V. BALOK KANTILEVER - Spada UNS

V. BALOK KANTILEVER

Kompetensi Dasar dan Indikator

Kompetensi Dasar : Menghitung gaya-gaya dalam pada konstruksi batang statis tertentu

Indikator : - Menghitung besarnya semua jenis reaksi di tiap tumpuan dengan berbagai jenis pembebanan pada balok kantilever

- Menghitung besarnya gaya-gaya dalam pada struktur batang statis tertentu dengan berbagai jenis pembebanan pada balok kantilever

- Menggambarkan diagramnya di seluruh bagian struktur batang statis tertentu dengan berbagai jenis pembebanan pada balok kantilever

Deskripsi Singkat

Bab ini berisi tentang perhitungan dan penggambaran diagram gaya-gaya dalam pada balok kantilever, yaitu balok yang ditumpu dengan tumpuan jepit pada salah satu ujungnya, sedangkan ujung yang satunya bebas tanpa tumpuan.

Materi

A. Pendahuluan

Balok kantilever atau balok konsol adalah suatu konstruksi balok yang hanya ditumpu pada salah satu ujungnya dengan tumpuan jepit, sedangkan ujung yang satunya bebas tanpa tumpuan. Karena hanya ada satu tumpuan, maka reaksi juga hanya akan terjadi pada titik tumpu tersebut. Sudah dijelaskan pada bab terdahulu, reaksi yang terjadi pada

tumpuan jepit ada tiga yaitu reaksi vertikal Rv, reaksi horizontal Rh, dan momen M.

Perhitungan gaya-gaya dalam pada balok kantilever dilakukan dengan menggunakan persamaan-persamaan kesetimbangan, sama seperti pada balok sederhana. Bentuk diagram gaya normal, diagram gaya geser, serta diagram momen mengikuti ketentuan yang sama dengan ketentuan pada balok sederhana. Yang perlu diperhatikan pada konstruksi kantilever adalah:

- Momen pada ujung bebas selalu bernilai nol (0) - Momen maksimum terjadi di ujung tumpuan jepit - Momen yang terjadi berupa momen negatif B. Balok kantilever dengan beban terpusat di ujung bebas

Gambar 110. Balok Kantilever dengan Beban Terpusat

Konstruksi ini digambarkan dengan batang AB yang dijepit pada ujung A dan ujung B bebas (gambar 110). Pada ujung B terdapat beban berarah ke bawah berupa gaya P. Akibat dari gaya P, maka batang AB akan melengkung ke bawah (garis putus-putus). Karena di ujung A berupa tumpuan jepit, maka pada tumpuan A akan memberikan reaksi vertikal ke atas sebesar gaya P sesuai dengan hukum aksi sama dengan reaksi. Jadi, reaksi di A = RA_V = P. Dengan demikian, RA_V – P = 0. Ini sesuai dengan persamaan kesetimbangan yang menyatakan bahwa jumlah gaya vertikal sama dengan nol ( ΣFV = 0 ).

Kemungkinan yang lain adalah batang akan melengkung karena adanya momen gaya pada jepitan sebesar P.L. Agar terjadi kesetim- bangan dan batang tetap dalam keadaan lurus, maka pada batang harus ada momen reaksi yang besarnya sama dengan momen luar yang terjadi akibat pembebanan gaya P.

Contoh kasus pada gambar 111 berikut.

RAv

P

A B

Gambar 111. Contoh Kasus Balok Kantilever dengan Beban Terpusat Penyelesaian:

Mencari reaksi vertikal di tumpuan jepit A:

RAV = P

= 5 T

Mencari besarnya Momen reaksi di tumpuan jepit A:

MA = - ( P . L ) = - (5 . 3) = -15 T.m.

Menghitung gaya geser pada tiap titik penampang:

DA = RAV = 5 T

D_B = D_A – P = 5 – 5 = 0 T

Gambar SFD dan BMD dari balok kantilever tersebut adalah sebagai berikut.

Gambar 112. Diagram benda bebas dan diagram gaya-gaya dalam Balok Kantilever dengan Beban Terpusat

P=5 T

A B

L = 3m

C. Balok kantilever dengan beberapa beban terpusat

Pada balok kantilever dengan beberapa beban terpusat, pada tumpuan jepit A akan memberikan reaksi vertikal ke atas sebesar jumlah dari keseluruhan gaya vertikal yang bekerja sepanjang balok kantilever.

