اﺻﻼح روش اوﻟﺮ

(1)

Advanced Numerical Methods 19

ﺮﻟوا شور حﻼﺻا )

هﺪﻨﻨﮐ ﯽﻨﯿﺑ ﺶﯿﭘ شور -

هﺪﻨﻨﮐ ﺢﯿﺤﺼﺗ (

ﯽﻣ هدﺎﻔﺘﺳا ﺮﯾز نﻮﯿﺳﻻﻮﻣﺮﻓ زا ﯽﻠﮐ رﻮﻃ ﻪﺑ ﺮﻟوا شور رد ﻪﮐ ﺪﺷ هرﺎﺷا  دﻮﺷ

:

ﮏﯾ  هار

حﻼﺻا و

دﻮﺒﻬﺑ

،شور ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ

ﺮﺗ ﻖﯿﻗد ﺐﯿﺷ

)

Slope

( رد ﻪﻄﺑار قﻮﻓ

ﺖﺳا .

ﻪﺑ . دﺮﮐ ﻪﺒ ﺳﺎﺤﻣ ﻪﻠﺻﺎﻓ يﺎﻬﺘﻧا و ﻪﻠﺻﺎﻓ ياﺪﺘﺑا ﺐﯿﺷ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ ار ﺐﯿﺷ ناﻮﺗ ﯽﻣ لﺎﺜﻣ ناﻮﻨﻋ

ﺎﺑ ﯽﺑﺎﯾ نوﺮﺑ ﯽﻣ

ناﻮﺗ ﺖﺷﻮﻧ

:

زا ود ﻪﻄﺑار قﻮﻓ

ياﺮﺑ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ

ﯽﯾﺎﻬﻧ ﺐﯿﺷ

هدﺎﻔﺘﺳا ﯽﻣ

دﻮﺷ .

Predictor

رد شور ﺮﻟوا

زا ﻪﻄﺑار قﻮﻓ

دﻮﺷ . ﺎﻣا رد شور زا

Heun

ﻦﯾا راﺪﻘﻣ

ﻪﺑ ناﻮﻨﻋ

ﺶﯿﭘ ﯽﻨﯿﺑ

ﻪﯿﻟوا )

Predictor

( هدﺎﻔﺘﺳا هﺪﺷ

ﻪﮐ رد مﺎﮔ يﺪﻌﺑ حﻼﺻا

دﻮﺷ ﯽﻣ

. : ﺖﺷﻮﻧ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ناﻮﺗ ﯽﻣ ار

ⁱ⁺¹

ﻪﻄﻘﻧ رد ﺐﯿﺷ راﺪﻘﻣ

(2)

ﺮﻟوا شور حﻼﺻا

ﻪﻠﺻﺎﻓ ﻦﯾا رد هﺪﺷ حﻼﺻا ﺐﯿﺷ راﺪﻘﻣ :

زا ﻦﯾا راﺪﻘﻣ ﺐﯿﺷ

ﺪﯾﺪﺟ رد

نﻮﯿﺳﻻﻮﻣﺮﻓ هدﺎﻔﺘﺳا

ﯽﻣ دﻮﺷ :

Corrector

ﻦﯾﺪﺑ



ﺐﯿﺗﺮﺗ شور

)

Heun

ﺮﻟوا حﻼﺻا هﺪﺷ

( ﮏﯾ شور ود

ﻪﻠﺣﺮﻣ يا

ﺖﺳا ﻪﮐ

رد نآ :

Corrector Predictor

(3)

شور ﯽﮑﯿﻓاﺮﮔ ﻒﯿﺻﻮﺗ Heun

Corrector Predictor

(4)

لﺎﺜﻣ (

بﻮﻠﻄﻣ  ﺖﺳا

ﻞﺣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

ﺮﯾز ﺎﺑ هدﺎﻔﺘﺳا زا

شور رد Heun

ﻪﻠﺻﺎﻓ x=0-4

ﺎﺑ

مﺎﮔ : y(x=0)= 2 ﻪﯿﻟوا طﺮﺷ ﺎﺑ و ، h=1 ﯽﺗﺎﺒﺳﺎﺤﻣ

701082 .

6

) 1 2 (

402164 .

