ﻪﻟﺎﻘﻣ ﻪﻣﺎﻧ ﻪﻧﻻﺎﺳ ﺲﻧاﺮﻔﻨﮐ ي ناﺮﯾا ﮏﯾﺰﯿﻓ ي
1387
1
نﺎﮑﻣ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو ﺮﺛﻮﻣ مﺮﺟ ﺎﺑ يﺪﻌﺑ ﮏﯾ ﺮﮕﻨﯾدوﺮﺷ تﻻدﺎﻌﻣ ﻖﯿﻗد ﻞﺣ ياﺮﺑ ﯽﻟ ﺮﺒﺟ شور
ﯽﺸﺨﺑ ، اﺮﻫز
، ﯽﻫﺎﻨﭘ ، ﻦﯿﺴﺣ
ﮏﯾﺰﯿﻓ هوﺮﮔ -
نﻼﯿﮔ هﺎﮕﺸﻧاد
هﺪﯿﮑﭼ
دﻮﺷ ﯽﻣ ﻪﺘﻓﺮﮔ رﺎﮑﺑ نﺎﮑﻣ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو ﺮﺛﻮﻣ مﺮﺟ ﺎﺑ ﺮﮕﻨﯾدوﺮﺷ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺮﯾﺬﭘ ﻞﺣ يﺎﻫ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ياﺮﺑ ﯽﺗوﺎﻔﺘﻣ يﺎﻫ شور .
ﻦﯾا رد ﺎﺟ
ﺮﺒﺟ هﮋﯾﻮﺑ و ﯽﻟ ﺮﺒﺟ شور )
1 , 1 ( ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺋارا نﺎﮑﻣ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو ﺮﺛﻮﻣ مﺮﺟ ﺎﺑ ﺪﻌﺑ ﮏﯾ رد ﺮﮕﻨﯾدوﺮﺷ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻞﮑﺷ ﻦﯾﺮﺗ ﯽﻣﻮﻤﻋ ياﺮﺑ su .
ددﺮﮔ ﯽﻣ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ ،ﺖﺳا هﺪﺷ ﻞﺻﺎﺣ ﺖﺑﺎﺛ مﺮﺟ ﻢﺘﺴﯿﺳ ﺎﺑ ﺖﻘﺑﺎﻄﻣ زا ﻪﮐ يﺮﯾﺬﭘ ﻞﺣ يﺎﻫ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ﺎﺑ شور ﻦﯾا زا ﻞﺻﺎﺣ ﺞﯾﺎﺘﻧ ﺲﭙﺳ .
ﺎﻨﺑ
ﺮﺑ ﺪﯾآ ﯽﻣ ﺖﺳد ﻪﺑ ،دﻮﺷ ﯽﻣ هداد ﺖﺒﺴﻧ صﺎﺧ ﻊﺑاﻮﺗ ﻪﺑ ﻪﮐ ي ﺮﯾﺬﭘ ﻞﺣ يﺎﻫ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ياﺮﺑ ﯽﻧﺎﺴﮑﯾ ﺞﯾﺎﺘﻧ ﻪﮐ داد نﺎﺸﻧ ناﻮﺗ ﯽﻣ ﻦﯾا .
Lie algebra method for Exact solution of the Schrodinger equations in one dimension with position-dependent effective mass
ِ
Bakhshi, Zahra; Panahi, Hossein Department of Physics, University of Guilan, Rasht
Abstract
The Schrodinger equation with the position-dependent effective mass (PDEM) is studied by different methods to obtain exactly solvable potentials. In this work, by using of Lie algebra method in particular su(1,1) algebra is presented to the most general Schrodinger equation in one dimension with PDEM. Also, we compare the results of su(1,1) algebra with exactly solvable potentials that are obtained from the corresponding with constant mass Schrodinger equation. There fore, we can show that the same results are obtained for solvable potentials which related to special functions.