Jadi, reaksi vertikal di jepitan A = RA_V = ΣP. Dengan demikian, RA_V – ΣP = 0. Ini sesuai dengan persamaan kesetimbangan yang

menyatakan bahwa jumlah gaya vertikal sama dengan nol ( ΣFV = 0 ).

Selain reaksi vertikal, pada tumpuan jepit akan terjadi momen reaksi, jumlah momen reaksi dan momen luar harus sama dengan nol.

Momen reaksi + momen luar = 0

Nilai momen reaksi berkebalikan tanda dengan momen luar.

Besarnya momen luar adalah sama dengan momen statis, yaitu jumlah perkalian masing-masing gaya dengan jaraknya ke tumpuan jepit.

Besarnya momen reaksi sama dengan besarnya reaksi di tumpuan dikalikan dengan jarak dari tumpuan (jepitan) ke garis kerja resultan gaya-gaya tersebut.

Contoh kasus pada gambar 113 berikut.

Gambar 113. Contoh kasus Balok Kantilever dengan beberapa beban terpusat Penyelesaian:

Mencari reaksi vertikal di tumpuan jepit A:

RA_V = ΣP

= P1 + P2 + P3

= 3 + 2 + 1

= 6 T

Mencari besarnya momen reaksi di tumpuan jepit A:

Momen reaksi ( momen jepit ) = - momen luar

MA = - Σ (P . L)

= - (P1 . l _CA + P2 . l _DA + P3 . l _BA)

= - (3 . 3 + 2 . 2 + 1 . 1)

= - 14 T.m.

Menghitung gaya geser pada tiap titik penampang:

D_A = RA_V = 6 T

D_C = D_A – P3 = 6 – 1 = 5 T D_D = D_C – P2 = 5 – 2 = 3 T D_B = D_D – P1 = 3 – 3 = 0 T

Gaya geser maksimum terletak di titik A, yaitu sebesar 6 T.

Menghitung momen pada tiap titik penampang:

MA = - 14 T.m.

MB = 0 ( ujung bebas ) MC = - (P1. l CB + P2 . l CD)

= - ( 3 . 2 + 2 . 1) = -8 T.m.

M_D = - (P1. l _DB ) = - ( 3 . 1) M_D = -6 T.m.

Momen negatif maksimum terletak di titik A, yaitu sebesar -14 Tm.

Gambar SFD dan BMD dari balok kantilever tersebut adalah sebagai berikut.

Gambar 114. Diagram Benda Bebas dan Diagram Gaya-gaya dalam Balok Kantilever dengan Beban Terpusat

D. Balok kantilever dengan beban merata

Beban merata q yang bekerja di sepanjang bentang balok mempunyai resultan gaya sebesar q.L yang akan bekerja pada pusat berat balok. Untuk balok resultannya terletak di tengah-tengah bentang atau sejauh ½ L dari tumpuan A. Gaya resultan untuk beban merata biasanya disingkat dengan huruf Q. Q = q.L. Besarnya reaksi vertikal tumpuan di A adalah RAv = Q = q.L.

Gaya geser di tumpuan jepit A sebesar reaksi di A, sedangkan karena tumpuan hanya ada di titik A, maka reaksi di A besarnya sama dengan berat beban merata seluruhnya q.L, sehingga:

DA = RAv = q.L.

Bila ditinjau tengah bentang di titik C yang jarakNya ½L dari A, maka besarnya gaya geser di titik C adalah:

D_C = RAv – q. ½L _AB

= q.L – q. ½LAB DC = ½. q.L.

Gaya geser pada penampang di titik yang jaraknya x dari ujung bebas B adalah:

DX = qx

Dari persamaan di atas, harga D maksimum akan diperoleh bila x = L atau di titik tumpuan A

D_A = q.L

Harga D minimum diperoleh bila x = 0 atau di titik ujung bebas B D_B = q . 0

D_B = 0

Diagram gaya geser berupa garis lurus.

Besarnya momen semakin menjauhi jepitan akan semakin kecil dan bahkan di ujung batang sampai nol. Garis momen yang terbentuk adalah garis lengkung atau bidang momen berbentuk parabola dengan harga maksimum di tumpuan A dan harga minimum di B. Dalam konstruksi kantilever, momen maksimum berharga negatif sama dengan momen minimum.

Pada kantilever dengan beban merata, momen pada penampang di titik yang jaraknya x dari ujung bebas B adalah:

MX = – q . x . 2 x

= 2

.x²

q

Dari persamaan di atas, harga M maksimum akan diperoleh bila x

= L atau di titik tumpuan A

2 .x² MAq

Untuk x = L,

2 .L² MAq

Harga D minimum diperoleh bila x = 0 atau dititik ujung bebas B

2 .x² MBq

Untuk x = 0

2 0 . ² MBq

MB = 0

Contoh kasus seperti pada gambar 115 berikut.

