TUGAS ANALISA STRUKTUR III

TUGAS

ANALISA STRUKTUR III

DOSEN PENGAMPU:

Ir. REKY STENLY WINDAH, ST., MT.

OLEH:

Audrey Setyaningrum (210211010046) Naomi Delarue (210211010063) Jonathan Wantania (210211010211)

PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SAM RATULANGI 2023

Hitung dan gambar gaya-gaya dalam dengan Metode Kekakuan

Penyelesaian metode kekakuan (stiffness) 1. Menentukan DOF (Degree of Freedom)

2. Menghitung Matriks Kekakuan Struktur Δ1 = 1

𝐾₁₁ =12𝐸𝐼

𝐿³ +12𝐸𝐼

𝐿³ =24𝐸𝐼 𝐿³

1

2 3

1

∆1=1 K11

K21 K11 = ^12𝐸𝐼

𝐿³ +^12𝐸𝐼

𝐿³ = ^24𝐸𝐼

𝐿³

K21 = ^−6𝐸𝐼

𝐿²

K31 = ^−6𝐸𝐼

𝐿²

K11 K31

𝐾₂₁ = −6𝐸𝐼 𝐿² 𝐾₃₁ = −6𝐸𝐼

𝐿² Δ2 = 1

𝐾₁₂ = −6𝐸𝐼 𝐿² 𝐾₂₂ =4𝐸𝐼

𝐿 +4𝐸𝐼

𝐿 =8𝐸𝐼 𝐿 𝐾₃₂ =2𝐸𝐼

𝐿 Δ3 = 1

𝐾₁₃ = −6𝐸𝐼 𝐿² 𝐾₂₃ =2𝐸𝐼

𝐿

K12 K22 K22

ϴ2

K32

ϴ2

K12 = ^−6𝐸𝐼

𝐿²

K22 = ^4𝐸𝐼

𝐿 𝑥 2 =^8𝐸𝐼

𝐿

K32 = ^2𝐸𝐼_𝐿

𝐾₃₃ =4𝐸𝐼

𝐿 +4𝐸𝐼

𝐿 =8𝐸𝐼 𝐿

Matriks kekakuan struktur

[𝐾] = 24𝐸𝐼

𝐿³ −6𝐸𝐼

𝐿² −6𝐸𝐼 𝐿²

−6𝐸𝐼 𝐿²

8𝐸𝐼 𝐿

2𝐸𝐼 𝐿

−6𝐸𝐼 𝐿²

2𝐸𝐼 𝐿

8𝐸𝐼 𝐿 3. Menghitung Beban Equivalen

𝑥₁⁰ = −𝑃 2 𝑥₂⁰ = 𝑃𝐿

8 𝑥₃⁰ = 0

4. Persamaan Kekakuan Struktur [𝐾]{∆} + {𝑋⁰} = {𝑋}

{𝑋⁰} = 𝑏𝑒𝑏𝑎𝑛 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛 = { 𝑥₁⁰ 𝑥₂⁰ 𝑥₃⁰

} = { −𝑃

2 𝑃𝐿

8 0 } {𝑋} = 𝑏𝑒𝑏𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝐷𝑂𝐹 = {

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃

} = { 0 0 0 } [𝐾]{∆} = {𝑋} − {𝑋⁰}

[ 24𝐸𝐼

𝐿³ −6𝐸𝐼

𝐿² −6𝐸𝐼 𝐿²

−6𝐸𝐼 𝐿²

8𝐸𝐼 𝐿

2𝐸𝐼 𝐿

−6𝐸𝐼 𝐿²

2𝐸𝐼 𝐿

8𝐸𝐼 𝐿 ]

{

∆₁

∆₂

∆₃ } = {

0 0 0

} − { −𝑃

2 𝑃𝐿

8 0 }

[ 24𝐸𝐼

𝐿³ −6𝐸𝐼

𝐿² −6𝐸𝐼 𝐿²

−6𝐸𝐼 𝐿²

8𝐸𝐼 𝐿

2𝐸𝐼 𝐿

−6𝐸𝐼 𝐿²

2𝐸𝐼 𝐿

8𝐸𝐼 𝐿 ]