6 2 3

2 h

) y , x ( f ) y , x ( y f

y

5

) 1 ( 3 2

h ) y , x ( f y

y

0 1 1 0

0 0

1

0 0

1

=

+ +

=

+ +

=

+

=

+

=

y 5 . 0 e

dx 4

dy

₀_.₈_x

−

=

i=0 1 2 3 4

(5)

لﺎﺜﻣ (



16.319782

) 1 2 (

13.685777 5.548623

701082 .

6

2

) ,

( )

, ( 12.25271

) 1 ( 5.548623 701082

. 6

) ,

(

0 2 2

1 1 1

2

1 1 1

0 2

=

+ +

=

+ +

=

+

=

+

=

y h x

f y

x y f

y

h y x f y

y

(6)

لﺎﺜﻣ (

ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ



شور ﺎﺑ

Heun

ﮏﯾ رﺎﺑ ﺢﯿﺤﺼﺗ و

15 رﺎﺑ ﺢﯿﺤﺼﺗ رد

ﺮﻫ

مﺎﮔ

:

(7)

ﺮﻟوا شور حﻼﺻا

رد  ﯽﺘﻟﺎﺣ ﻪﮐ

ﺎﻬﻨﺗ

ODE

ﯽﻌﺑﺎﺗ زا

،ﺪﺷﺎﺑ

x

ﺮﮕﯾد يزﺎﯿﻧ

ﻪﺑ

Predictor

ﺖﺴﯿﻧ و

Corrector

ﻢﻫ ﺎﻬﻨﺗ رﺎﺑ ﮏﯾ رد

ﺮﻫ راﺮﮑﺗ ﯽﻣ

ﺪﻧاﻮﺗ هدﺎﻔﺘﺳا

دﻮﺷ . رد ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾا ﯽﻣ

ناﻮﺗ ﺖﺷﻮﻧ

:

ﻪﺒﺗﺮﻣ  ﺎﻄﺧ

رد ﻦﯾا شور زا

ﻪﺒﺗﺮﻣ h³

ﺖﺳا . ﻪﺑ ترﺎﺒﻋ ﺮﮕﯾد

شور هدﺎﻔﺘﺳا

هﺪﺷ ﯽﺷور

ﻪﺒﺗﺮﻣ

2 .ﺪﺷﺎﺑﯽﻣ

ﻪﺒﺗﺮﻣ زا ﯽﻠﺤﻣ ﻊﻄﻗ يﺎﻄﺧ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻦﯾا ﻪﺑ O(h³)

ﻪﺒﺗﺮﻣ زا ﯽﻠﮐ يﺎﻄﺧ و O(h²)

ﺖﺳا

. .ﺪﺷ ﺪﻫاﻮﺧ ﺎﻄﺧ ﺮﺗﺪﯾﺪﺷ ﺶﻫﺎﮐ ﻪﺑ ﺮﺠﻨﻣ ﻞﺣ مﺎﮔ ﺶﻫﺎﮐ ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ

(8)

ﯽﻧﺎﯿﻣ ﻪﻄﻘﻧ شور ،ﺮﻟوا شور حﻼﺻا )

Midpoint Method (

ﯽﻣ هدﺎﻔﺘﺳا ﺮﻟوا شور حﻼﺻا ياﺮﺑ ﻢﻫ شور ﻦﯾا 

دﻮﺷ .

ترﻮﺻ ﻪﺑ شور ﻦﯾا  Predictor

، Corrector ﯽﻣ ﻞﻤﻋ

ﺪﻨﮐ .

ناﻮﻨﻋ ﻪﺑ ﺮﻟوا ﻢﺘﯾرﻮﮕﻟا زا شور ﻦﯾا رد  Predictor

ﯽﻣ هدﺎﻔﺘﺳا ﻞﺣ هزﺎﺑ ﯽﻧﺎﯿﻣ ﻪﻄﻘﻧ رد دﻮﺷ

.

ﯽﻣ هدﺎﻔﺘﺳا ﺮﻈﻧ درﻮﻣ هزﺎﺑ رد ﺐﯿﺷ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ياﺮﺑ راﺪﻘﻣ ﻦﯾا زا ﺲﭙﺳ 

دﻮﺷ .