PACS No: 03
ﻣ ﻪﻣﺪﻘ
نﺎﮑﻣ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو ﺮﺛﻮﻣ مﺮﺟ ﺎﺑ ﺮﮕﻨﯾدوﺮﺷ ﻪﻟدﺎﻌﻣ )
(PDEM
ﻞﯿﻧاد ﻦﺑ و كاد ﻂﺳﻮﺗ 1)
( رد ﺎﻬﻧوﺮﺘﮑﻟا رﺎﺘﻓر ﻒﯿﺻﻮﺗ ياﺮﺑ
هدﺎﻣ يﺎﻬﻤﺘﺴﯿﺳ زا يرﺎﯿﺴﺑ رد ﺎﻫﺎﻧﺎﺳر ﻪﻤﯿﻧ و ﯽﻟﺎﺘﺴﯾﺮﮐ يﺎﻫﺪﻧﻮﯿﭘ ،ﻪﻄﻘﻧ ،هﺎﭼ ﻞﻣﺎﺷ ﯽﻣﻮﺘﻧاﻮﮐ يﺎﻫرﺎﺘﺧﺎﺳ رد و ﺖﺳا ﻪﺘﻓررﺎﮑﺑ لﺎﮕﭼ يﺎﻫژﺎﯿﻟآ و ﯽﻣﻮﺘﻧاﻮﮐ ﻢﯿﺳ ﺪﻨﻨﮐ ﯽﻣ اﺪﯿﭘ دﺮﺑرﺎﮐ هﺪﺷ يﺪﻨﺑ ﻪﺟرد
) 2،3،4 .(
ندروآ ﺖﺳﺪﺑ ياﺮﺑ ﯽﺗوﺎﻔﺘﻣ يﺎﻬﺷور ،ﺮﯿﺧا يﺎﻬﻟﺎﺳ رد
ﺮﮕﻨﯾدوﺮﺷ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻖﯿﻗد ﻪﺒﺷ ﺎﯾ ﻖﯿﻗد يﺎﻫ ﻞﺣ )
(PDEM ﻞﺜﻣ
و ﯽﻧرﺎﻘﺗﺮﺑا ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ يﺎﻬﺷور ،ﯽﻟ ﺮﺒﺟ يﺎﻬﺷور، ﮏﯿﻧﻮﻧﺎﮐ تﻼﯾﺪﺒﺗ ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺋارا ﯽﯾادروﺎﻧ ﻞﮑﺷ يﺎﻫ ﮏﯿﻨﮑﺗ )
5،
6 .(
ﻪﻟﺎﻘﻣ ﻦﯾا رد زا هدﺎﻔﺘﺳا و ﯽﻟ ﺮﺒﺟ شور زا هدﺎﻔﺘﺳاﺎﺑ لوا ﺶﺨﺑ رد
ﯽﻟ ﺮﺒﺟ يﺎﻫﺪﻟﻮﻣ )
1 , 1 ( ي ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ياﺮﺑ ار جﻮﻣ ﻊﺑاﻮﺗ و ﻒﯿﻃ su
ﺮﮕﻨﯾدوﺮﺷ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻞﮑﺷ ﻦﯾﺮﺗ ﯽﻣﻮﻤﻋ ﻖﯿﻗد ﻞﺣ )
(PDEM ياﺮﺑ
يﺎﻫ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ مود ﺶﺨﺑ رد و ﻢﯿﻨﮐ ﯽﻣ ﯽﺳرﺮﺑ ﯽﺻﺎﺧ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ﻊﺟﺮﻣ زا هﺪﻣآ ﺖﺳﺪﺑ )
7 ( نآ رد ﻪﮐ ﺖﺑﺎﺛ مﺮﺟ ﺎﺑ ﺖﻘﺑﺎﻄﻣ ﮏﯿﻨﮑﺗ
ﯽﻟ ﺮﺒﺟ شور زا ﻞﺻﺎﺣ يﺎﻫ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ﺎﺑ ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺘﻓﺮﮔ رﺎﮑﺑ ) 1 , 1 ( ﺖﺒﺴﻧ ﻦﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد ﺎﺑ و ﻪﺘﻓﺮﮔ راﺮﻗ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ درﻮﻣ su
ﯽﻧﺎﺴﮑﯾ ﺞﯾﺎﺘﻧ شور ود ﻦﯾا ﻦﯿﺑ يﺮﺘﻣارﺎﭘ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ رد
ﺮﯾدﺎﻘﻣ هﮋﯾو
ﺖﺳا هﺪﺷ ﻞﺻﺎﺣ يژﺮﻧا .
ﯾ ياﺮﺑ ﻪﮐ ﯽﻠﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ﻪﮐ ﺎﺠﻧآ زا زا ﯽﮑ
ﻪﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد ﻪﺘﻓﺎﯾ ﻢﯿﻤﻌﺗ ﺮﮔﻻ يﺎﻬﯾا ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ صﺎﺧ يﺎﻫ ﺖﻟﺎﺣ ﯽﻟ ﺮﺒﺟ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ﺎﺑ ،ﺖﺳا هﺪﺷ )
1 , 1 ( دراد ﺖﻘﺑﺎﻄﻣ su .
ﯽﻣ ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ
ﮏﻤﮐ ﻪﺑ و دﺮﺑ رﺎﮑﺑ ار نآ يﺎﻫﺪﻟﻮﻣ و رﻮﺑﺰﻣ ﯽﻟ ﺮﺒﺟ ،نآ ياﺮﺑ ناﻮﺗ ﺖﺧادﺮﭘ يژﺮﻧا ﺮﯾدﺎﻘﻣ هﮋﯾو ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﻪﺑ نآ .
