( ﻣﻘﺪﻣﻪ اي ﺑﺮ ﺗﻔﺎﺿﻞ ﻣﺤﺪود ) ﻣﯿﺎﻧﯿﺎﺑﯽ ﻧﻘﺎﻃﯽ ﺑﺎ ﻓﻮاﺻﻞ ﯾ

Advanced Numerical Methods 127

نﺎﺴﮑﯾ ﻞﺻاﻮﻓ ﺎﺑ ﯽﻃﺎﻘﻧ ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ )

دوﺪﺤﻣ ﻞﺿﺎﻔﺗ ﺮﺑ يا ﻪﻣﺪﻘﻣ (

x₀ ^h x₁ ^h x₂ ^h x₃ ^h x_n



0 1



^{1 0} 0

0 1 0

1

( ) ( ) 1

, ( )

( ) ( ) ( )

( )_i ( _i ) ( )_i f x f x

f x x f x

h h

f x f x f x f x f x_ f x

   

  

  

1^stForward Difference

طﺎﻘﻧ ﻦﯿﺑ ﻪﻠﺻﺎﻓ

نﺎﺴﮑﯾ ﻞﺻاﻮﻓ ﺎﺑ ﯽﻃﺎﻘﻧ ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ

   

0 1

2

0 1 2 1 0 0

( ) ( )

1 1

, , ( ) ( ) ( )

2 2! 2!

f x f x

h h

f x x x f x f x f x

h h h

 



  ₂    ₂

2^ndForward Difference

Advanced Numerical Methods 129

نﺎﺴﮑﯾ ﻞﺻاﻮﻓ ﺎﺑ ﯽﻃﺎﻘﻧ ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ

nth Forward Difference

ﯽﻟوﺪﺟ ﻞﮑﺷ Forward Finite Difference

x_i f_i

Δf_i

x_i+1 f_i+1 Δ²f_i

Δf_i+1 Δ³f_i

x_i+2 f_i+2 Δ²f_i+1

Δf_i+2 x_i+3 f_i+3

نﺎﺴﮑﯾ ﻞﺻاﻮﻓ ﺎﺑ ﯽﻃﺎﻘﻧ ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ

Newton Gregory Forward Formula

2

1 1 2 1 1

( ) ( )

2

i i i i i i i i i i

f f f f f f f f f f

f f f

    

              

  

ﺮﮐﺬﺗ

:

Advanced Numerical Methods 131

نﺎﺴﮑﯾ ﻞﺻاﻮﻓ ﺎﺑ ﯽﻃﺎﻘﻧ ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ

ﺐﻘﻋ ﻪﺑ فﻼﺘﺧا )

Backward Difference (

 

 

 

1 0

0 1 0 1

2 1

2 1 2 2

2 1

1 1

, , , 1

2! 2!

,..., , , 1

n!

i i

i i i i

n

i n i i i n i

f f

f x x f f

h h h

f f

f x x x f

h h

f x x x x f

h



 

  

     

  

  

 

1^stBackward Difference 2^ndBackward Difference

Advanced Numerical Methods 133

لوﺪﺟ Divided Difference

1

( )_{i i}

i i i

f x f

f f f_



  

ﻒﯾﺮﻌﺗ :

x_i-3 f_i-3 x_i-2 f_i-2 x_i-1 f_i-1

x_i f_i

2 3

1 1 2

2 3

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ....

2! 3!

i i i

n i i i i i i i

f f f

f x f x x x x x x x x x x x x

h h ^ h ^{ }

  

          

Backward Difference

fi



1

fi_



2

fi_



2

fi



2 1

fi_



3

fi



يﺰﮐﺮﻣ فﻼﺘﺧا )

Central Difference (

 

 

 

 

 

1 0

0 1 0 1 1

2

0 1

1 0 1 0 1

2

1 1

2

2 2

1 0 1 2 2 0

2 2

2 1

1 2 1 1

2

1 1 1

,

1 1 1

,

, , 1

2! 2!

