

– 1/ 0.024 0.00037

W

₂

– 1/ 0.154 0.00793

W

₃

– 1/ 1.033 0.06542

Penerapan Teori Antrian

Pengambilan Keputusan

• Jumlah pelayan pada suatu fasilitas pelayanan

• Efisiensi dari pelayan

• Jumlah fasilitas pelayanan

Model Biaya Total

Perumusan Fungsi Waktu Menunggu

• Bentuk g(N)

• Bentuk h(W)

Perumusan Fungsi Waktu Menunggu – Bentuk g(N)

• Pelanggan adalah bagian internal dari sistem penyedia pelayanan.

• Biaya menunggu merupakan kehilangan profit dari produktivitas yang

hilang.

• g(N) = biaya menunggu yang merupakan fungsi dari N, jumlah pelanggan dalam sistem.

• N = n; n = 1, 2, ...

• g(0) = 0

• Ekspektasi biaya menunggu:

• Karena N adalah variabel random, maka

( ) WC E ( g ( ) N )

E =

( ) 

^

( )

=

=

0 n

P

n

n g WC

E

Contoh

Misalkan fungsi g(n) adalah

g(n) =

0, untuk n = 0, 1, 2

400(n - 2) untuk n = 3, 4, ..., 10

Perhitungan E(WC) untuk s = 1 dan s = 2

N = n g(n) s = 1 s =2

P_n g(n)P_n P_n g(n)P_n

0 0 0.271 0 0.433 0

1 0 0.217 0 0.349 0

2 0 0.173 0 0.139 0

3 400 0.139 56 0.055 24

4 800 0.097 78 0.019 16

5 1200 0.058 70 0.006 8

6 1600 0.029 46 0.001 0

7 2000 0.012 24 3 x 10^-4 0

8 2400 0.003 7 4 x 10^-5 0

9 2800 7 x 10^-4 0 4 x 10^-6 0

10 3200 7 x 10^-5 0 2 x 10^-7 0

E(WC) $281/hari $48/hari

• Jika g(N) adalah linier (biaya menunggu satuan adalah proporsional terhadap N), maka

dimana Cw = biaya menunggu per satuan waktu untuk tiap pelanggan.

• Ekspektasi biaya menunggu

dengan L = ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem

( ) n C N

g =

_w

( ) WC C nP C L

E

_w

n

n

w

=

= 

^

=0

Perumusan Fungsi Waktu Menunggu – Bentuk h(W)

• Pelanggan adalah bagian eksternal dari sistem penyedia pelayanan.

• Tiga jenis antrian:

• Sistem pelayanan komersial

• Sistem pelayanan transportasi

• Sistem pelayanan sosial

• Sistem pelayanan komersial

• Biaya menunggu → kehilangan profit di masa depan

• Sistem pelayanan transportasi dan sosial

• Biaya menunggu → biaya sosial

• Ciri utama dari sistem antrian yang menentukan biaya menunggu adalah W, waktu menunggu dalam sistem untuk pelanggan individual.

• Bentuk waktu menunggu adalah fungsi dari W, h(W)

• Ekspektasi dari fungsi h(W)

dimana f

_w

(w) = fungsi padat probabilitas W.

• E(h(W) = ekspektasi biaya menungu per pelanggan

• E(WC) = ekspektasi biaya menunggu per satuan waktu

dengan  = laju kedatangan rata-rata

( )

  =

^

 ( ) ( )

0

dw w

f w h h

E W

_w

( ) =  ( )  =

^

 ( ) ( )

0

dw w

f w h h

E WC

E  W 

_w

Contoh

Misalkan h(W) adalah

h(W) = 500W + 400W

²

Untuk model M/M/1, f

_w

(w) adalah Sehingga

( ) ( )

^{( )w}

w

w e

f =  1 − 

^{− 1−}

( )

  = 

^

( + ) ( − )

^{− ( − )}

0

1

2

1

400

500 w w e dw

h

E W  

^{  w}

• Untuk komputer A,  = 30

• Untuk komputer B,  = 25

•  = 20

• Maka,

• Sehingga

 (1 -  ) =

10, untuk komputer A 5, untuk komputer B

E(h(W)) =

58, untuk komputer A

132, untuk komputer B

• Ekspektasi biaya menunggu per hari

E(WC) =

1160 untuk komputer A

2640, untuk komputer B

Jika h(W) fungsi linier,

( ) W C W

h =

_w

dimana C

_w

= biaya menunggu per satuan waktu untuk tiap pelanggan

( ) WC E ( C W ) C ( ) W C L

E = 

_w

=

_w

 =

_w

Biaya menungu :