ﺮﺒﺟ يﺮﯿﮔرﺎﮑﺑ )
1 , 1 ( ﺮﮕﻨﯾدوﺮﺷ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ياﺮﺑsu )
(:PDEM
ﯽﺘﯿﻣﺮﻫ ﯽﻧﻮﺘﻠﯿﻣﺎﻫ ﻦﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد ﺎﺑ )
(PDEM ﻪﺳ لﺪﻣ رد
زور ناو يﺮﺘﻣارﺎﭘ )
8 (،
ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو ﺮﺛﻮﻣ مﺮﺟ ﺎﺑ ﺮﮕﻨﯾدوﺮﺷ ﻪﻟدﺎﻌﻣ
زا ﺖﺳا ترﺎﺒﻋ نﺎﮑﻣ :
تﺎﯿﻠﮐ - ﯽﻫﺎﻔﺷ 2
), ( ) ( ) ( )) ( )
( )
(
) ( )
( )
( 2( 1
x E x x V x dxM x d dxM x d M
x dxM x d dxM x d M
) 1 ( يﺮﺘﻣارﺎﭘ ﺖﺒﺴﻧ ﺎﺠﻨﯾارد
1
و ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ راﺮﻗﺮﺑ
1 2 0
m ﺖﺳا هﺪﺷ ضﺮﻓ
. بﺎﺨﺘﻧا ياﺮﺑ
0
شور ،
ﺮﺒﺟ يﺎﻫﺪﻟﻮﻣ يﺮﯿﮔرﺎﮑﺑ و ﯽﻟ ﺮﺒﺟ )
1 , 1 ( ﻊﺟﺮﻣ رد su )
8 ( مﺎﺠﻧا
ﺖﺳا هﺪﺷ .
ﺖﻟﺎﺣ رد ﯽﺸﺒﻨﺟ يژﺮﻧا ﺮﮕﻠﻤﻋ ﻪﻟﺎﻘﻣ ﻦﯾا رد ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ
ﺮﻈﻧ رد هاﻮﺨﻟد يﺎﻫﺮﺘﻣارﺎﭘ ﺎﺑ و ﯽﻠﮐ ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺘﻓﺮﮔ
. ﻦﺘﻓﺮﮔﺮﻈﻧ رد
ﻪﻄﺑار رد ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾﺮﺗ ﯽﻣﻮﻤﻋ رد ﯽﻧﻮﺘﻠﯿﻣﺎﻫ )
1 ( ﻪﮐ دﻮﺷ ﯽﻣ ﺐﺒﺳ
نﺎﮑﻣ ﻪﺘﺴﺑاو مﺮﺟ ﻊﺑﺎﺗ زا مود و لوا ﻪﺒﺗﺮﻣ تﺎﻘﺘﺸﻣ ﻞﻣﺎﺷ ﻪﻠﻤﺟ ود ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ناﻮﻨﻌﺑ ﯽﻠﺻا ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ﺎﺑ هاﺮﻤﻫ ﻪﮐدﻮﺷ ﻪﻓﺎﺿا ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ﻪﺑ دﻮﺷ ﯽﻣ ﻪﺘﻓﺮﮔﺮﻈﻧ رد ﺮﺛﻮﻣ .
ﺴﻧاﺮﻔﯾد ﺶﺨﺑ ﻪﮐ ﺪﻧﺎﻤﻧ ﻪﺘﻔﮔﺎﻧ ﯽﻠﯿ
ﺮﮕﻨﯾدوﺮﺷ ﻪﻟدﺎﻌﻣ )
1 ( ﻊﺟﺮﻣ ﺮﮕﻨﯾدوﺮﺷ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺎﺑ )
9 ( توﺎﻔﺗ
ﺮﺒﺟ يﺎﻫﺪﻟﻮﻣ ناﻮﺗ ﯽﻣ ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ ﺖﺷاد ﺪﻫاﻮﺨﻧ يرﺎﮑﺷآ )
1 , 1 ( su
ﺖﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد ﻞﮑﺷ ﻦﯾﺮﺗ ﯽﻣﻮﻤﻋ رد ﺮﮕﻨﯾدوﺮﺷ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ياﺮﺑ ار .
ﻪﺑ
ﺖﺷاد ﻢﯿﻫاﻮﺧ مزﻻ تﺎﺒﺳﺎﺤﻣ مﺎﺠﻧا ﺎﺑ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻦﯾا :
) 2 (
), (
) ( )]
) ( ( [ 1
) (
x E
x x dx V
d x M dx x d
H eff
) 3 (
. ] 1 ) 1 (
[
) 1 2( ) 1 ( ) (
3 2 2
M M M x M
V x Veff
ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻒﯿﻃ ناﻮﺗ ﯽﻣ نﻮﻨﮐا )
2 ( ﻒﻠﺘﺨﻣ يﺎﻫ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ياﺮﺑ ار
ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗﺎﺑدروآ ﺖﺳﺪﺑ )
2 ( ﺮﮕﻨﯾدوﺮﺷ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻪﮐ ﻪﺘﮑﻧ ﻦﯾا و
ﯽﻣ ﺰﯿﻧ لوا ﻪﺒﺗﺮﻣ ﻪﻠﻤﺟ ﮏﯾ ﻞﻣﺎﺷ مود ﻪﺒﺗﺮﻣ ﻖﺘﺸﻣ ﻪﻠﻤﺟ ﺮﺑ هوﻼﻋ ﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ ،ﺪﺷﺎﺑ يﺎﻫﺪﻟﻮﻣ زا ﯽﮑﯾ ناﻮﺗ ﯽﻣ ﻦ
) 1 , 1 ( ﻞﻣﺎﺷ ﻪﮐ ار su
ﯽﻧﻮﺘﻠﯿﻣﺎﻫ ناﻮﻨﻌﺑ ار ﺖﺳا ﺮﯿﻐﺘﻣ ﮏﯾ زا مود و لوا ﻪﺟرد ﺮﮕﻠﻤﻋ داد راﺮﻗ هدﺎﻔﺘﺳا درﻮﻣ .