(9)

ﯽﻧﺎﯿﻣ ﻪﻄﻘﻧ شور ،ﺮﻟوا شور حﻼﺻا )

Midpoint Method (

رد  ﻪﮐ ﯽﺗرﻮﺻ ﻪﺑ

ﻪﻄﺑار قﻮﻓ

ﻪﺟﻮﺗ

،دﻮﺷ y_i+1

رد ود ﺖﻤﺳ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

قﻮﻓ ﺮﻫﺎﻇ هﺪﺸﻧ

؛ﺖﺳا ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ

زا

Corrector ﯽﻤﻧ

ناﻮﺗ ﻪﺑ

ناﻮﻨﻋ راﺮﮑﺗ

و دﻮﺒﻬﺑ ﺞﯾﺎﺘﻧ

هدﺎﻔﺘﺳا دﺮﮐ

.

يﺰﮐﺮﻣ شور زا ﻖﺘﺸﻣ ﺐﯾﺮﻘﺗ ياﺮﺑ شور ﻦﯾا رد )

Central (

ﺖﺳا هﺪﺷ هدﺎﻔﺘﺳا .

ﻞﺒﻗ ﺖﻟﺎﺣ ﻪﺑﺎﺸﻣ

زا ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻪﺑ ﺰﯿﻧ شور ﻦﯾا ﯽﻠﮐ و ﯽﻠﺤﻣ يﺎﻄﺧ ﻪﺒﺗﺮﻣ

O(h³) و

O(h²) ﺖﺳا

.

(10)

شور ﮓﻧار يﺎﻫ

- ﺎﺗﻮﮐ )

Runge-Kutta (

يﺎﻫ شور ﮓﻧار

- ﺎﺗﻮﮐ ياﺮﺑ يﺎﻫ ﺐﯾﺮﻘﺗ

ﻪﺒﺗﺮﻣ ﺮﺗﻻﺎﺑ

ﯽﺣاﺮﻃ

؛ﺪﻧا هﺪﺷ يرﻮﻃ ﻪﺑ

ﻪﮐ ﻪﺑ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﺸﻣ

تﺎﻘﺘ .ﺪﺷﺎﺒﻧ يزﺎﯿﻧ ﺮﺗﻻﺎﺑ

ﺖﺒﺴﻧ  ﻪﺑ

شور ﺮﻠﯾوا

ﻪﮐ رﺎﺑ ﮏﯾ ﻊﺑﺎﺗ

ار f ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ

،ﺪﻨﮐ ﯽﻣ رد

ﻦﯾا ﺎﻫ شور رد

ﺮﻫ ﻪﻠﺣﺮﻣ ﻦﯾﺪﻨﭼ

رﺎﺑ .دﻮﺷ ﯽﻣ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﻊﺑﺎﺗ ﻦﯾا

رد  ﻦﯾا ﺎﻫ شور زا

ﮏﯾ ﺐﯿﮐﺮﺗ ﯽﻄﺧ

زا

،f ياﺮﺑ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ

ﺐﯿﺷ هدﺎﻔﺘﺳا

دﻮﺷ ﯽﻣ .

ﻪﻌﺳﻮﺗ ﻊﺑﺎﺗ )

Increment (

ﺖﺳا ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ شور ﻦﯾا ﯽﻠﮐ ﻞﮑﺷ :

h h y

x y

y

_i₊₁

=

_i

+ φ (

_i

,

_i

, )

n n 2

2 1

1

k + α k + + α k

α

=

φ 

ﻊﺑﺎﺗ ﺖﺷﻮﻧ ﺮﯾز ﯽﻣﻮﻤﻋ ﻞﮑﺷ ﻪﺑ ناﻮﺗ ﯽﻣ ار ϕ

:

(11)

- ﺎﺗﻮﮐ )

Runge-Kutta (

ﻊﺑﺎﺗ  ﻪﻌﺳﻮﺗ رد

ﻊﻗاو ﯽﻌﺑﺎﺗ ياﺮﺑ

ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ راﺪﻘﻣ

ﺐﯿﺷ رد

طﺎﻘﻧ ﻒﻠﺘﺨﻣ

ﻪﻨﻣاد ﻞﺣ

ﺖﺳا . در

ﺖﻟﺎﺣ :ﺖﺷﻮﻧ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ناﻮﺗﯽﻣ ار ﻊﺑﺎﺗ ﻦﯾا ﯽﻠﮐ

و q رد p

ﻦﯾا

،ﻪﻄﺑار ﺮﯾدﺎﻘﻣ

ﯽﺘﺑﺎﺛ

ﺪﻨﺘﺴﻫ .

ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ ﮏﯾ k

ﻊﺑﺎﺗ ﺘﺸﮔزﺎﺑ

ﯽ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ رد ^k1 ﺮﮕﯾد ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ .ﺖﺳا k₂

دﻮﺷ . ﻦﯿﻤﻫ ﺪﻧور

ياﺮﺑ k₃

،

k₄

، ...

و k_n ﻢﻫ راﺮﻗﺮﺑ ﺖﺳا

.

(12)

- ﺎﺗﻮﮐ )

Runge-Kutta (

نآ رد ﻪﮐ ﺖﺳا ﻦﯾا شور ﻦﯾا ﯽﮔﮋﯾو 

ﯽﻣ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﻊﺑﺎﺗ ﮏﯾ زا k دﻮﺷ

.

شور 

ﮓﻧار ﻒﻠﺘﺨﻣ يﺎﻫ -

داﺪﻌﺗ ﻪﭼ زا ﻪﮑﻨﯾا سﺎﺳا ﺮﺑ ﺎﺗﻮﮐ دﻮﺷ هدﺎﻔﺘﺳا k

) راﺪﻘﻣ ﺪﺷﺎﺑ رﺪﻘﭼ n

( ﻞﺑﺎﻗ

ﺖﺳا ﻒﯾﺮﻌﺗ .

راﺪﻘﻣ شور ﻦﯾا رد ﺮﮔا k₁

؟ﺪﺷ ﺪﻫاﻮﺧ ﻞﺻﺎﺣ شور ماﺪﮐ ،دﻮﺷ هدﺎﻔﺘﺳا

ﺎﺑ  مﻮﻠﻌﻣ ندﻮﺑ

راﺪﻘﻣ

،n ﺮﯾدﺎﻘﻣ

،p و q ﺎﺑ a ﻪﺟﻮﺗ ﻪﺑ

يﺮﺳ رﻮﻠﯿﺗ

ﻦﯿﯿﻌﺗ ﯽﻣ

دﻮﺷ . راﺪﻘﻣ رد n

شور-ﮓﻧار شور ،ﺪﺷﺎﺑ n=2 ﻪﮐ ﯽﺗرﻮﺻ رد لﺎﺜﻣ ناﻮﻨﻋ ﻪﺑ .ﺪﻫدﯽﻣ نﺎﺸﻧ ار شور ﻪﺒﺗﺮﻣ ،ﺎﺗﻮﮐ-ﮓﻧار ﺎﺗﻮﮐﺪ.ﻫدﯽﻣ نﺎﺸﻧ ار ﻞﺣ ﻖﯿﻗد راﺪﻘﻣ ،ود ﻪﺟرد ﻊﺑاﻮﺗ ياﺮﺑ ود ﻪﺒﺗﺮﻣ ﺎﺗﻮﮐ-ﮓﻧار شور .ﻢﯾراد ار ود ﻪﺒﺗﺮﻣ

ﮓﻧار شور -

ﻪﺒﺗﺮﻣ ﺎﺗﻮﮐ 2

ياراد ﯽﻠﮐ و ﯽﻠﺤﻣ يﺎﻄﺧ

زا ﻪﺒﺗﺮﻣ O(h³)

و O(h²) ﺖﺳا

.

(13)

شور ﮓﻧار

- ود ﻪﺒﺗﺮﻣ يﺎﺗﻮﮐ

راﺪﻘﻣ ود زا شور ﻦﯾا رد



ﯽﻣ هدﺎﻔﺘﺳا ﺪﯾﺪﺟ ﺮﯾدﺎﻘﻣ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ياﺮﺑ

k

دﻮﺷ .