Model Keputusan

Model 1 ⎯ Tak diketahui s(jumlah pelayan)

Definisi : C

_s

= biaya marjinal dari pelayan per satuan waktu

Diberikan :  ,  , C

_s

Tujuan:

Minimasi E(TC) = sC

_s

+ E(WC)

Model Keputusan

Model 2 ⎯ Tak diketahui  dan s

Definisi : f(  ) = biaya marjinal dari pelayan per satuan waktu jika laju pelayanan rata-rata  Diberikan :  , f(  ), A

Dicari :  , s Tujuan:

Minimasi E(TC) = s f(  ) + E(WC)

dengan pembatas   A

• Jika s tetap, bandingkan nilai minimum E(TC) untuk tiap nilai alternatif

 dan pilih yang memberikan nilai paling minimum.

• Jika s tidak tetap, gunakan pendekatan dua-tahap:

1. Untuk tiap nilai  , tetapkan C

_s

= f(  ), dan pecahkan untuk nilai s yang meminimumkan E(TC) untuk model 1.

2. Bandingkan nilai minimum E(TC) untuk tiap nilai alternatif  dan

pilih yang memberikan nilai paling minimum.

CONTOH:

• MCM cling cuci motor memiliki s pelayan bagian pencucian motor. Masing – masing pelayan mampu mencuci 12 motor / jam, sedangkan pelanggan yang datang rata-rata 20 pelanggan / jam. Model antrian (M/M/s:FCFS/∞/∞). Jika biaya pelayan per unit

6/jam (dalam ribuan rupiah), dan biaya menunggu

per pelanggan 30/jam. Tentukan jumlah pelayan

optimal yang dapat meminimumkan biaya total

harapan

Perhitungan:

Untuk s=1

 = 20,  = 12 p = λ / sμ

= 20/(1)(6) = 1.667

Jawaban ini tidak layak karena nilai p ≥ 1

Perhitungan:

• Untuk c=s = 2,  = 20,  = 12

( ) ( )

( ) (

^{  }

)





s s

n

P s s

n

n

+ −



 



= 



⁻

= ! ! 1

1

1

0 0

𝜌 = 𝜆 𝑠μ

( )

(

¹

)

^{2 0}

! P

L s

s

q









= −

Perhitungan:

• Untuk c=s = 2,  = 20,  = 12





 

 = +



 



 +

= _{q q}

s W L

L 1

𝐶_𝑠 = 6 𝐶_𝑤 = 30

E(TC) = sC_s + E(WC) E(TC) = sC_s + 𝐶_𝑤𝐿_𝑠

𝐿_𝑠 = 5,454

E(TC) = 175,6364

175,6363636

79,24100719 76,19591034 80,45414911

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

2 3 4 5

E(TC)

Soal Latihan 1

• Sebuah distributor batu bata punya satu pekerja yang memuat batu bata kedalam truk. Rata-rata 24 truk datang tiap hari kerja (8 jam). Dengan pola kedatangan distribusi poisson, pekerja

memuat batu bata keatas 4 truk tiap jam, waktu pelayanan distribusi exponential. Pengusaha ingin menambah satu petugas lagi untuk dapat memuat batu bata keatas 8 truk perjam.

1. Buat analisa karakteristik sistem jalur tunggal dan ganda 2. Upah sopir truk $10 perjam, upah petugas pemuat bata

$6 perjam. Berapa penghematan jika punya 2 petugas pemuat batu bata

Soal Latihan 2

• Sebuah perusahaan membeli bahan dari berbagai sumber.

Bahan diangkut dengan menggunakan truk dan rata-rata setiap hari menerima kedatangan satu truk. Pembongkaran dilakukan oleh sekelompok tenaga kerja baik langsung maupun tidak.

• Kelompok tenaga kerja memiliki (n) anggota dan dapat membongkar 0,8n truk per hari.

• Biaya yang harus dikeluarkan ketika truk ditahan karena sedang melakukan pembongkaran sebesar Rp. 300.000,00. Setiap

pekerja yang bertugas melakukan pemuatan menerima upah sebesar Rp. 105.000,00 per hari.

• Tentukan jumlah optimum anggota kelompok kerja.