{

∆₁

∆₂

∆₃ } = −

{ −𝑃

2 𝑃𝐿

8 0 }

[ 24𝐸𝐼

𝐿³ −6𝐸𝐼

𝐿² −6𝐸𝐼 𝐿²

−6𝐸𝐼 𝐿²

8𝐸𝐼 𝐿

2𝐸𝐼 𝐿

−6𝐸𝐼 𝐿²

2𝐸𝐼 𝐿

8𝐸𝐼 𝐿 ]

{

∆₁

∆₂

∆₃ } =

{ 𝑃 2

−𝑃𝐿 8 0 }

[𝐾]⁻¹= 1

[𝐾]× 𝐴𝑑𝑗. (𝑘)

𝐴𝑑𝑗. (𝑘) =

[

| 8𝐸𝐼

𝐿

2𝐸𝐼 𝐿 2𝐸𝐼

𝐿

8𝐸𝐼 𝐿

| − |

−6𝐸𝐼 𝐿²

2𝐸𝐼 𝐿

−6𝐸𝐼 𝐿²

8𝐸𝐼 𝐿

| |

−6𝐸𝐼 𝐿²

8𝐸𝐼 𝐿

−6𝐸𝐼 𝐿²

2𝐸𝐼 𝐿

|

− |

−6𝐸𝐼

𝐿² −6𝐸𝐼 𝐿² 2𝐸𝐼

𝐿

8𝐸𝐼 𝐿

| | 24𝐸𝐼

𝐿³ −6𝐸𝐼 𝐿²

−6𝐸𝐼 𝐿²

8𝐸𝐼 𝐿

| − | 24𝐸𝐼

𝐿³ −6𝐸𝐼 𝐿²

−6𝐸𝐼 𝐿²

2𝐸𝐼 𝐿

|

|

−6𝐸𝐼

𝐿² −6𝐸𝐼 𝐿² 8𝐸𝐼

𝐿

2𝐸𝐼 𝐿

| − | 24𝐸𝐼

𝐿³ −6𝐸𝐼 𝐿²

−6𝐸𝐼 𝐿²

2𝐸𝐼 𝐿

| | 24𝐸𝐼

𝐿³ −6𝐸𝐼 𝐿²

−6𝐸𝐼 𝐿²

8𝐸𝐼 𝐿

| ]

𝐴𝑑𝑗. (𝑘) =

[

60(𝐸𝐼)² 𝐿²

36(𝐸𝐼)² 𝐿³

36(𝐸𝐼)² 𝐿³ 36(𝐸𝐼)²

𝐿³

156(𝐸𝐼)²

𝐿⁴ −12(𝐸𝐼)² 𝐿⁴ 36(𝐸𝐼)²

𝐿³ −12(𝐸𝐼)² 𝐿⁴

156(𝐸𝐼)² 𝐿⁴ ]

𝐷𝑒𝑡. (𝐾) = |𝐾| = 24𝐸𝐼

𝐿³

−6𝐸𝐼 𝐿²

−6𝐸𝐼 𝐿²

−6𝐸𝐼 𝐿² 8𝐸𝐼 𝐿 2𝐸𝐼

𝐿

−6𝐸𝐼 𝐿² 2𝐸𝐼 𝐿 8𝐸𝐼

𝐿

24𝐸𝐼 𝐿³

−6𝐸𝐼 𝐿²

−6𝐸𝐼 𝐿²

−6𝐸𝐼 𝐿² 8𝐸𝐼 𝐿 2𝐸𝐼

𝐿

=1008(𝐸𝐼)³ 𝐿⁵

[𝐾]⁻¹= 1

[𝐾]× 𝐴𝑑𝑗. (𝑘) = 1 1008(𝐸𝐼)³

𝐿⁵

× [

60(𝐸𝐼)² 𝐿²

36(𝐸𝐼)² 𝐿³

36(𝐸𝐼)² 𝐿³ 36(𝐸𝐼)²

𝐿³

156(𝐸𝐼)²

𝐿⁴ −12(𝐸𝐼)² 𝐿⁴ 36(𝐸𝐼)²

𝐿³ −12(𝐸𝐼)² 𝐿⁴

156(𝐸𝐼)² 𝐿⁴ ]