ﺮﯾدﺎﻘﻣ

،a و q رد p

ﻪﻄﺑار

،قﻮﻓ مزﻻ

ﺖﺳا ﻪﮐ

ﻦﯾا ﻪﻄﺑار ار

ﺎﺑ يﺮﺳ رﻮﻠﯿﺗ

ﻪﺒﺗﺮﻣ

مود :ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ .ﻢﯿﻨﮐ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ

)1 (

) 6 (

رد ﻪﮐ ﯽﺗرﻮﺻ ﻂﺑاور

) 1 ( و )6 ( ﺎﺑ ﻢﻫ ﺮﺑاﺮﺑ راﺮﻗ هداد

،دﻮﺷ ﺮﯾدﺎﻘﻣ

ﺐﯾاﺮﺿ لﻮﻬﺠﻣ

ﺖﺳد ﻪﺑ ﯽﻣ

ﺪﯾآ

. .دﻮﺷ ﯽﻣ ﻪﺘﺷﻮﻧ (3) ﻪﻄﺑار رﻮﻠﯿﺗ ﻂﺴﺑ اﺪﺘﺑا ،رﻮﻈﻨﻣ ﻦﯾا ياﺮﺑ )

2 (

) 3 (

) 4 (

) 5 (

ﻂﺴﺑ رﻮﻠﯿﺗ

ﻊﺑﺎﺗ ود هﺮﯿﻐﺘﻣ :

(14)

شور ﮓﻧار

ﻦﯾا راﺪﻘﻣ و

ﻪﻄﺑار )

2 ( ار رد ﻪﻄﺑار )

1 ( ﻦﯾﺰﮕﯾﺎﺟ ﯽﻣ

ﻢﯿﻨﮐ

)1 (

) 6 (

) 7 (

ﻂﺑاور )6

( و ) 7 ( ار ﻢﻫ زرا ﻢﻫ راﺮﻗ ﯽﻣ ﻢﯿﻫد .

رد ﻦﯾا ترﻮﺻ :

) 3 (

(15)

شور ﮓﻧار

رد 

ﻦﯾا ﺖﻟﺎﺣ ﺖﯾﺎﻬﻧ ﯽﺑ

راﺪﻘﻣ ياﺮﺑ

a₂ ﯽﻣ ناﻮﺗ رد

ﺮﻈﻧ ﺖﻓﺮﮔ .

ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ ﺖﯾﺎﻬﻧ ﯽﺑ

ﺖﻟﺎﺣ ﮓﻧار

- ﺗﻮﮐ

ﺎ .ﻢﯾراد ود ﻪﺒﺗﺮﻣ

مﺎﻤﺗ 

بﺎﺨﺘﻧا ﺎﻫ

ياﺮﺑ a₂

ﺮﺠﻨﻣ ﻪﺑ

باﻮﺟ نﺎﺴﮑﯾ

ياﺮﺑ ﻊﺑاﻮﺗ

ﯽﻄﺧ و

ﻪﺒﺗﺮﻣ مود

ﯽﻣ دﻮﺷ .

؟اﺮﭼ

شور ﺎﺑ

Heun

ﮏﯾ ﻪﻠﺣﺮﻣ

حﻼﺻا )

a₂=0.5

(

ﻪﻨﻣاد ياﺪﺘﺑا رد ﺐﯿﺷ ﻪﻨﻣاد يﺎﻬﺘﻧا رد ﺐﯿﺷ شور ﻪﺑﺎﺸﻣ ًﺎﻘﯿﻗد ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾا

ﺖﺳا راﺮﮑﺗ نوﺪﺑ Heun .

(16)

شور ﮓﻧار

ﯽﻧﺎﯿﻣ ﻪﻄﻘﻧ شور )

Midpoint ) (

a

₂

=1 (

ﺖﺳا ﯽﻧﺎﯿﻣ ﻪﻄﻘﻧ شور ﻪﺑﺎﺸﻣ ًﺎﻘﯿﻗد ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾا .

(17)

شور ﮓﻧار

شور Ralston

)

a

₂

=2/3

(

(18)

شور ﮓﻧار

شور Ralston

) a

₂

=2/3 (

k₁

k₂

x_i x_i+3h/4 x_i+h

h k

k y

y

h k y

h x

f k

y x f k

i i

3 ) 2 3

( 1

4 ) , 3

4 ( 3

) ,

(

2 1

1

1 2

1

+ +

=

+ +

=

+

k₁/3 + 2k₂/3

(19)

يﺎﻫ شور ﮓﻧار

ﮓﻧار يﺎﻫ شور ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ  -

ﻪﻟدﺎﻌﻣ ياﺮﺑ ﺮﻟوا شور ﺎﺑ مود ﻪﺒﺗﺮﻣ ﺎﺗﻮﮐ y’=−2x³ + 12x² − 20x + 8.5

(20)

شور ﮓﻧار

- ﻪﺳ ﻪﺒﺗﺮﻣ يﺎﺗﻮﮐ

رد 

ﯽﺗرﻮﺻ ﻪﮐ

رد ﻪﻄﺑار ﯽﻠﮐ

ﮓﻧار - ﺎﺗﻮﮐ راﺪﻘﻣ رد n=3

ﺮﻈﻧ ﻪﺘﻓﺮﮔ

،دﻮﺷ شور

ﮓﻧار - يﺎﺗﻮﮐ ﻪﺒﺗﺮﻣ

مﻮﺳ ﻞﺻﺎﺣ ﯽﻣ

دﻮﺷ .

ﺮﮔا 

ﺪﻧور ﻪﺑﺎﺸﻣ

شور ﻪﺒﺗﺮﻣ

مود رد ﻦﯾا ﺖﻟﺎﺣ ﻢﻫ

ﯽﻃ

،دﻮﺷ رد

عﻮﻤﺠﻣ ﻪﺑ

6 ﻪﻟدﺎﻌﻣ و

8 لﻮﻬﺠﻣ

ﯽﻣ ﻢﯿﺳر .

) روآدﺎﯾ ﯽﻣ

دﻮﺷ رد

ﮓﻧار - ﺎﺗﻮﮐ ﻪﺒﺗﺮﻣ مود

ﻪﺑ 3 ﻪﻟدﺎﻌﻣ و

4 لﻮﻬﺠﻣ هﺪﯿﺳر

ﻢﯾدﻮﺑ .(

ﻦﯾﺪﺑ.دﻮﺷ ﻦﯿﯿﻌﺗ ،هﺪﻣآ ﺖﺳد ﻪﺑ تﻻدﺎﻌﻣ زا ﺎﻫلﻮﻬﺠﻣ ﺮﯾﺎﺳ و هﺪﺷ ﻦﯿﯿﻌﺗ لﻮﻬﺠﻣ 2 ﺮﯾدﺎﻘﻣ ﺪﯾﺎﺑ ﺐﯿﺗﺮﺗ

يﺎﻄﺧ ﯽﻠﺤﻣ

و ﯽﻠﮐ زا

ﻪﺒﺗﺮﻣ O(h

⁴

)

O(h

³

) و ﺖﺳا

.

(21)

شور ﮓﻧار

- ﻪﺳ ﻪﺒﺗﺮﻣ يﺎﺗﻮﮐ

k

₁

k

₂

x_i x_i+1= x_i+h

k

₃

h ) k k

4 k

6 ( y 1

y

_i₊₁

=

_i

+

₁

+

₂

+

₃

x_i+h/2

k₁/6 + 4k₂/6+ k₃/3

(22)

شور ﮓﻧار

- رﺎﻬﭼ ﻪﺒﺗﺮﻣ يﺎﺗﻮﮐ

دﺮﺑرﺎﮐﺮﭘ 

ﻦﯾﺮﺗ ﺖﻟﺎﺣ

شور ﮓﻧار

-

،ﺎﺗﻮﮐ ﺖﻟﺎﺣ

ﻪﺒﺗﺮﻣ 4

شور ﺖﺳا

. ﻦﯾا شور ﻢﻫ

ﺪﻨﻧﺎﻣ يﺎﻫ شور

ﺮﮕﯾدﺖﺳا ﮏﯿﺳﻼﮐ 4 ﻪﺒﺗﺮﻣ ﺎﺗﻮﮐ-ﮓﻧار شور ﺎﻬﻧآ ﻦﯾﺮﺗفوﺮﻌﻣ .دراد ﺖﻟﺎﺣ ﺖﯾﺎﻬﻧ ﯽﺑ ،ﺎﺗﻮﮐ-ﮓﻧار