,..., ,..., 1

(2 n)!

,..., ,..., 1

(2 n 1)!

n

i n i i n n i

n

i n i i n n i

f f

f x x f f f

h h h h

f f

f x x f f f

h h h h

f f

f x x x f

h h

f x x x f

h

f x x x f

h





 









 







 



    

      

      



 



 

ﺪﺷﺎﺑ دﺮﻓ طﺎﻘﻧ داﺪﻌﺗ ﺮﮔا ﺪﺷﺎﺑ جوز طﺎﻘﻧ داﺪﻌﺗ ﺮﮔا

Advanced Numerical Methods 135

لوﺪﺟ Divided Difference

x_i-2 f_i-2

δf_i-3/2

x_i-1 f_i-1 δ²f_i-1

δf_i-1/2 δ³f_i-1/2

x_i f_i δ²f_i δ⁴f_i

δf_i+1/2 δ³f_i+1/2

x_i+1 f_i+1 δ²f_i+1

δf_i+3/2 x_i+2 f_i+2

Central Difference

2 3

1/ 2 1/ 2

1 1 1

2 3

4

1 1 2

4

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

2! 3!

( )( )( )( )

4!

i i i

n i i i i i i i

i

i i i i

f f f

f x f x x x x x x x x x x x x

h h h

f x x x x x x x x

h

  



 

  

  

         

    

لﺎﺜﻣ

ﻪﺟرد يﺰﮐﺮﻣ ﺐﯾﺮﻘﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ  2

ﻊﺑﺎﺗ مود و لوا ﻖﺘﺸﻣ ﻪﻄﻘﻧ رد ارf

x_i ﺪﯿﻨﮐ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ .

x_i-1 f_i-1

δf_i-1/2

x_i f_i δ²f_i

δf_i+1/2 x_i+1 f_i+1

2 1/ 2

2 1

2 2

1/ 2 1/ 2 1 1

2 1

2 2

1 1

2 2 2

( ) ( ) ( )( )

2!

(2 )

2 2

2!

2

i i

n i i i i

i i i i i i

i i

i h i

i i i i

i

f f

f x f x x x x x x

h h

f f f f f f

df df

x x x

dx h h dx h h h

f f f f

d f

dx h h

 

   







   





 

     

        

 

 



Advanced Numerical Methods 137

رﻮﻠﯿﺗ يﺮﺳ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ تﺎﻘﺘﺸﻣ ﺐﯾﺮﻘﺗ

2 3

1

2 3

1

( ) ...

2! 3!

( ) ...

2! 3!

i i i i i i

i i i i i i

h h

f x h f f hf f f

h h

f x h f f hf f f





  

      

  

      

ﺮﮔا ﻢﯿﻫاﻮﺨﺑ ﻖﺘﺸﻣ لوا ارf رد x_i ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ

،ﻢﯿﻨﮐ هﺎﮕﺘﺳد ﯽﺗﻻدﺎﻌﻣ زا

ﻂﺑاور قﻮﻓ ﻞﯿﮑﺸﺗ

.ﻢﯿﻨﮐﯽﻣﻢﮐﻢﻫزاارقﻮﻓﻂﺑاورﻦﯿﻓﺮﻃ.ﺪﻫدﯽﻣارﻖﺘﺸﻣراﺪﻘﻣنآﻞﺣﻪﮐدﻮﺷﯽﻣ

3

1 1 2 ( )

i i i

f_  f_  hfO h ^{1 1} ( ²)

2

i i

i

f f

f O h

h

  

  

1-2

1 2

2 4

1 1 2 ( )

i i i i

f_  f_  f h fO h ¹ 2₂ ^{1 2}

( )

i i i

i

f f f

f O h

h

   

  

1+2

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﮋﻧاﺮﮔﻻ ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ يا

)

