Membantu Menjawab Pertanyaan tentang Jarak dan Padanan

(1)

TUGAS PERTEMUAN 7 GEOMETRI TRANSFORMASI

Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Transformasi yang diampu oleh : Dr. Tina Sri Sumartini, M.Pd.

Disusun Oleh :

DISUSUN OLEH:

ASTRI NUR ANGGRAENI 20516001

ATIN SUPARTINI 20516002

KELAS 3A

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS ILMU TERAPAN DAN SAINS

INSTITUT PENDIDIKAN INDONESIA GARUT

2023

(2)

O

B

C Bo

D

Tugas Pertemuan 7

1. Diketahui P(0,0),

x , y

¿^|x²+y²=4 C₁¿=¿

,

x , y

¿^|x²+y²=10 C₂¿=¿

T: C1 → C2 adalah suatu padanan yang didefinisikan: Bila x є C1 maka T(X) = X'

= PX ∩C´ ₂

a. Apabila A = (-2,0) tentukan T(A) b. Tentukan prapeta dari B(3,5)

c. Apabila Z sebarang titik pada daerah asal T, tentukan jarak ZZ' dengan Z'=T(Z)

Penyelesaian:

a.

x , y

¿^|x²+y²=4 C₁¿=¿

dan

x , y

¿^|x²+y²=10 0 C₂¿=¿

Maka jari-jari C1 adalah 2 dan jari-jari C2 adalah 10

Dapat dilihat dari gambar jika A(-2,0) maka T(A) = (-10,0)

b. Prapeta dari B (3,5)

Misalkan Bo merupakan prapeta dari B. dari gambar tersebut didapatlah segitiga BOC sebagai berikut:

O ( 0,0) , B (3,5) , C (3,0) , dan D (1,0)

(3)

Jarak OC = 3 satuan, jarak BC = 5 satuan dan jarak OD = 1 satuan Dengan menggunakan konsep kesebangunan dari

∆OBC dan ∆O BoC didapatlah:

OD

OC=OB o

OB =B o D

BC ⟺1

3=OB o

OB =B o D 5

⟺1

3=B o D

5 ⇔BoD=5 3

Sehingga nilai koordinat titik y dari Bo adalah y_Bo=5 3

Persamaan garis dengan titik koordinat O(0,0) dan B(3,5) adalah:

y−y₁

y₂−y₁= x−x₁ x₂−x₁

⇔ y−0

5−0=x−0 3−0

⇔ y 5=x

3

⇔3y=5x

⇔3y−5x=0

Untuk mencari nilai koordinat titik x dari Bo, substitusikan y_Bo=5

3 ke dalam persamaan garis tersebut, sehingga:

3y−5x=0⟺3

(

⁵3

)

⁻⁵^x⁼⁰^⟺5−5^x=0^⟺⁵^x=5^⟺^x⁼¹

∴Jadi didapatlah titik Bo=

(

^1,⁵3

)

sebagai titik prapeta dari B c. Jarak ZZ'

Misal Z = (x,y) dan T = (a,b) Maka Z' = T(Z) = (x+a , y+b)

ZZ^'=

√

^a²^+b²

∴Jadi jarak dari ZZ^'adalah

√

^a²⁺^b²^satuan

2. Diketahui C (-2,3) apabila C = Mg(C) dengan g:{(x , y)

|

^ax−3^y=1^}

berapakah nilai a.

Penyelesaian:

Karena Mg(C) = C maka C haruslah terletak pada sumbu cermin yaitu terletak pada garis g.

Untuk mencari nilai a, substitusikan x = -2 dan y = 3 pada persamaan garis g sehingga diperoleh:

ax−3y=1

(4)

⇔a(−2)−3(3)=1

⇔−2a−9=1

⇔−2a=10

⇔a=−5

∴Jadi nilai a adalah−5

3. Diketahui B' = (3, -1) berapakah B apabila k:{(x , y)

|

^x⁺^y=2^}

Penyelesaian:

k:x+y=2⟹y=−x+2⟹m=−1

Maka didapat gradien dari garis k yaitu m = -1 , sehingga garis BB' memiliki gradien 1.

Sehingga persamaan garis BB' adalah:

y=m

(

^x−^x1

)

⁺^y1

⇔y=1(x−3)−1

⇔y=x−3−1

⇔y=x−4

Selanjutnya akan dicari titik potong antara kedua garis tersebut.

Substitusikan y = x – 4 dengan x + y = 2 sehingga:

x+y=2⟺x+(x−4)=2⟺2x−4=2⟺2x=6⟺x=3 Dan substitusikan x = 3 ke y = x – 4 sehingga:

y=x−4⟺y=3−4⟺y=−1

Maka didapat titik potong antara kedua garis tersebut yaitu (3, -1) sehingga:

(3,−1)=

(

^xB2⁺³,yB−1 2

)

⟺2(3,−1)=(xB+3, yB−1)

⟺(6,−2)=(xB+3, yB−1)

Maka:xB+3=6⇔xB=3 dan yB−1=−2⟺yB=−1

∴Jadi nilaititik B adalah(3,−1)

4. Diketahui garis c:{(x , y)

|

^y−2^x−3=⁰^} dan garis d:{(x , y)

|

^y−2^x=1^} ^.

