4/7/2015 روش ﺣﺪاﻗﻞ ﻣﺮﺑﻌﺎت : اي ﺑﺮازش ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي ﺑﺮازش ﭼﻨﺪ ﺟﻤ 1

(1)

1

Advanced Numerical Methods 106

ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ شزاﺮﺑ يا

: تﺎﻌﺑﺮﻣ ﻞﻗاﺪﺣ شور

ﯽﻌﻗاو راﺪﻘﻣ هﺪﻧﺎﻣ ﯽﻗﺎﺑ ﺎﯾ ﺎﻄﺧ راﺪﻘﻣ

ﯽﺒﯾﺮﻘﺗ راﺪﻘﻣ

ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ شزاﺮﺑ يا

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﺐﯾاﺮﺿ ﺮﯾدﺎﻘﻣ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻦﯾا ﻪﺑ ،لﻮﻬﺠﻣ ﻪﺳ و ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻪﺳ ﯽﻣ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ يا

دﻮﺷ .

ﯽﻣ ار شور ﻦﯾا ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﻪﺑ ناﻮﺗ

يا ﻪﺒﺗﺮﻣ يﺎﻫ داد ﻂﺴﺑ ﻢﻫm

.

Standard Error of Estimate:

(2)

2

لﺎﺜﻣ : ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﻪﺟرد يا

2

ﮏﯾ  ﺪﻨﭼ ﻪﻠﻤﺟ يا ﻪﺟرد 2 ﺮﺑ يﺎﻫ هداد ﺮﯾز شزاﺮﺑ ﺪﯿﻨﮐ .

2

(3)

3

2

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ يا

Interpolating Polynomials

(4)

4

ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ يا

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ زا اﺮﭼ ﯽﻣ هدﺎﻔﺘﺳا يا

؟دﻮﺷ

-

؟دﻮﺷ ﺖﯾﺎﻋر ﺪﯾﺎﺑ ندﺮﮐ ﺐﯾﺮﻘﺗ رد ﯽﺗﺎﮑﻧ ﻪﭼ ﻪﺟرد يا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ

1 2 ﻪﺟرد يا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ 3 ﻪﺟرد يا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ

ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ يا

فﺪﻫ  ﻦﯿﻤﺨﺗ راﺪﻘﻣ ﻊﺑﺎﺗ رد طﺎﻘﻧ ﯽﻧﺎﯿﻣ ) و ﯽﻫﺎﮔ جرﺎﺧ زا ﻪﻠﺻﺎﻓ ( ﻦﯿﺑ طﺎﻘﻧ

هداد .ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣهﺪﺷ

ﻦﯾﺮﺗ لﻮﻤﻌﻣ 

،شور هدﺎﻔﺘﺳا زا

ﺪﻨﭼ يا ﻪﻠﻤﺟ ترﻮﺻ ﻪﺑ

ﺮﯾز ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ :

ﻪﭼﺮﮔا  ﻂﻘﻓ و ﻂﻘﻓ ﮏﯾ ﺪﻨﭼ يا ﻪﻠﻤﺟ ﻪﺒﺗﺮﻣ

ياﺮﺑ n نﺪﻧارﺬﮔ زا

ﻪﻄﻘﻧ n+1

دﻮﺟو

،دراد ﺎﻣا يﺎﻫ هار ﯽﺿﺎﯾر ﯽﻋﻮﻨﺘﻣ ياﺮﺑ

نﺪﯿﺳر ﻪﺑ

نآ و ﻞﮑﺷ نﺎﯿﺑ نآ

.دراددﻮﺟو

يﺎﻫ شور  ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ

:

شور نﻮﺗﻮﯿﻧ

شور ﮋﻧاﺮﮔﻻ

شور Spline

(5)

5

هﺪﺷ ﻢﯿﺴﻘﺗ فﻼﺘﺧا يا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ ﯽﺑﺎﯿﻧورد )

Divided Difference (

نﻮﺗﻮﯿﻧ

ﯽﻄﺧ ﯽﺑﺎﯾ نورد )