يﺎﻫﺪﻟﻮﻣ
1 2 3, , رد ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ار
ﻢﯾﺮﯿﮔ ﯽﻣ ﺮﻈﻧ :
) 4 (
16 , ) ) ( ( ) ( )
(
4, ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( 1
16 , ) ) ( ( ) ( )
(
2 2
2 2 3 2
2 2
2 2 1
x x dx x d dx x d u
x i dx p x d u x
x x dx x d dx x d u
ﻪﮐ نآ رد :
) 5 (
), ( 2
) ) (
( ), ( 2 ) 1
( 2
2
x M
x x M
x x M
u
). 2 (
) ( ) ( ) 4
(
), ) (
( ) ) (
( ), ( ) 1 (
2 2 2
x g x p x u x p
x x u
u x x x p
x u
ﻂﺑاور رد )
4 ( و ) 5
p(x)
(x) (و
(x)
u(x) ﻊﺑاﻮﺗﻪﮑﻨﯾا ﻦﻤﺿ ،ﺪﻨﺷﺎﺑ ﯽﻣ ﯽﻫاﻮﺨﻟد ﺮﯾﺬﭘ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد g2
ﺖﺑﺎﺛ ﮏﯾ ﺰﯿﻧ
ﺖﺳا هاﻮﺨﻟد .
يﺎﻫﺪﻟﻮﻣ ﻪﮐ داد نﺎﺸﻧ ناﻮﺗ ﯽﻣ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻦﯾا ﻪﺑ )
4 ( رد
ﺮﺒﺟ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﻂﺑاور )
1 , 1 ( قﺪﺻ su ﯽﻨﻌﯾ ،ﺪﻨﻨﮐ ﯽﻣ :
) 6 (
1,2
i3,
2,3
i1,
3,1
i2.
ﺮﯿﻣزﺎﮐ ﺮﮕﻠﻤﻋ ﺮﮔا ترﻮﺻ ﻪﺑ ﻪﮐ ار C
2 1 2 2 2
3
C
ددﺮﮔ ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾدﺎﻘﻣ هﮋﯾو ناﻮﺗ ﯽﻣ هﺎﮕﻧآ ﻢﯾﺮﯿﮕﺑ ﺮﻈﻧ رد ار
ﺮﮕﻠﻤﻋ و ﺮﯿﻣزﺎﮐ ﺮﮕﻠﻤﻋ
3
ﺎﺑ ﻪﮐ ار وq
دﻮﺷ ﯽﻣ هداد ﺶﯾﺎﻤﻧN
ﺖﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ار :
) 7 (
, 4 ,
1 2 1 2 1
), 1 4 (
16 3
0 2
2
n E N g j
j
j g j
q
ﻪﮐ E0
و ﯽﻘﯿﻘﺣ دﺪﻋ ﮏﯾ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ ﺢﯿﺤﺻ ﺪﻋ ﮏﯾ n
. ا لﺎﺣ ﺮﮔ
ﻢﯾﺮﯿﮕﺑ ﺮﻈﻧ رد ار ﺮﯾز ﺮﮕﻠﻤﻋ :
) 8 (
, ) 2 8 (1 ) 2 8 (1
) ( )
( )
( )
(
3 1
2 2
2 2
b b
x b dx x
x d dx
x d
u
ياﺮﺑ يژﺮﻧا ﺮﯾدﺎﻘﻣ هﮋﯾو هﺎﮕﻧآ ﻞﮑﺷ نﺎﻤﻫ ﻊﻗاو رد ﻪﮐ
ﻪﻄﺑار ﯽﻠﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد )
2 ( ترﻮﺻ ﻪﺑ و دراد ار )
( )
(x x
دروآ ﺖﺳﺪﺑ ﺮﯾز ﻞﮑﺷ ﻪﺑ ناﻮﺗ ﯽﻣ ار ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ :
) 9 (
).
( 4 )
3 ( x
b
x
ﻦﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧرد ﺎﺑ نﻮﻨﮐا )
7 ( و ) (j j يژﺮﻧا ﺮﯾدﺎﻘﻣ هﮋﯾو ياﺮﺑ
ﺖﺷاد ﻢﯿﻫاﻮﺧ :
) 10 ( 4 ).
1 2 1 2 ( 1 4 ) (
4 b n j b n g2
ﻪﻟﺎﻘﻣ ﻪﻣﺎﻧ ﻪﻧﻻﺎﺳ ﺲﻧاﺮﻔﻨﮐ ي ناﺮﯾا ﮏﯾﺰﯿﻓ ي
1387
3
ﺮﮕﻠﻤﻋ ﯽﻠﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﻞﮑﺷ ﻪﮐ ﺎﺠﻧآ زا ﯿﺒﺷ ﺮﮕﻨﯾدوﺮﺷ ﻪﻟدﺎﻌﻣ و
ﻪ
ﺖﺷاد ﻢﯿﻫاﻮﺧ ار ﺮﯾز ﻂﺑاور ،ود ﻦﯾا ﻖﯿﺒﻄﺗ رد ﺪﻨﺘﺴﻫ ﺮﮕﯾﺪﮑﯾ :
) 11 (
4 ).
