Tutorial 3 ANALISIS REAL

(1)

Real Analysis – Compiled by : Khaeroni, S.Si ______________________________________________________________________1

T T u u t t o o r r i i a a l l # # 3 3

R R e e a a l l A A n n a a l l y y s s i i s s

Khaeroni, S.Si

Lisensi Dokumen:

Copyleft on khaeroni.wordpress.com

Seluruh dokumen di khaeroni.wordpress.com dapat digunakan, dimodifikasi dan disebarkan secara bebas untuk tujuan bukan komersial (nonprofit) atau akademis (kenaikan pangkat, sertifikasi, dan sebagainya). Dibolehkan melakukan penulisan ulang, dengan tanpa mendapatkan ijin terlebih dahulu dari khaeroni.wordpress.com.

Karena sifatnya bukan referensi, maka diperkenankan juga untuk tidak menyertakan link dari dokumen ini. Penulis tidak bertanggung jawab atas segala ketersesatan yang ditimbulkan oleh penggunaan dokumen ini.

∀a, b, c ∈ X

• R relasi ekuivalen, jika :

- Transitif, yaitu : a R b dan b R c ⇒ a R c - Simetri, yaitu : a R b ⇒ b R a

- Refleksi, yaitu : a R a

• R relasi urutan parsial (≺), jika :

- Antisimetri, yaitu : a R b dan b R a ⇒ a = b - Transitif

• ≺ relasi urutan linear, jika : a b≺ atau b≺a

Jika ≺ relasi urutan linear pada X maka X disebut himpunan yang terurut linear (terhadap relasi ≺) 1. Berikan contoh himpunan yang terurut linear.

Jawab:

, , , dan adalah himpunan-himpunan terurut linear terhadap relasi <

2. Misal relasi R pada didefinisikan sebagai berikut

x R y ⇔ x + y = bilangan ganjil Periksa apakah:

a) R relasi ekuivalen?

b) R relasi urutan parsial?

Jawab:

a) R bukan relasi ekuivalen sebab R tidak simetri. Contoh 1 R 1 karena 1 + 1 bukan bilangan ganjil

b) Diambil sebarang a, b, c ∈ dengan a R b dan b R c. Karena a R b ⇔ a + b = 2k – 1, k ∈ …..… (*)

b R c ⇔ b + c = 2l – 1, l ∈ ……….. (**) Dari (*) dan (**) diperoleh

(2)

2 2 2 2

2( 1)

bilangan genap R

a c b k l

b k l a c

+ = − + + −

= − + + −

=

⇔

Jadi, R tidak transitif. Oleh karena itu R bukan relasi urutan parsial.

Misal A = ×

Definisikan relasi R pada A sebagai berikut

, R ,

a b c d a d b c

< > < > ⇔ + = +

3. Buktikan bahwa R relasi ekuivalen pada A Bukti :

Diambil sebarang <a, b>, <c, d>, dan <e, f> ∈ A.

a) Akan dibuktikan R transitif

Misal <a, b>R<c, d> dan <c, d>R<e, f>. Akan dibuktikan <a, b>R<e, f> atau dibuktikan a + f = b + e.

Karena <a, b>R<c, d> maka a + d = b + c ……. (*) Karena <c, d>R<e, f> maka c + f = d + e …….. (**)

Dari (*) dan (**) diperoleh a + d + c + f = b + c + d + e atau a + f = b + e.

Jadi terbukti R transitif b) Akan dibuktikan R simetri

Misal <a, b>R<c, d>. Akan dibuktikan <c, d>R<a, b> atau dibuktikan c + b = d + a Karena <a, b>R<c, d> maka a + d = b + c ⇔ d + a = c + b ⇔ c + b = d + a Jadi terbukti R simetri

c) Akan dibuktikan R refleksi, yaitu _<a,_b>R_<a,_b>. Karena a + b = b + a maka sesuai definisi R diperoleh <a, b>R<a, b>

Jadi terbukti R refleksi

Karena terbukti R transitif, simetri, dan refleksi maka terbukti R relasi ekuivalen.

4. Didefinisikan operasi + pada A sebagai berikut

<a, b> + <c, d> = <a + c, b + d>

Jika <a, b>R<a’, b’> dan <c, d>R<c’,d’> maka buktikan _{a b}_, ₊_{c d}_, R _{a b}_{', '}₊_{c d}_{', '} Bukti :

, ', '

R ' '

a b a b

c d c d

a b b a c d d c

⇔ + = +

⇔ + = + Diperoleh,

' ' ' '

( ) ( ' ') ( ) ( ' ')

a b c d b a d c

a c b d b d a c

+ + + = + + + + + + = + + + Jadi, menurut definisi R dan operasi + pada A, diperoleh

, R ' ', ' ' , , R ', ' ', '

a c b d+ + a c b d+ + ⇔ a b+c d a b +c d

5. Misalkan F relasi urutan parsial pada A. Relasi R didefinisikan sebagai berikut:

x R y ⇔ y F x Buktikan R relasi urutan parsial pada A.