Linear Interpolation (

ﻂﺧ ﺐﯿﺷ

ﯽﻄﺧ ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ زا ﯽﻟﺎﺜﻣ

ﻢﺘﯾرﺎﮕﻟ ﯽﻌﯿﺒﻃ 2 ار ﺎﺑ هدﺎﻔﺘﺳا زا ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ ﯽﻄﺧ

ﻦﯿﻤﺨﺗ ﺪﯿﻧﺰﺑ . رد اﺪﺘﺑا ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ

ار ln2ﻖﯿﻗد راﺪﻘﻣ. ﺪﯿﻫد مﺎﺠﻧا 4 و1 طﺎﻘﻧ ﻦﯿﺑ مود ﻪﻠﺣﺮﻣ رد و 6 و1 طﺎﻘﻧ ﻦﯿﺑ ﺮﺑاﺮﺑ

0.6931472 ﺖﺳا

.

(6)

6

ود ﻪﺟرد ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ )

Quadratic Interpolation (

؟ﺪﻨﺘﺴﻫ توﺎﻔﺘﻣ ﻢﻫ ﺎﺑ ﻪﻄﺑار ود ﻦﯾا ﺎﯾآ

لﺎﺜﻣ

:

ﯽﻄﺧ و ود ﻪﺟرد ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ

(7)

7

ود ﻪﺟرد ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ )

Quadratic Interpolation (

ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ار يﺰﯿﭼ ﻪﭼ ﯽﯾﺎﻬﻨﺗ ﻪﺑ لوا ﻪﻠﻤﺟ ود

؟ﺪﻫد

دوﺪﺤﻣ ﻞﺿﺎﻔﺗ ﺐﯾﺮﻘﺗ لوا ﻖﺘﺸﻣ

دوﺪﺤﻣ ﻞﺿﺎﻔﺗ ﺐﯾﺮﻘﺗ مود ﻖﺘﺸﻣ

] x , x ,..., x

, x [ f b

] x , x , x [ f b

] x , x [ f b

) x ( f b

) x x )...(

x x )(

x x ( b

...

) x x )(

x x ( b ) x x ( b b ) x ( f

0 1 1

n n n

0 1 2 2

0 1 1

0 0

1 n 1

0 n

1 0

2 0

1 0 n





















ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﯽﻠﮐ مﺮﻓ ﻦﺗﻮﯿﻧ يا

)

Newton’s Interpolating Polynomials

(

ياﺮﺑ ﻞﯿﮑﺸﺗ ﮏﯾ ﺪﻨﭼ يا ﻪﻠﻤﺟ ﻪﺒﺗﺮﻣ ﻪﺑ n

ﻪﻄﻘﻧ n+1 زﺎﯿﻧ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ . ﻞﮑﺷ ﯽﻠﮐ ﺪﻨﭼ

:ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣﺮﯾزترﻮﺻ ﻪﺑيا ﻪﻠﻤﺟ

First Divided Difference Second Divided Difference

nth Divided Difference

(8)

8

)

(

 

i j

i

j

x x

x f x x f

x

f 

 ( )  ( ) ,

     

i k

i j j

k i

j

k

x x

x x f x x x f

x x

f 

 ,  ,

, ,

     

0

0 2 1 1

1 0

1 1

,..., ,

,..., , ,

,...,

, x x

x x

x f x x

x x f

x x

x f

n

n n n

n n

n





^



^ ^



نﻮﺗﻮﯿﻧ دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ يا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ :

)

(

ﯽﻟوﺪﺟ ﻞﮑﺷ Finite Divided Difference

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﻞﮑﺷ ﻦﯾا

؟دراد يزرﺎﺑ ﯽﮔﮋﯾو ﻪﭼ يا

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ رد ﺮﯿﺴﻣ ﺎﯾآ

؟دراد ﺮﯿﺛﺎﺗ ﯽﯾﺎﻬﻧ يا

نﺎﺸﻧ ﺪﯿﻫد



xj xi



f



xi xj



:

f ,  ,

 xk xj xi f  xi xj xk f  xk xi xj f  xj xk xi

f , ,  , ,  , ,  , ,

(9)