1 2 1 2 ( 1 4
), ( ) (
2 2
g n
b E
x x b V
n eff
مﺮﺟ ﺖﯿﻌﺑﺎﺗ ﻦﺘﺷاد ﺎﺑ ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ ناﻮﺗ ﯽﻣ M(x)
) (x u
، )
(x
، ) (x و ) (x دﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ مﺎﺠﻧاﺮﺳ و دروآ ﺖﺳﺪﺑار ﺎﻬﻧآ زا ه
ﻪﻟدﺎﻌﻣ ياﺮﺑ ﻪﻠﺌﺴﻣ ﺮﻫ رد ار يژﺮﻧا ﺮﯾدﺎﻘﻣ هﮋﯾو )
2 ( دﺮﮐ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ..
لﺎﺜﻣ :
ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ياﺮﺑ ﺮﮕﻨﯾدوﺮﺷ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻖﯿﻗد ﻞﺣ ندروآ ﺖﺳﺪﺑ ﻪﮐ ﺎﺠﻧآ زا ياﺮﺑ ياﺮﺑﺎﻨﺑ ،ﺖﺳا ﺮﯾﺬﭘ نﺎﮑﻣا ﯽﺻﺎﺧ ي هﺪﺷ ﻪﺘﺧﺎﻨﺷ يﺎﻫ نﺪﯿﺳر
ﺖﻓﺮﮔﺮﻈﻧرد ار مﺮﺟ زا ﯽﺻﺎﺧ يﺎﻫ ﺖﯿﻌﺑﺎﺗﺪﯾﺎﺑ دﻮﺼﻘﻣ ﻦﯾا ﻪﺑ .
ﺎﺑ
ﻢﯾﺮﺑ ﯽﻣ رﺎﮑﺑ ﺮﯾز لﺎﺜﻣ ياﺮﺑ ار قﻮﻓ شور ﻪﺘﮑﻧ ﻦﯾا ﻦﺘﻓﺮﮔﺮﻈﻧ رد :
) 12 ( )
( cosh )
(x 2 qx
M
رد ﻦﯿﻘﻘﺤﻣ زا ﯽﻀﻌﺑ ﻂﺳﻮﺗ نﺎﮑﻣ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو مﺮﺟ ﺖﯿﻌﺑﺎﺗ ﻦﯾا ﺖﺳا ﻪﺘﻓرﺎﮑﺑ هﺪﺷ يﺪﻨﺑ ﻪﺟرد يﺎﻫژﺎﯿﻟآ .
زا هدﺎﻔﺘﺳاﺎﺑ )
5 ( و ) 11 (
دﻮﺷ ﯽﻣ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ﺮﺛﻮﻣ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ :
).
( 2 cos
) ( 8 sec
)] 5 1 (
4 ) 1 ( 3 [ 2
) ( 8 sec
] 3 1 ) 1 (
2 [ 4
) ( 2 sinh ) (
2 2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
qx q ch
g
qx h q q
qx h q q
q qx x b V
) 13 (
ﺮﮔا ﯽﻨﻌﯾ ،دﻮﺷ هدﺮﺑرﺎﮑﺑ ﻞﯿﻧاد ﻦﺑ لﺪﻣ لﺎﺜﻣ ناﻮﻨﻋ ﻪﺑ
) 1 , 0 ( ﺖﺷاد ﻢﯿﻫاﻮﺧ هﺎﮕﻧآ
:
) 14 ( ), ( 2 cosh )
( 8 sec
5
) ( 8sec ) 3 ( 2 sinh ) (
2 2 2 4
2
2 2
2
q qx qx g
h q
qx h q qx
x b V
ﻪﻄﺑار زا ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ﻦﯾا ﻪﺑ طﻮﺑﺮﻣ يزﺮﻧا ﺮﯾدﺎﻘﻣ هﮋﯾو و )
11 ( ﺖﺳﺪﺑ
ﺪﯾآ ﯽﻣ . درﻮﻣ رد ﺖﺷاد ﻢﯿﻫاﻮﺧg=0
: )
15 ( ),
( 8 sec
5
) ( 8sec ) 3 ( 2 sinh ) (
4 2
2 2
2
qx h q
qx h q qx
x b V
زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﻪﮐ ﺖﺳا ﯽﻠﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ترﻮﺻ ﻪﺑ ﻞﺻﺎﺣ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ﻞﮑﺷ ﻊﺟﺮﻣ رد ﯽﯾادروﺎﻧ ﻞﮑﺷ شور )
10 ( ﺖﺳا هﺪﺷ ﯽﺳرﺮﺑ .
درﻮﻣ رد
ﻪﻄﺑار ﻖﺑﺎﻄﻣ ﺰﯿﻧ يژﺮﻧا )
11 ( ﻢﯾراد :
) 16 ( 2).