Bukti:

Pertama, dibuktikan R antisimetris

Diambil sebarang x, y ∈ A. Misalkan x R y dan y R x. Akan dibuktikan x = y.

Karena

x R y ⇔ y F x dan

y R x ⇔ x F y

(3)

Karena F urutan parsial maka F antisimetri. Karena y F x dan y F x, dan F antisimetri maka y = x.

Jadi terbukti R antisimetri Kedua, dibuktikan R transitif.

Diambil sebarang x, y, z ∈ A. Misalkan x R y dan y R z. Akan dibuktikan x R z.

Karena

x R y ⇔ y F x dan

y R z ⇔ z F y

Karena F urutan parsial maka F transitif. Karena y F x dan z F y, dan F transitif maka z F x. Karena z F x, sesuai dengan definisi R maka x R z.

Jadi terbukti R transitif

Karena terbukti R antisimetri dan transitif maka terbukti R relasi urutan parsial pada A.

6. Misalkan X himpunan dengan operasi/fungsi

P : X ^x X → X dengan aturan

P(x, y) = xy dan memenuhi

(i) x(yz) = (xy)z (ii) xy = yx (iii) xx = x

Didefinisikan relasi R pada X sebagai berikut

x R y ⇔ xy = y Buktikan R relasi urutan parsial pada X

Bukti:

Pertama, dibuktikan R antisimetri

Diambil sebarang x, y ∈ X. Misalkan x R y dan y R x. Akan dibuktikan x = y Karena

x R y ⇔ xy = y dan

y R x ⇔ yx = x Karena xy = y dan yx = x, maka

yx x= ⇔xy= ⇔y yx = ⇔ =y x y Jadi terbukti R antisimetri

Kedua, dibuktikan R transitif

Diambil sebarang x, y, z ∈ X. Misalkan x R y dan y R z. Akan dibuktikan x R z atau dibuktikan bahwa xz = z.

Karena

x R y ⇔ xy = y dan

y R z ⇔ yz = z Karena xy = y dan yz = z, maka

( ) ( )

yz z xy z z x yz z xz z

=

= Jadi terbukti R transitif

Karena terbukti R antisimetri dan transitif, maka terbukti R relasi urutan parsial.

0 0

. .

sup( ) ( ) , ( ) 0,

a A i a x x A

ii ε x A x a ε

= ⇔ ≥ ∀ ∈

∀ > ∃ ∈ ∋ > −

(4)

7. Misalkan A⊂ , A ≠ ∅. A terbatas dan didefinisikan sA = {sa | a ∈ A}

Buktikan

a) Jika s > 0 maka sup(sA) = s.sup(A) b) Jika s < 0 maka sup(sA) = s.inf(A) Bukti:

a) Misal a = sup(A). Untuk s > 0 akan dibuktikan sup(sA) = sa.

0 0

. .

sup( ) ( ) ,

( ) 0, _s

a A i a x x A

ii ε x A x a ^ε

= ⇔ ≥ ∀ ∈

∀ > ∃ ∈ ∋ > − Karena s > 0, dari (i) dan (ii) diperoleh

sa ≥ sx atau sa ≥ t, ∀t = sx ∈ sA ………. .. (*) dan,

0 0 0

0, t sx sA t sa

ε ε

∀ > ∃ = ∈ ∋ > − ……….. (**) Dari (*) dan (**) terlihat sa = sup(sA).

b) Misal b = inf(A). Untuk s < 0 akan dibuktikan sup(sA) = sb

0 0 ( )

inf( ) ( ) , .

.

( ) 0, _s

b A i x b x A

ii ε x A x b ₋^ε

= ⇔ ≥ ∀ ∈

∀ > ∃ ∈ ∋ < + Karena s < 0, dari (i) dan (ii) diperoleh

sb ≥ sx atau sb ≥ t, ∀t = sx ∈ sA ………. .. (*) dan,

0 0 0

0, t sx sA t sb

ε ε

∀ > ∃ = ∈ ∋ > − ……….. (**) Dari (*) dan (**) terlihat sb = sup(sA).