Gambar 115. Contoh Kasus Balok Kantilever dengan Beban Merata Penyelesaian:

Mencari reaksi vertikal di tumpuan jepit A:

RA_V = Q = q. L

= 5 . 1,5

= 7,5 T

Mencari besarnya momen reaksi di tumpuan jepit A:

Momen reaksi ( momen jepit ) = - momen luar

2 .L² MAq

= 2

) 5 , 1 .(

5 ²



= - 5,625 T.m.

Menghitung gaya geser pada titik penampang ujung dan tengah bentang:

D_A = RA_V = 7,5 T

D_C = ½. q.L = ½ . 5 . 1,5 = 3,75 T D_B = 0 T

Gaya geser maksimum terletak di titik A, yaitu sebesar 7,5 T.

1,5 m

B A

5 T/m

1,5 mC

B A

5 T/m

C

Menghitung momen pada titik penampang ujung dan tengah bentang:

MA = - 5,625 T.m.

M_B = 0 ( ujung bebas )

2 .x² MC q

= 2

) 75 , 0 .(

5 ²



= -1,4 T.m.

Momen negatif maksimum terletak di titik A, yaitu sebesar -5,625 Tm.

Gambar SFD dan BMD dari balok kantilever tersebut adalah sebagai berikut.

Gambar 116. Diagram benda bebas dan diagram gaya- gaya dalam Balok Kantilever dengan Beban Merata

E. Balok kantilever dengan beban horizontal

Selain bentuk-bentuk beban seperti tersebut di atas, suatu balok kantilever juga mungkin dikenai beban horizontal. Misalnya, yang terjadi pada konstruksi jembatan gelagar. Bahu jembatan di sisi kanan dan sisi kiri jembatan yang berfungsi sebagai trotoar biasanya berupa konstruksi kantilever. Di ujung sisi terluar bahu jembatan tersebut diberi pagar

pengaman. Gaya dari pagar ke tumpuan jepit akan berarah horizontal (gambar 117).

Gambar 117. Kantilever dengan beban horizontal pada jembatan Contoh kasus seperti pada gambar 118 berikut.

Gambar 118. Contoh Kasus Kantilever dengan beban horizontal Penyelesaian:

Mencari reaksi vertikal di tumpuan jepit A:

RAV = Pv = 0 T

Mencari reaksi horizontal di tumpuan jepit A:

RAH = PH = 1 T

Mencari besarnya Momen reaksi di tumpuan jepit A:

MA = - ( PH . h ) = - (1 . 0,9) = -0,9 T.m.

P^H = 1 T

A B

0,9 m

1,5 m

PH

h

Menghitung gaya geser:

D_A = RA_V = 0 T

DB = 0 T (pada arah horizontal) D_B = P_H = 1 T (pada arah vertikal) Menghitung gaya normal:

N_A = RA_H = 1 T

N_B = 1 T (pada arah horisontal) N_B = 0 T (pada arah vertikal)

Gambar SFD, NFD dan BMD dari balok kantilever tersebut adalah sebagai berikut.

Gambar 119. Diagram benda bebas dan diagram gaya-gaya dalam Kantilever dengan beban horizontal

Daftar Bacaan Tambahan

Bambang Sulistyo Budhi. 2003. Pedoman Perkuliahan Mekanika Teknik I. Surakarta: PUSBANGJARI UNS

Frick Heinz. 1979. Mekanika Teknik 1. Yogyakarta: Kanisius

Khurmi,R.S. 1977. Strength of materials. New Delhi: S. Chand &

Company LTD

Nielsen Stuart, S. 1997. Introductory Structural Analysis. Nieko Technical Publishing

Todd J.D. 1984. Teori dan Analisis Struktur. Erlangga: Jakarta

Pertanyaan Kunci

Sebutkan persamaan kesetimbangan yang digunakan untuk menghitung reaksi tumpuan pada balok kantilever!

Soal

Hitung dan gambarkan diagram gaya-gaya dalam dari balok kantilever berikut ini!

2 m

B A

q= 2 T/m

P= 5 T

Tugas

Hitung dan gambarkan diagram gaya-gaya dalam dari balok kantilever berikut ini!

2 m

B A

q= 1 T/m

PH= 2 T

P1= 2 T P2= 2 T P3= 2 T