2 1 (
2
b n En
يﺪﺣ ﻂﯾاﺮﺷ رد )
0 (q ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ) 14 ( ﻪﺳ ﺮﮕﻧﺎﺳﻮﻧ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ﻪﺑ
ﯽﻨﻌﯾ ،دﻮﺷ ﯽﻣ لﺪﺒﺗ يﺪﻌﺑ :
) 17 ( 2 ,
2 )
( 2
2 2
x bx g x
V
درﻮﻣ ﻦﯾا رد نﺎﮑﻣ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو ﺮﺛﻮﻣ مﺮﺟ ﻪﺑ طﻮﺑﺮﻣ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ ﯽﻨﻌﯾ ﺖﺑﺎﺛ مﺮﺟ رد يﺪﻌﺑ ﻪﺳ ﺮﮕﻧﺎﺳﻮﻧ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ﻪﺑ M(x)=1
ﻞﯾﺪﺒﺗ
دﻮﺷ ﯽﻣ . ﺮﺒﺟ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو ﻪﺘﻓﺎﯾ ﻢﯿﻤﻌﺗ ﺮﮔﻻ يﺎﻬﯾا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ )
1 , 1 ( :su
رد ﻪﮐ ﺎﺠﻧآ زا ﻊﺟﺮﻣ
) 7 ( ﺎﺑ ﻒﯾﺮﻌﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا
M x dx
x) ( )
( نﺎﮑﻣ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو ﺮﺛﻮﻣ مﺮﺟ ﻪﻠﺌﺴﻣ ناﻮﺗ ﯽﻣ
ا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻦﯾا ﻪﺑ و ﺖﺧﺎﺳ ﻂﺒﺗﺮﻣ ﺖﺑﺎﺛ مﺮﺟ ﻢﺘﺴﯿﺳ ﻪﺑ ار ز
جﻮﻣ ﻊﺑاﻮﺗ و يژﺮﻧا ﻒﯿﻃ ،ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﻪﺑ ﺖﺑﺎﺛ مﺮﺟ ﺞﯾﺎﺘﻧ ﻒﻠﺘﺨﻣ يﺎﻬﯾا ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ سﺎﺳاﺮﺑ )
ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻪﺑ ﺮﮕﻨﯾدوﺮﺷ ﻪﻟدﺎﻌﻣ
صﺎﺧ ﻊﺑاﻮﺗ زا ﯽﯾﺎﻫ ﻞﺣ ﺎﺑ ﻦﮕﻤﻫ ﯽﻄﺧ مود ﻪﺟرد ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﺖﺳا هﺪﺷ ﻞﯾﺪﺒﺗ (.
و ﻪﺘﻓﺎﯾ ﻢﯿﻤﻌﺗ ﺮﮔﻻ ،ﯽﺑﻮﮐاژ يﺎﻬﯾا ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﻞﺜﻣ
ﺖﺧادﺮﭘ ﺖﯿﻣﺮﻫ .
ﻘﺑﺎﻄﻣ ﺎﺑ ﻪﮑﻨﯾا ﻦﻤﺿ هﺪﺷ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ يﺎﻫ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ﺖ
ﻪﮐ ﯽﻠﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ﻒﯾرﺎﻌﺗ ﺎﺑ ﺮﻈﻧ درﻮﻣ يﺎﻬﯾا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ زا درﻮﻣ ﺮﻫ رد ﯽﻟ ﺮﺒﺟ ماﺪﮐﺮﻫ ياﺮﺑ ناﻮﺗ ﯽﻣ ﺖﺳا ﻪﺘﻓررﺎﮑﺑ ﯽﻟ ﺮﺒﺟ شور رد دروآ ﺖﺳﺪﺑ ار نآ ﺎﺑ ﺐﯾﺎﻨﺘﻣ .
درﻮﻣ ﺮﺒﺟ يﺎﻫﺪﻟﻮﻣ ﮏﻤﮐﺎﺑ ﻪﺘﺒﻟا ﻪﮐ
ﺮﻫ رد يژﺮﻧا ﻒﯿﻃ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﻪﺑ نآ يراﺪﻘﻣ هﮋﯾو ﻒﯾرﺎﻌﺗ و ﺮﻈﻧ رﻮﻣ ﺖﺧادﺮﭘ د .
زا هﺪﻣآ ﺖﺳﺪﺑ ﺞﯾﺎﺘﻧ ﯽﺘﺴﯾﺎﺑ ﻪﮐ ﺖﺳا ﺮﮐذ ﻪﺑ مزﻻ
هﺪﻣآ ﺖﺳﺪﺑ ﺖﺑﺎﺛ مﺮﺟ ﻢﺘﺴﯿﺳ ﺎﺑ سﺎﯿﻗ شور زا ﻪﮐ ﻪﭽﻧآ ﺎﺑ ﺮﺒﺟ رد ﯽﺻﺎﺧ يﺮﺘﻣارﺎﭘ ﻒﯾرﺎﻌﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﻦﯾا و ﺪﺷﺎﺑ نﺎﺴﮑﯾ ،ﺖﺳا دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ ﺮﯾﺬﭘ نﺎﮑﻣا درﻮﻣ ﺮﻫ .