. :ﺪﺷﺎﺑﯽﻣ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ شور ﻦﯾا نﻮﯿﺳﻻﻮﻣﺮﻓ

(23)

- ﺮﺗﻻﺎﺑ ﻪﺒﺗﺮﻣ ﺎﺗﻮﮐ

ﮓﻧار شور -

Butcher

(24)

ﯽﻟﻮﻤﻌﻣ تﺎﻘﺘﺸﻣ ﺎﺑ تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد

رد 

يرﺎﯿﺴﺑ زا

يﺎﻫﺪﻨﯾآﺮﻓ ﯽﺳﺪﻨﻬﻣ

مزﻻ ﺖﺳا ﻪﮐ

هﺎﮕﺘﺳد تﻻدﺎﻌﻣ

ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﯽﻟﻮﻤﻌﻣ

ياﺮﺑ يداﺪﻌﺗ

زا تﻻدﺎﻌﻣ ﻪﮐ

ﻪﺑ رﻮﻃ لﻮﻤﻌﻣ ﺎﺑ

ﻢﻫ ﺖﻔﺟ )

couple (

،ﺪﻨﺘﺴﻫ ﻞﺣ

دﻮﺷ . ياﺮﺑ ﻞﺣ

ﻦﯿﻨﭼ

،ﯽﻫﺎﮕﺘﺳد

مزﻻ ﺖﺳا طﺮﺷ

ﻪﯿﻟوا ياﺮﺑ

ﻪﻟدﺎﻌﻣ n ﺺﺨﺸﻣ

دﻮﺷ .

مﺎﻤﺗ 

شور ﯽﯾﺎﻫ ﻪﮐ

نﻮﻨﮐﺎﺗ ياﺮﺑ

ﻞﺣ ﮏﯾ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد

ﯽﻟﻮﻤﻌﻣ ﺢﯾﺮﺸﺗ

،ﺪﺷ ﺑ ياﺮ

ﻞﺣ .دراد دﺮﺑرﺎﮐ ﻢﻫ ﯽﻟﻮﻤﻌﻣ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﻪﻟدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد

(25)

ﺮﻟوا شور مﺎﮔ ﺎﺑ ار وﺮﺑور هﺎﮕﺘﺳد 0

_/

5

هدوﺪﺤﻣ رد 0

ﺎﺗ 1 ﺪﯿﻨﮐ ﻞﺣ .

 



=

 



 



−

=

−

=

6 0

y

4 0

y y 3 0 y

1 0 dt 4

dy

y 5 dt 0

dy

2 1

2

1 1

) (

) ( .

. .

1,i 1 1,i 1 i 1,i 2,i 1,i 1,i

2,i 1 2,i 2 i 1,i 2,i 2,i 1,i 2,i

y y f (t , y , y )h y (0.5y )h

y y f (t , y , y )h y (4 0.1y 0.3y )h

+ +

= + = −

  = + = + − −



[ ] [ ]

1

2 2

( ) ( ) ( ) h (

( ) ( ) ( ) 0.3y (0) h 6 4 0.1(4) 0.3(6) (0.5) 6.9

1 1

2 1

y 0.5 y 0 0.5y 0 4 0.5)(4) (0.5) 3 y 0.5 y 0 4 0.1y 0

 = + − = + − =



= + − − = + − − =



[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) h ( )( ) ( ) .25

( ) ( ) ( ) 0.3 (0.5) h 6.9 4 0.1(3) 0.3(6.9) (0.5) 7.715

1 1 1

2 2 1 2

y 1.0 y 0.5 0.5y 0.5 3 0.5 3 0.5 2 y 1.0 y 0.5 4 0.1y 0.5 y

 = + − = + − =



= + − − = + − − =



(26)

ﮓﻧار شور -

ﺎﺗﻮﮐ

رد  شور ﮓﻧار

- ﺎﺗﻮﮐ ياﺮﺑ

مﺎﻤﺗ

،ﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣ ﺐﯿﺷ

ﯽﯾﺎﻫ ار

ﺶﯿﭘ ﯽﻨﯿﺑ ﯽﻣ

ﻢﯿﻨﮐ . ﻦﯾا ﺐﯿﺷ

،ﺎﻫ ﻤﻫ نﺎ

ﺮﯾدﺎﻘﻣ k₁

ﺪﻨﺘﺴﻫ .