9

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﻦﺗﻮﯿﻧ يا

: لﺎﺜﻣ

ﻢﺘﯾرﺎﮕﻟ ﯽﻌﯿﺒﻃ 2 ار ﺎﺑ هدﺎﻔﺘﺳا زا ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ ﺪﻨﭼ

يا ﻪﻠﻤﺟ ﻦﯿﻤﺨﺗ

ﺪﯿﻧﺰﺑ . زا طﺎﻘﻧ

x₀=1

، x₁=4

، x₂=6 و x₃=5 ياﺮﺑ ﺖﺳد ﻪﺑ ندروآ ﮏﯾ ﺪﻨﭼ يا ﻪﻠﻤﺟ رد ﻪﺟ 3 هدﺎﻔﺘﺳا

ﺪﯿﻨﮐ .

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﻦﺗﻮﯿﻧ يا

: لﺎﺜﻣ ﻪﻣادا

ln2=0.6931472 (ﻖﯿﻗد راﺪﻘﻣ) f₁(2)=0.4620981

f₂(2)=0.5658444 f₃(2)=0.6287686

(10)

10

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ يﺎﻄﺧ ﻦﺗﻮﯿﻧ يا

هﺪﻫﺎﺸﻣ ﯽﻣ دﻮﺷ ﻪﮐ ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ يا

ﻦﺗﻮﯿﻧ رﺎﯿﺴﺑ ﻪﯿﺒﺷ ﻂﺴﺑ رﻮﻠﯿﺗ ﺖﺳا . راﺪﻘﻣ يﺎﻄﺧ ﻊﻄﻗ رد

:دﻮﺷﯽﻣﻒﯾﺮﻌﺗﺮﯾزترﻮﺻﻪﺑرﻮﻠﯿﺗﻂﺴﺑ

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ياﺮﺑ ار يژﻮﻟﺎﻧآ ﻦﯾا ﻪﺑﺎﺸﻣ ﻪﺒﺗﺮﻣ يا

ﯽﻣ لﺎﻤﻋا ،ﻦﺗﻮﯿﻧn ﻢﯿﻨﮐ

:

ﻊﺑﺎﺗ ﻪﮐ ﺖﺳا مزﻻ ﻪﻄﺑار ﻦﯾا زا هدﺎﻔﺘﺳا ياﺮﺑ ﺪﺷﺎﺑ مﻮﻠﻌﻣf

. ﻦﯾا ﻞﺋﺎﺴﻣ زا يرﺎﯿﺴﺑ رد ﺎﻣا

ﺖﺴﯿﻧ ﺺﺨﺸﻣ ﻊﺑﺎﺗ .

؟دﺮﮐ ﺪﯾﺎﺑ ﻪﭼ لﺎﺣ

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ يﺎﻄﺧ ﻦﺗﻮﯿﻧ يا

ﻪﻠﻤﺟ ﻊﻗاو رد ﻪﻠﻤﺟ ﻦﯾا )

(n+1 ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ما ﺖﺳا يا

. ﯽﮑﻤﮐ ﻪﻄﻘﻧ ﻪﮐ ﯽﺗرﻮﺻ رد ﺲﭘ

نﺎﮑﻣا ﺎﻄﺧ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ،ﺪﺷﺎﺑ سﺮﺘﺳد ردn+1 ﺖﺳا ﺮﯾﺬﭘ

.

ﺮﺑ ﻦﯾا سﺎﺳا ﯽﻣ ناﻮﺗ ﻪﺠﯿﺘﻧ ﺖﻓﺮﮔ ﻪﮐ يﺎﻄﺧ ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ ﻦﺗﻮﯿﻧ

ﻪﺒﺗﺮﻣ ردn ﻊﻗاو فﻼﺘﺧا

ﻦﯿﺑ راﺪﻘﻣ ﺶﯿﭘ ﯽﻨﯿﺑ هﺪﺷ ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ ﻪﺒﺗﺮﻣ وn+1 ﻪﺒﺗﺮﻣ ﺖﺳاn .