روش اﺧﺘﻼف ﻣﺤﺪود

Advanced Numerical Methods 110

دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور

دﺪﻋ ذﻮﻔﻧ ) Diffusion Number (

ﻦﯾا ﺐﯾﺮﻘﺗ ﺎﺑ

ناﻮﻨﻋ ﺮﯾز

ﻪﺘﺧﺎﻨﺷ ﯽﻣ

دﻮﺷ

Forward Time Central Space (FTCS). لﻮﻣﺮﻓ عﻮﻧ ﻪﭼ ﻪﻄﺑار ﻦﯾا ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ار يﺪﻨﺑ

؟ﺪﻫد Explicit

2

1 1 1

2 x

f f

f t

f

f

_iⁿ _iⁿ _iⁿ _iⁿ _iⁿ

∆

+

= −

∆

−

_{+ −}

+

α

(

n iⁿ

)

n i n i

n i

i

f d f f f

f

⁺¹

= +

₊₁

− 2 +

₋₁

x

2

t

d = α ∆ ∆

Advanced Numerical Methods 111

دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور

ﻪﻟﺎﺴﻣ  ﻞﺒﻗ

ار رد ﺮﻈﻧ ﺪﯾﺮﯿﮕﺑ .

ﻦﯾا ﻪﻟﺎﺴﻣ ار

ﺎﺑ ضﺮﻓ توﺎﻔﺘﻣ d

) مﺎﮔ ﯽﻧﺎﻣز ﻒﻠﺘﺨﻣ

( ﻞﺣ ﯽﻣ ﻢﯿﻨﮐ

. .ﺪﯾآﯽﻣ ﺖﺳد ﻪﺑ ﺮﯾز يﺎﻫ باﻮﺟ ،ﺖﻟﺎﺣ ود ﻦﯾا رد

طﺮﺷ يراﺪﯾﺎﭘ

:

Advanced Numerical Methods 112

دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور

ﻊﯾزﻮﺗ تﺎﻋﻼﻃا

يدﺪﻋ )

Numerical Information Propagation (

رد شور ترﻮﺻ ﻪﺑ FTCS

ﺮﯾز :ﺖﺳا

ﻪﻄﺑار قﻮﻓ

نﺎﺸﻧ ﯽﻣ

ﺪﻫد ﻪﮐ ﻊﯾزﻮﺗ تﺎﻋﻼﻃا

شور يدﺪﻋ

ﻪﺘﺴﺑاو ﻪﺑ

دﺪﻋ ذﻮﻔﻧ ﺖﺳا .

راﺪﻘﻣ ﺎﻄﺧ

رد ﻦﯾا شور زا

O(Δt) و

O(Δx²) ﺖﺳا

. ) ﺖﺳا راﺪﯾﺎﭘ ﯽﻄﯾاﺮﺷ ﺖﺤﺗ شور ﻦﯾا Conditionally Stable

(.

ﯿﯿﻐﺗ ﻪﻧﻮﮕﭼ ﯽﻧﺎﻣز مﺎﮔ ،يراﺪﯾﺎﭘ طﺮﺷ يراﺮﻗﺮﺑ ياﺮﺑ ﻪﮑﺒﺷ هزاﺪﻧا نﺪﺷ ﮏﭼﻮﮐ ﺎﺑ ﯽﻣ ﺮ

؟ﺪﻨﮐ

ياﺮﺑ اﺮﭼ ﺎﻤﺷ ﺮﻈﻧ ﻪﺑ ،شور نﻮﯿﺳﻻﻮﻣﺮﻓ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ d ≤0.5

؟ﺖﺳا راﺪﯾﺎﭘ شور ﻦﯾا

(

n

) ( )

iⁿ

n i n i

i

d f f d f

f

⁺¹

=

₊₁

+

₋₁

+ 1 − 2

_{:يراﺪﯾﺎﭘ طﺮﺷ}

Advanced Numerical Methods 113

ﯽﻨﻤﺿ شور )

Implicit (

ياﺮﺑ  يزﺎﺳ ﻪﺘﺴﺴﮔ

ﻖﺘﺸﻣ ﯽﻧﺎﻣز

زا ﺐﯾﺮﻘﺗ ﻪﺒﺗﺮﻣ

لوا ﯽﻧﺎﻣز ور

ﻪﺑ ﺐﻘﻋ هدﺎﻔﺘﺳا

ﻣ دﻮﺷ ﯽ :

ﯽﻣ ناﻮﺗ ﺎﺑ

ﺐﯾﺮﻘﺗ فﻼﺘﺧا

،دوﺪﺤﻣ ﻖﺘﺸﻣ

ﻪﺒﺗﺮﻣ مود

ﯽﻧﺎﮑﻣ رد

ﻪﻄﻘﻧ ار i

ترﻮﺻ ﻪﺑ ﺮﯾز

ﺐﯾﺮﻘﺗ دز

. .دﻮﺷ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ n+1 ﯽﻧﺎﻣز مﺎﮔ زا ﺎﻫ ﺐﯾﺮﻘﺗ ﻪﮐ ﺖﺳا ﻦﯾا ﺮﺑ ضﺮﻓ