ﯾا رد ﻦﯾا ﺮﺑﺎﻨﺑ ﻨﭼ زا ﺮﮔا ،ﻪﻟﺎﻘﻣ ﻦ
ﺪ
يا ﻪﻠﻤﺟ ﺎﯾ ﻢﯿﻤﻌﺗ ﺮﮔﻻ
ﻪﺘﻓ ﻪﻟدﺎﻌﻣ رد )
1 ( هدﺎﻔﺘﺳا ﻦﯾا رد ،دﻮﺷ
ار ﺮﯾز ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ترﻮﺻ ﺖﺷاد ﻢﯿﻫاﻮﺧ
:
تﺎﯿﻠﮐ - ﯽﻫﺎﻔﺷ 4
) 18 (
), )] (
( [
) 1 ( 2
)]
( 2 [
) 1 2 ( 3 ) (
2
2 2
x x V
l l
x l
x V
رد درﻮﻣ ﻦﯾا :
) 19 (
), 2, , 5 2 ( 3 2,
1
l
l
ﯽﻣ نﺎﮑﻣ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو ﺮﺛﻮﻣ مﺮﺟ زا ﯽﺷﺎﻧ ﻪﮐ ﺮﺛﻮﻣ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ نآ رد و ﺎﺑ ﺖﺳا ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ﺪﺷ :
) 20 (
], ) 4( [ 7
8
1 2
M M M
M
Vm M
ﺮﺛﻮﻣ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ﻞﺻﺎﺣ
ﻪﻄﺑار زا ) 20 ( ﺎﺑ رد ﺮﺛﻮﻣ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ﻪﻄﺑار
) 11 (
ﺖﺷاد ﺪﻨﻫاﻮﺧ ﯽﻧﺎﺴﮑﯾ ﺞﯾﺎﺘﻧ .
ﻪﺑ رﻮﺑﺰﻣ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ياﺮﺑ جﻮﻣ ﻊﺑﺎﺗ
ترﻮﺻ ﺮﯾز
ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ
:
, )]
( [ )) 2 (
exp( 1 )]
( [ )]
( [ )
( 2 2
1 2
4 1 1
x L
x x
x M
x l ln
) 21 (
ﻪﻄﺑار ﻖﺒﻃ ﻪﮐ ﺎﺠﻧآ زا )
5 ( ﻪﮐ ﺖﻓﺮﮔ ﻪﺠﯿﺘﻧ ناﻮﺗ ﯽﻣ )
(x و
)
(x زا ﯽﻬﺑﺎﺸﻣ ﺖﯿﻌﺑﺎﺗ ﺖﻓﺮﮔ ﻪﺠﯿﺘﻧ ناﻮﺗ ﯽﻣ ،ﺖﺷاد ﺪﻨﻫاﻮﺧ x
ﻪﻄﺑار ود ﻪﮐ )
18 ( و ) 20 ( ﺪﻨﻨﮐ ﯽﻣ ﻞﺻﺎﺣ ار ﯽﻧﺎﺴﮑﯾ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ .
ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ ﺮﺒﺟ يﺎﻫﺪﻟﻮﻣ ناﻮﺗ ﯽﻣ )
1 , 1 ( ﻪﻄﺑار زا ار su )
4 ( ﻦﯾا ياﺮﺑ
ﺖﺧادﺮﭘ يژﺮﻧا ﺮﯾدﺎﻘﻣ هﮋﯾو ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﻪﺑ و دﺮﺑرﺎﮑﺑ ﻪﻠﺌﺴﻣ .
لﺎﺜﻣ : دﺮﺑ رﺎﮑﺑ ناﻮﺗ ﯽﻣ ﺮﯾز لﺎﺜﻣ ياﺮﺑ ار هداد حﺮﺷ شور .
) 22 (
), 0 ,
0 ( , )
(x e q x
M qx
ﻪﻄﺑار زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ )
5 ( د يراﺬﮕﯾﺎﺟ و ﻪﻄﺑار ر
) 11 ( ﺖﺷاد ﻢﯿﻫاﻮﺧ :
) 23 (
8 , 32
3 ) 8
(
2 2 2
2
qx qx
qx q g e
e q q e
x b
V
ﻪﻄﺑار زا هدﺎﻔﺘﺳاﺎﺑ )
20 ( يراﺬﮕﯾﺎﺟ و )
22 ( رد ) 18 ( ﻪﺑ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ
دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ ﺮﯾز ترﻮﺻ :
) 24 (
32 , 3 8
) 1 (
) 2 2 ( 3 ) (
2 2
2 2
qx qx
qx
e q l e
l q
q e l
x V
ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ ﺎﺑ )
23 ( و ) 24 ( ﺖﺷاد ﻢﯿﻫاﻮﺧ :
) 25 (
), 1 ( 4 ,
1 2 2
g l l
b
يراﺬﮕﯾﺎﺟ ﺎﺑ )
25 ( رد ) 11 ( ﺮﺒﺟ رد يژﺮﻧا راﺪﻘﻣ هﮋﯾو )
1 , 1 ( ﻪﺑ su
دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ ﺮﯾز ترﻮﺻ :
)
26 (
) ,
2 ( 3
2
n l
En
ﺷ ﯽﻣ هﺪﻫﺎﺸﻣ ﻪﮐ رﻮﻄﻧﺎﻤﻫ ﯽﺗرﻮﺻ نﺎﻤﻫ ﻪﺑ يژﺮﻧا ﺮﯾدﺎﻘﻣ هﺰﯾو ،دﻮ
رد ﻪﮐ ﻊﺟﺮﻣ ) 5 ( ﺪﻣآ ﺖﺳﺪﺑ ،دﻮﺑ هﺪﺷ ﻞﺻﺎﺣ .