[𝐾]⁻¹= 𝐿⁵ 1008(𝐸𝐼)³

[

60(𝐸𝐼)² 𝐿²

36(𝐸𝐼)² 𝐿³

36(𝐸𝐼)² 𝐿³ 36(𝐸𝐼)²

𝐿³

156(𝐸𝐼)²

𝐿⁴ −12(𝐸𝐼)² 𝐿⁴ 36(𝐸𝐼)²

𝐿³ −12(𝐸𝐼)² 𝐿⁴

156(𝐸𝐼)² 𝐿⁴ ]

=

[ 5𝐿³ 84𝐸𝐼

3𝐿² 84𝐸𝐼

3𝐿² 84𝐸𝐼 3𝐿²

84𝐸𝐼

13𝐿

84𝐸𝐼 − 𝐿 84𝐸𝐼 3𝐿²

84𝐸𝐼 − 𝐿 84𝐸𝐼

13𝐿 84𝐸𝐼 ]

[𝐾]⁻¹=

[ 5𝐿³ 84𝐸𝐼

𝐿² 28𝐸𝐼

𝐿² 28𝐸𝐼 𝐿²

28𝐸𝐼

13𝐿

84𝐸𝐼 − 𝐿 84𝐸𝐼 𝐿²

28𝐸𝐼 − 𝐿 84𝐸𝐼

13𝐿 84𝐸𝐼 ]