Tentukanlah persamaan garis Mc(d) dan Md(c).

Penyelesaian:

c:{(x , y)

|

^y−2^x−3=⁰^}

Ambil: x = 0 → y = 3 → (0,3)

(5)

x = 1 → y = 5 → (1,5) d:{(x , y)

|

^y−2^x=1^}

Ambil: x = 0 → y = 1 → (0,1) x = 1 → y = 3 → (1,3) (a) Mc(d):

 Ambil: A(0,1) → Mc(A) = ....?

c : y = 2x + 3 → m = 2

maka gradien untuk garis AA' adalah −1

2 sehingga persamaan garis AA' adalah:

y=m

(

^x−^x1

)

⁺^y1

⇔y=−1

2 (x−0)+1

⇔y=−1

2 x+1

⇔2y=−x+2

⇔x=−2y+2

Substitusikan x = -2y + 2 ke y = 2x + 3 sehingga:

y=2x+3⇔y=2(−2y+2)+3⇔y=−4y+4+3⇔5y=7⇔y=7 5 Dan substitusikan y=7

5 ke x = -2y + 2 sehingga:

x=−2y+2⇔x=−2

(

⁷5

)

⁺²⁼⁻¹⁴5 +2=−4 5

Maka didapat titik potong antara kedua garis tersebut yaitu

(

⁻⁴5 ,7

5

)

sehingga:

(

⁻⁴5 ,7

5

)

⁼

(

⁰⁺2^{xA '},1+y A ' 2

)

⟺2

(

⁻⁴5 ,7

5

)

⁼

(

^{x A}^'^,1+^{yA '}

)

⟺

(

⁻⁸5 ,14

5

)

⁼

(

^{x A}^'^,1+^{y A '}

)

Maka:x A^'=−8

5 dan 1+y A^'=14

5 ⟺y A^'=14

5 −1=9 5

(6)

Sehingga Mc(A) adalah

(

⁻⁸5 ,9 5

)

 Ambil: A(1,3) → Mc(B) = ....?

c : y = 2x + 3 → m = 2

maka gradien untuk garis BB' adalah −1

2 sehingga persamaan garis BB' adalah:

y=m

(

^x−^x1

)

⁺^y1

⇔y=−1

2 (x−1)+3

⇔y=−1 2 x+1

2+3

⇔2y=−x+1+6

⇔x=−2y+7

y=2x+3⇔y=2(−2y+7)+3⇔y=−4 y+1 4+3⇔5y=1 7⇔y=1 7 5 Dan substitusikan y=17

x=−2y+7⇔x=−2

(

^{1 7}5

)

⁺⁷⁼^{−3 4}5 +7=1 5

(

¹5,1 7

5

)

sehingga:

(

¹5,1 7

5

)

⁼

(

¹⁺2^{x B '},3+y B ' 2

)

⟺10

(

¹5,1 7

5

)

⁼¹⁰

(

¹⁺2^{xB '} ,3+yB ' 2

)

⟺(2,34)=

(

5+5x B^',1 5+5y B '

)

Maka:5+5x B^'=2⇔5x B^'=−3⇔x B^'=−3

5 dan 15+5y B^'=34⟺5y B^'=19⇔ y B^'=19

5 Sehingga Mc(B) adalah

(

⁻³5 ,19

5

)

(7)

Maka didapatlah Mc(A) =

(

⁻⁸5 ,9

5

)

^{dan M}^c^{(B) =}

(

⁻³5 ,19

5

)

^sehingga:

y−y₁

y₂−y₁= x−x₁ x₂−x₁

⇔ y−9

5 19

5 −9 5

= x+8

5

−3 5 +8

5

⇔ y−9

5 1 0

5

= x+8

5 5 5

⇔ y−9

5 2 =

x+8 5 1

⇔y−9

5=2x+16 5

⇔5y−9=10x+16

⇔10x−5y+25=0

⇔2x−y+5=0

∴Jadi M_c(d)adalah2x−y+5=0

(b) Md(c):

 Ambil: D(0,3) → Md(D) = ....?

d : y = 2x + 1 → m = 2

maka gradien untuk garis DD' adalah −1

2 sehingga persamaan garis DD' adalah:

y=m

(

^x−^x1

)

⁺^y1

⇔y=−1

2 (x−0)+3

⇔y=−1

2 x+3

⇔2y=−x+6

⇔x=−2y+6

(8)

x=−2y+6⇔x=−2

(

¹³5

)

⁺⁶⁼⁻²⁶5 +6=4 5

(

⁴5,13

5

)

sehingga:

(

⁴5,13

5

)

⁼

(

⁰⁺^{x D '}2 ,3+y D' 2

)

⟺10

(

⁴5,13

5

)

⁼¹⁰

(

^{x D}^'^,3⁺^{y D '}

)

⟺(8,26)=

(

5x D^',15+5y D'

)

Maka:5x D^'=8⇔x D^'=8

5 dan 15+5y D^'=26⟺5y D^'=11⇔y D^'=11 5 Sehingga Md(D) adalah

(

⁸5,11

5

)

 Ambil: E(1,5) → Md(E) = ....?

c : y = 2x + 1 → m = 2

maka gradien untuk garis EE' adalah −1

2 sehingga persamaan garis EE' adalah:

y=m

(

^x−^x1

)

⁺^y1

⇔y=−1

2 (x−1)+5

⇔y=−1 2 x+1

2+5

⇔y=−1 2 x+11

2

⇔2y=−x+11

⇔x=−2y+11

(9)

x=−2y+11⇔x=−2

(

²³5

)

⁺¹¹⁼⁻⁴⁶5 +11=9 5

(

⁹5,23

5

)

sehingga:

(

⁹5,23

5

)

⁼

(

¹⁺2^{x E '},5+y E ' 2

)

⟺10

(

⁹5,23

5

)

⁼¹⁰

(

¹⁺^{x E '}2 ,5+y E' 2

)

⟺(18,46)=

(

5+5x E^',2 5+5y E '

)

Maka:5+5x E^'=18⇔5x E^'=1 3⇔x E^'=1 3

5 dan 25+5y E^'=46⟺5y E^'=21⇔y E^'=21

5 Sehingga Mc(B) adalah

(

¹³5 ,21

5

)

Maka didapatlah Md(D) =

(

⁸5,11

5

)

^{dan M}^d^{(E) =}

(

¹³5 ,21

5

)

^sehingga:

y−y₁

y₂−y₁= x−x₁ x₂−x₁

⇔

y−11 5 21

5 −11 5

= x−8

5 13

5 −8 5

⇔ y−11

5 10

5

= x−8

5 5 5

⇔ y−11

5

2 =

x−8 5 1

⇔y−11

5=2x−16 5

⇔5y−11=10x−16

(10)

⇔10x−5y−5=0

⇔2x−y−1=0

∴Jadi M_d(c)adalah2x−y−1=0

5. Jika a:

{

⁽^{x , y}⁾

|

^y⁼^x

}

dan b:{(x , y)

|

³^y=^x^} . Selidikilah apakah titik A(-2,5) terletak garis Ma(b).

Penyelesaian:

a:

{

⁽^{x , y}⁾

|

^y⁼^x

}

Ambil: x = 0 → y = 0 → (0,0) x = 1 → y = 1 → (1,1) b:{(x , y)

|

³^y=^x^}

Ambil: x = 0 → y = 0 → (0,0) x = 3 → y = 1 → (3,1) Ma(b) = ....

Ambil: O (0,0) → Ma(O) = (0,0) B (3,1) → Ma(B) = ...

a : y = x → m = 1

Maka didapat gradien dari garis a yaitu m = 1 , sehingga garis BB' memiliki gradien – 1.

Sehingga persamaan garis BB' adalah:

y=m

(

^x−^x1

)

⁺^y1

⇔y=−1(x−3)+1

⇔y=−x+3+1

⇔y=−x+4

Substitusikan y = - x + 4 ke y = x sehingga:

y=x⇔−x+4=x⇔2x=4⇔x=2 Dan substitusikan x = 2 ke y = x sehingga:

y=x⇔y=2

Maka didapat titik potong antara kedua garis tersebut yaitu (2,2) sehingga:

(2,2)=

(

³⁺2^{xB '},1+yB ' 2

)

⟺2(2,2)=

(

3+x B^',1+yB '

)

(11)

⟺(4,4)=

(

3+x B^',1+yB '

)

Maka:3+x B^'=4⇔xB '=1 dan 1+y B^'=4⟺y B^'=3 Sehingga Ma(B) adalah (1,3)

Maka didapatlah Ma(O) = (0,0) dan Ma(B) = (1,3) sehingga:

y−y₁

y₂−y₁= x−x₁ x₂−x₁

⇔ y−0

3−0=x−0 1−0

⇔ y 3=x

1

⇔y=3x

⇔y−3x=0

Maka Ma(b) adalah y – 3x = 0

Untuk mengetahui keberadaan titik A(-2,5) terhadap garis Ma(b) maka dilakukan substitusi nilai x = -2 dan y = 5 ke persamaan garis Ma(b) sebagai berikut:

y−3x⟺5−3(−2)=5+6=11 karena hasilnya tidak sama dengan nol maka A tidak terletak di garis Ma(b).

∴Jadi titik A(−2,5)tidak terletak di garis M a(b)