رد توﺎﻔﺗ ﺎﻬﻨﺗ
ﻪﻠﻤﺟ
2) (l3
دﻮﺟو ﺮﻃﺎﺧ ﻪﺑ ﻪﻠﻤﺟ ﻦﯾا نﺪﺷ ﺮﻫﺎﻇ ﻪﮐ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ
ﻪﻄﺑار رد ﯽﻔﻨﻣ ﺖﻣﻼﻋ ﺎﺑ يا ﻪﻠﻤﺟ ﻦﯿﻨﭼ )
18 ( ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ .
ياﺮﺑ
ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ) 24 ( دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ جﻮﻣ ﻊﺑﺎﺗ :
) 27 (
).
( 2 )
exp( 1 )
( 2
1 4
) 1 2 (
l qx n qx x
l q
e L e e
x
يﺮﯿﮔ ﻪﺠﯿﺘﻧ
:
ﺮﺒﺟ دﺮﺑرﺎﮐ ﻪﻟﺎﻘﻣ ﻦﯾا رد )
1 , 1 ( ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻞﺣ رد su ﮏﯾ ﺮﮕﻨﯾدوﺮﺷ
ﻪﺑ و ﺖﻓﺮﮔ راﺮﻗ ﺚﺤﺑ درﻮﻣ نﺎﮑﻣ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو ﺮﺛﻮﻣ مﺮﺟ ﺎﺑ يﺪﻌﺑ ﺎﺑ صﺎﺧ يﺎﻫ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ﺎﺑ ﺮﻇﺎﻨﺘﻣ ﻖﯿﻗد ﻒﯿﻃ ﯽﻟ ﺮﺒﺟ شور ﮏﻤﮐ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺪﺷ ﻪﺋارا مﺮﺟ ﺖﯿﻌﺑﺎﺗ .
مﺮﺟ ياﺮﺑ توﺎﻔﺘﻣ ﻊﺑاﻮﺗ بﺎﺨﺘﻧا ﺎﺑ
دروآ ﺖﺳﺪﺑ ار توﺎﻔﺘﻣ يﺎﻫ ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ ناﻮﺗ ﯽﻣ ،نﺎﮑﻣ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو .
ﻪﮐ ﻦﯾا ﻦﻤﺿ ﯽﻟ ﺮﺒﺟ دﺮﺑرﺎﮐ
) 1 , 1 ( ﺪﻨﭼ ﻞﺜﻣ صﺎﺧ ﻊﺑاﻮﺗ ياﺮﺑ su
ﯽﻣ ﻪﮐ ﺪﺷ هداد نﺎﺸﻧ و ﺪﺷ ﯽﺳرﺮﺑ ﻪﺘﻓﺎﯾ ﻢﯿﻤﻌﺗ ﺮﮔﻻ يﺎﻬﯾا ﻪﻠﻤﺟ يﺎﻫ ﻞﺣ ياﺮﺑ ناﻮﺗ ﺖﺑﺎﺛ مﺮﺟ ﺎﺑ ﻖﺑﺎﻄﺗ شور ﺎﺑ ﺮﮕﻨﯾدوﺮﺷ ﻪﻟدﺎﻌﻣ
ﻊﺑاﻮﺗ ياﺮﺑ يژﺮﻧا ﺮﯾدﺎﻘﻣ هﮋﯾو ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﻪﺑ ﯽﺻﺎﺧ ﺮﺒﺟ يﺮﯿﮔرﺎﮑﺑ ﺎﺑ ﺖﺧادﺮﭘ ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ يﺎﻬﯾا ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ سﺎﺳا ﺮﺑ جﻮﻣ .
ﺎﻫ ﻊﺟﺮﻣ :
[1].Bendanial D. and Dukh C.
J.Phys.Rev.152(1966)683.
[2].Bastard G.Wave mechanics applied to semiconductor hetero structures, Les Editions de Physique, Les ulis, France(1988)
[3].Bessis D. and Mezincescu G. Microelectronicy30 (1999)953.
[4].Milanovic V. and
Tkonic,Phys.Rev.B54(1996)1998.
[5].Quesne C. and Tkachuk V.
J.Phys.A:Math.Gen.37(2004)4267.
[6]Jafarizadeh M. A and Fakhri H.Ann.
Phys.(N.Y)266(1998)178.
[7]JU Guo-Xin, and etal.arXiv:quant- ph/o601004v1(2005).
[8].Von Roos G.Phys.Rev.B247547(1983).
[9].Roy B. and Roy P.J.Phys. A: Math. Gen. 35 (2002) 3961-3969.
[10].Samani K. and Loran F.arXiv: quanta- ph\0302191v1