زا ﻦﯾا ﺮﯾدﺎﻘﻣ ياﺮﺑ

ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ k₂

دﻮﺷ .

ًادﺪﺠﻣ زا

ﻦﯾا ﺮﯾدﺎﻘﻣ ياﺮﺑ

ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ

k₃ هدﺎﻔﺘﺳا ﺪﻫاﻮﺧ

ﺪﺷ . رد ﺖﯾﺎﻬﻧ ياﺮﺑ

ﺶﯿﭘ ﯽﻨﯿﺑ ﺐﯿﺷ

رد ﻪﻄﻘﻧ ﯽﯾﺎﻬﺘﻧا

) k₄ ( زا ﺮﯾدﺎﻘﻣ ﺮﮕﯾد

k .دﻮﺷﯽﻣ هدﺎﻔﺘﺳا

ﺲﭘ  زا ﻪﮑﻧآ مﺎﻤﺗ ﺮﯾدﺎﻘﻣ

ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ k

،ﺪﺷ زا

ﺐﯿﮐﺮﺗ ﺎﻫ نآ

راﺪﻘﻣ مﺎﮔ

ﺪﯾﺪﺟ هدﺎﻔﺘﺳا

ﯽﻣ دﻮﺷ .

(27)

ﮓﻧار شور -

ﻪﺒﺗﺮﻣ يﺎﺗﻮﮐ 4

هﺎﮕﺘﺳد ياﺮﺑ ﮏﯿﺳﻼﮐ 2

ﯽﻟﻮﻤﻌﻣ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﻪﻟدﺎﻌﻣ

1,1 1 1 2

1,2 2 1 2

2,1 1 1 1,1 2 1,2

2,2 2 1 1,1 2 1,2

3,1 1 1 2,1 2

( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( ))

k f (t( ) h/2, y ( ) k h/2, y ( ) k h/2) k f (t( ) h/2, y ( ) k h/2, y ( ) k h/2)

k f (t( ) h/2, y ( ) k h/2, y ( )

k f t i y i y i

i i i

 =

 =



= + + +

 = + + +



= + + _2,2

3,2 2 1 2,1 2 2,2

4,1 1 1 3,1 2 3,2

4,2 2 1 3,1 2 3,2

k h/2) k f (t( ) h/2, y ( ) k h/2, y ( ) k h/2)

k f (t( ) h, y ( ) k h, y ( ) k h) k f (t( ) h, y ( ) k h, y ( ) k h)

i i i

 +

 = + + +



= + + +

 = + + +



1,i 1 1,i 1,1 2,1 3,1 4,1

2,i 1 2,i 1,2 2,2 3,2 4,2

y y 1 (k 2k 2k k )h

6

y y 1 (k 2k 2k k )h

6

+

 = + + + +

 

 = + + + +



(28)

لﺎﺜﻣ :

ﮓﻧار شور ﺎﺑ ار ﺮﯾز هﺎﮕﺘﺳد -

ﺪﯿﻨﮐ ﻞﺣ

.

(29)

(30)

ﻻﺎﺑ ﻪﺒﺗﺮﻣ ﯽﻟﻮﻤﻌﻣ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد تﻻدﺎﻌﻣ ﻞﺣ

ﺒﺗﺮﻣ تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد ﻪﺑ ﺮﺗﻻﺎﺑ ﻪﺒﺗﺮﻣ يدﺎﻋ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد تﻻدﺎﻌﻣ ﻞﯾﺪﺒﺗ  ﮏﯾ ﻪ

5 . 0 '

y

; 1 y

x sin dx y

dy dx

y d

0 0

2 2

2

=

− +

=

dx z ≡ dy

2 2

dx y d dx

dz =

5 . 0 z

, 1 y

; dx z

dy

x sin y

dx z dz

0 0

2

=

 =



 



=

− +

=