ﺮﯾدﺎﻘﻣ ﺐﯾﺮﻘﺗ

ﺖﺳد ﻪﺑ هﺪﻣآ

ار رد ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﯽﻠﺻا

ﻦﯾﺰﮕﯾﺎﺟ ﯽﻣ

ﻢﯿﻨﮐ :

t f f f

in in

ni

t

∆

=

⁺

−

+ 1

1

2

11 1

11

1

2

x

f f

f f

in in

in ni

xx

∆

+

=

⁺⁺

−

^{+ −+}

+

Advanced Numerical Methods 114

دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور

رد - ﻦﯾا شور ياﺮﺑ

ﺮﻫ مﺎﮔ ﯽﻧﺎﻣز ﺪﯾﺎﺑ

هﺎﮕﺘﺳد ﻞﺣ

ﺷ دﻮ

.ﺎﮕﺘﺳد ياﺮﺑ (ندﻮﺑ يﺮﻄﻗ ﻂﻠﺴﻣ) وﺮﺑرﺎﮑﺳا طﺮﺷ -

ه .ﺖﺳا قدﺎﺻ

ﻦﯾا - شور

نوﺪﺑ ﺪﯿﻗ

و

،طﺮﺷ راﺪﯾﺎﭘ

ﺖﺳا (.Unconditionally Stable) Implicit

2

11 1

11

1

2

x

f f

f t

f

f

_iⁿ _iⁿ _iⁿ _iⁿ _iⁿ

∆

+

= −

∆

−

₊^{+ +} ₋⁺

+

α

( )

_iⁿ _iⁿ _iⁿ

in

d f df f

df + + − =

−

₋⁺₁¹

1 2

⁺¹ ₊⁺₁¹

x

2

t

d = α ∆ ∆

Advanced Numerical Methods 115

شور Crank-Nicolson

ﻪﻄﻘﻧ رد نﺎﻣز مﺮﺗ ياﺮﺑ يﺰﮐﺮﻣ مود ﻪﺒﺗﺮﻣ ﺐﯾﺮﻘﺗ ﺎﺑ اﺪﺘﺑا ،شور ﻦﯾا رد  n+1/2

ﯽﻧﺎﻣز ﻖﺘﺸﻣ راﺪﻘﻣ

ﯽﻣ ﺐﯾﺮﻘﺗ ار ﻢﯿﻧز

.

ﯽﻣ  ناﻮﺗ ﺎﺑ

ﺐﯾﺮﻘﺗ فﻼﺘﺧا

،دوﺪﺤﻣ ﻖﺘﺸﻣ

ﻪﺒﺗﺮﻣ مود

ﯽﻧﺎﮑﻣ رد

ﻪﻄﻘﻧ ار i

ترﻮﺻ ﻪﺑ ﺮﯾز

ﺐﯾﺮﻘﺗ دز

. .دﻮﺷ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ n+1/2 ﯽﻧﺎﻣز مﺎﮔ زا ﺎﻫ ﺐﯾﺮﻘﺗ ﻪﮐ ﺖﺳا ﻦﯾا ﺮﺑ ضﺮﻓ

ﺮﯾدﺎﻘﻣ ﺐﯾﺮﻘﺗ

ﺖﺳد ﻪﺑ هﺪﻣآ

ار رد ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﯽﻠﺻا

ﻦﯾﺰﮕﯾﺎﺟ ﯽﻣ

ﻢﯿﻨﮐ :

( 2 )

2

2 1 1

t f f f

in in

n

t i

∆

=

⁺

−

+

(

n xx ⁿi

)

i xx n

xx i

f f

f

^{+1 2}

=

⁺¹

+

2 1

- رد ﻦﯾا شور ﺖﻗد

يﺎﻫ ﻪﻠﻤﺟ ﯽﻧﺎﻣز

و ﯽﻧﺎﮑﻣ ﺮﻫ

ود زا ﻪﺒﺗﺮﻣ 2

ﯽﻣ ﺪﺷﺎﺑ .

Advanced Numerical Methods 116

شور Crank-Nicolson

- راﺪﻘﻣ ﺎﻄﺧ

رد ﻦﯾا شور زا

O(Δt²) و

O(Δx²) ﺖﺳا

. هﺎﮕﺘﺳد ياﺮﺑ (ندﻮﺑ يﺮﻄﻗ ﻂﻠﺴﻣ) وﺮﺑرﺎﮑﺳا طﺮﺷ - تﻻدﺎﻌﻣ

قدﺎﺻ ﺖﺳا

. ﯽﺑاﻮﺟ ﻪﺑ ﯽﺑﺎﯾ ﺖﺳد ياﺮﺑ ﺎﻣا .ﺖﺳا راﺪﯾﺎﭘ ،طﺮﺷ و ﺪﯿﻗ نوﺪﺑ شور ﻦﯾا - ﯽﮑﯾﺰﯿﻓ

ﺪﯾﺎﺑ d ≤1 ﺪﺷﺎﺑ

.

( )

_iⁿ _iⁿ _iⁿ

( )

_iⁿ _iⁿ

in

d f df df d f df

df

₋⁺₁¹

+ 2 + 2

⁺¹

−

₊⁺₁¹

=

₋₁

+ 2 − 2 +

₊₁

−

Advanced Numerical Methods 117

يﺮﺳ ﻦﯾﺮﻤﺗ 5

:

ﻦﯾﺮﻤﺗ قﻮﻓ بﺎﺘﮐ زا هﺪﺷ ﺺﺨﺸﻣ يﺎﻫ

Numerical Method for Engineers and Scientists J.D Hoffman

ISBN: 0824704436

Publisher: Marcel Dekker, Inc.

Pub. Date: 2001

ﻦﯾﺮﻤﺗ هرﺎﻤﺷ ﻪﺤﻔﺻ هرﺎﻤﺷ

4 582

6 582

14 583

21 583

4 646

28 647