{∆} = [𝐾]⁻¹× −{𝑋⁰}

{

∆₁

∆₂

∆₃ } =

[ 5𝐿³ 84𝐸𝐼

𝐿² 28𝐸𝐼

𝐿² 28𝐸𝐼 𝐿²

28𝐸𝐼

13𝐿

84𝐸𝐼 − 𝐿 84𝐸𝐼 𝐿²

28𝐸𝐼 − 𝐿 84𝐸𝐼

13𝐿 84𝐸𝐼 ]{

𝑃 2

−𝑃𝐿 8 0 }

∆₁= (^5𝐿

3

84𝐸𝐼(𝑃

2)) + ( ^𝐿

2

28𝐸𝐼(−𝑃𝐿

8 )) + ( ^𝐿

2

28𝐸𝐼(0)) = ^5𝑃𝐿

3

168𝐸𝐼− 3𝑃𝐿³

672𝐸𝐼 =17𝑃𝐿³ 672𝐸𝐼

𝜓 = ∆₁ 𝐿 =

17𝑃𝐿³ 672𝐸𝐼

𝐿 =17𝑃𝐿² 672𝐸𝐼

∆₂= 𝜃_𝑐= ( ^𝐿

2

28𝐸𝐼(𝑃

2)) + (^13𝐿 84𝐸𝐼(−𝑃𝐿

8 )) + (− 𝐿

84𝐸𝐼(0)) = ^𝑃𝐿

2

56𝐸𝐼−13𝑃𝐿²

672𝐸𝐼 = − 𝑃𝐿² 672𝐸𝐼

∆₃= 𝜃_𝐷 = ( ^𝐿

2

28𝐸𝐼(𝑃

2)) + (− 𝐿

84𝐸𝐼(−𝑃𝐿

8 )) + (^13𝐿

84𝐸𝐼(0)) = ^𝑃𝐿

2

56𝐸𝐼+13𝑃𝐿²

672𝐸𝐼 =13𝑃𝐿² 672𝐸𝐼 5. Menghitung Persamaan Kekakuan Elemen

{𝑆} = [𝐾]{𝛿} + {𝑆̅}

Elemen 1

{ 𝑆₁ 𝑆₂ 𝑆₃ 𝑆₄

} =

[ 4𝐸𝐼

𝐿

−6𝐸𝐼 𝐿² 2𝐸𝐼 𝐿 6𝐸𝐼

𝐿²

−6𝐸𝐼 𝐿² 12𝐸𝐼

𝐿³

−6𝐸𝐼 𝐿²

−12𝐸𝐼 𝐿³

2𝐸𝐼 𝐿

−6𝐸𝐼 𝐿² 4𝐸𝐼 𝐿 6𝐸𝐼

𝐿²

6𝐸𝐼 𝐿²

−12𝐸𝐼 𝐿³ 6𝐸𝐼 𝐿² 12𝐸𝐼

𝐿³ ] {

𝛿₁ 𝛿₂ 𝛿₃ 𝛿₄

} + { 𝑆₁̅

𝑆̅₂ 𝑆̅₃ 𝑆̅₄}

𝛿₁ = 𝛿₂ = 0 𝛿₃ = 𝜃_𝐶 =− 𝑃𝐿²

672𝐸𝐼 𝛿₄ = −∆₁= −^17𝑃𝐿

3

672𝐸𝐼 𝑆̅₁ = −𝑃𝐿

8 𝑆̅₂ = −𝑃

2 𝑆̅₃ = 𝑃𝐿

8 𝑆̅₄ = 𝑃

2

𝑆₁ = 𝑀_𝐴𝐶 = (2𝐸𝐼

𝐿 × − 𝑃𝐿²

672𝐸𝐼) + (6𝐸𝐼

𝐿² × (−17𝑃𝐿³

672𝐸𝐼)) −𝑃𝐿

8 = −2𝑃𝐿

672+−102𝑃𝐿 672 −𝑃𝐿

8

= −47𝑃𝐿 168 𝑆₂= 𝐻_𝐴= (−6𝐸𝐼

𝐿^{2 × −} 𝑃𝐿²

672𝐸𝐼) + (−12𝐸𝐼 𝐿^{3 × (−}

17𝑃𝐿³

672𝐸𝐼))−𝑃 2⁼

6𝑃

672+204𝑃 672 −𝑃

2 =273𝑃 336

𝑆₃ = 𝑀_𝐶𝐴 = (4𝐸𝐼

𝐿 × − 𝑃𝐿²

672𝐸𝐼) + (6𝐸𝐼

𝐿² × (−17𝑃𝐿³

672𝐸𝐼)) +𝑃𝐿

8 = −4𝑃𝐿

672−102𝑃𝐿 672 +𝑃𝐿

8

= −11𝑃𝐿 336 𝑆4= 𝐻𝐶 = (6𝐸𝐼

𝐿^{2 × −} 𝑃𝐿²

672𝐸𝐼) + (12𝐸𝐼 𝐿^{3 × (−}

17𝑃𝐿³

672𝐸𝐼))+𝑃 2⁼

−6𝑃

672 −206𝑃 672 +𝑃

2 = −63𝑃 336

Elemen 2

{ 𝑆₁ 𝑆₂ 𝑆₃ 𝑆₄

} =

[ 4𝐸𝐼

𝐿

−6𝐸𝐼 𝐿² 2𝐸𝐼 𝐿 6𝐸𝐼

𝐿²

−6𝐸𝐼 𝐿² 12𝐸𝐼

𝐿³

−6𝐸𝐼 𝐿²

−12𝐸𝐼 𝐿³

2𝐸𝐼 𝐿

−6𝐸𝐼 𝐿² 4𝐸𝐼 𝐿 6𝐸𝐼

𝐿²

6𝐸𝐼 𝐿²

−12𝐸𝐼 𝐿³ 6𝐸𝐼 𝐿² 12𝐸𝐼

𝐿³ ] {

𝛿₁ 𝛿₂ 𝛿₃ 𝛿₄

} + { 𝑆₁̅

𝑆̅₂ 𝑆̅₃ 𝑆̅₄}

𝛿₁ = 𝜃_𝐶 = − 𝑃𝐿² 672𝐸𝐼 𝛿₃ = 𝜃_𝐷 =^13𝑃𝐿

2

672𝐸𝐼 𝛿₂ = 𝛿₄ = 0

𝑆̅₁ = 𝑆̅₂ = 𝑆̅₃ = 𝑆̅₄ = 0 𝑆₁ = 𝑀_𝐶𝐷 = (4𝐸𝐼

𝐿 × − 𝑃𝐿²

672𝐸𝐼) + (2𝐸𝐼

𝐿 ×^13𝑃𝐿

2

672𝐸𝐼) = −4𝑃𝐿

672+26𝑃𝐿

672 =22𝑃𝐿 672 𝑆₂ = 𝑉_𝐶 = (−6𝐸𝐼

𝐿^{2 × −} 𝑃𝐿²

672𝐸𝐼)+(−6𝐸𝐼

𝐿² ×^13𝑃𝐿

2

672𝐸𝐼) = 6𝑃

672−78𝑃

672 = −72𝑃 672 𝑆₃ = 𝑀_𝐷𝐶 = (2𝐸𝐼

𝐿 × − 𝑃𝐿²

672𝐸𝐼) + (4𝐸𝐼

𝐿 ×^13𝑃𝐿

2

672𝐸𝐼) = −2𝑃𝐿

672+52𝑃𝐿

672 =50𝑃𝐿 672 𝑆₂ = 𝑉_𝐷 = (6𝐸𝐼

𝐿^{2 × −} 𝑃𝐿²

672𝐸𝐼)+(6𝐸𝐼

𝐿² ×^13𝑃𝐿

2

672𝐸𝐼) = 6𝑃

672+78𝑃

672 = 72𝑃 672

Elemen 3

{ 𝑆₁ 𝑆₂ 𝑆₃ 𝑆₄

} =

[ 4𝐸𝐼

𝐿

−6𝐸𝐼 𝐿² 2𝐸𝐼 𝐿 6𝐸𝐼

𝐿²

−6𝐸𝐼 𝐿² 12𝐸𝐼

𝐿³

−6𝐸𝐼 𝐿²

−12𝐸𝐼 𝐿³

2𝐸𝐼 𝐿

−6𝐸𝐼 𝐿² 4𝐸𝐼 𝐿 6𝐸𝐼

𝐿²

6𝐸𝐼 𝐿²

−12𝐸𝐼 𝐿³ 6𝐸𝐼 𝐿² 12𝐸𝐼

𝐿³ ] {

𝛿₁ 𝛿₂ 𝛿₃ 𝛿₄

} + { 𝑆₁̅

𝑆̅₂ 𝑆̅₃ 𝑆̅₄}

𝛿₁ = 𝜃_𝐷 = ^13𝑃𝐿

2

672𝐸𝐼 𝛿₂ = ∆₁=^17𝑃𝐿

3

672𝐸𝐼 𝛿₃ = 𝛿₄ = 0

𝑆₁ = 𝑀_𝐷𝐵 = (4𝐸𝐼

𝐿 ×^13𝑃𝐿

2

672𝐸𝐼) + (−6𝐸𝐼 𝐿^{2 ×}

17𝑃𝐿³

672𝐸𝐼)= 52𝑃𝐿

672 −102𝑃𝐿

672 = −50𝑃𝐿 672 𝑆₂ = 𝐻_𝐷 = (−6𝐸𝐼

𝐿² ×^13𝑃𝐿

2

672𝐸𝐼) + (12𝐸𝐼 𝐿^{3 ×}

17𝑃𝐿³

672𝐸𝐼) = −78𝑃

672+204𝑃

672 =126𝑃 672 𝑆₃ = 𝑀_𝐵𝐷 = (2𝐸𝐼

𝐿 ×^13𝑃𝐿

2

672𝐸𝐼) + (−6𝐸𝐼 𝐿^{2 ×}

17𝑃𝐿³

672𝐸𝐼) =26𝑃𝐿

672 −102𝑃𝐿

672 = −76𝑃𝐿 672 𝑆₄ = 𝐻_𝐵 = (6𝐸𝐼

𝐿² ×^13𝑃𝐿

2

672𝐸𝐼) + (−12𝐸𝐼 𝐿^{3 ×}

17𝑃𝐿³

672𝐸𝐼)= 78𝑃

672−204𝑃

672 = −126𝑃 672 6. Diagram Free Body

7. Gambar Gaya Dalam Gaya Normal(N)

Gaya Lintang/Geser(Q)

Momen