Lagrange Interpolation Polynomials

(

ﻦﯾا شور رد ﻊﻗاو نﻮﯿﺳﻻﻮﻣﺮﻓ يﺮﮕﯾد

زا نﺎﻤﻫ شور ﻦﺗﻮﯿﻧ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ ﻪﮐ رد نآ

ﻪﺑ . ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻤﻧزﺎﯿﻧتﺎﻘﺘﺸﻣﻪﺒﺳﺎﺤﻣ

ﺪﻨﭼ يا ﻪﻠﻤﺟ ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ ﻪﺒﺗﺮﻣ

ردn ﻦﯾا شور ﻪﺑ ﻞﮑﺷ ﺮﯾز ﻪﺘﺷﻮﻧ دﻮﺷ ﯽﻣ :







n

i

i i

n

x L x f x

f

0

) ( ) ( )

(









 

n

i j

j i j

j

i

x x

x x x

L

0

) (

ﺪﻨﭼ يا ﻪﻠﻤﺟ ﯽﻄﺧ ﮋﻧاﺮﮔﻻ ﯽﻄﺧ) ﻪﮐ زا x₁ و x₀ درﺬﮔ ﯽﻣ :(

) ( )

( )

(

₁

0 1

0 0

1 0

1

1

f x

x x

x x x

x f x

x x x

f 

 



 

Advanced Numerical Methods 139

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﮋﻧاﺮﮔﻻ ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ يا

ﺪﻨﭼ يا ﻪﻠﻤﺟ ﻪﺒﺗﺮﻣ

مود ﮋﻧاﺮﮔﻻ :

  

  

  

  

  

   ( )

) ( )

( )

(

2 1

2 0 2

1 0

1 2

1 0 1

2 0

0 2

0 1 0

2 1

2

x x f

x x x

x x x x

x x f

x x x

x x x x x

x f x x x

x x x x x

f







 







 







 

L₀

ﺮﻫ ﻪﻠﻤﺟ L_i رد ﻪﻄﻘﻧ x=x_i ﺮﺑاﺮﺑ 1 و رد طﺎﻘﻧ ﺮﮕﯾد ﺮﺑاﺮﺑ 0 ﺪﻫاﻮﺧ دﻮﺑ . ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ

بﺮﺿ (x)f(x_i) L_i

رد ﻪﻄﻘﻧ x_i ﺮﺑاﺮﺑ f(x_i) ﺖﺳا .

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﮋﻧاﺮﮔﻻ ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ يا

: لﺎﺜﻣ

بﻮﻠﻄﻣ ﺖﺳا ﻞﯿﮑﺸﺗ ﺪﻨﭼ يﺎﻫ يا ﻪﻠﻤﺟ ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ

ﻪﺒﺗﺮﻣ 1 و 2 ﮋﻧاﺮﮔﻻ ياﺮﺑ

lnx ﺪﻨﭼ ﻦﯾا زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑار Ln2 . x₀=1, x₁=4, x₂= 6, زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﺎﻫ يا ﻪﻠﻤﺟ

ﻦﯿﻤﺨﺗ ﺪﯿﻧﺰﺑ .

791759 .

1 ) ( , 6

386294 .

1 ) ( , 4

0 ) ( , 1

2 2

1 1

0 0













x f x

x f x

x f x

4620981 .

0 ) 2 (

) 386294 .

1 1( 4 ) 1 0 4 ( 1 ) 4 ( )

( )

(

1

1 0 1 1

0 1 1





 



 



 



 

f

x x x

x f x

x x x

x f x

x x x

f _o ^o







n

i

i i

n

x L x f x

f

0

) ( ) ( )

(





 

 

n

i j

j i j

j

i x x

x x x

L

0

) (

ﻪﺒﺗﺮﻣ ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ 1

ﮋﻧاﺮﮔﻻ

Advanced Numerical Methods 141

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﮋﻧاﺮﮔﻻ ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ يا

: لﺎﺜﻣ

ﻪﺒﺗﺮﻣ ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ 2

ﮋﻧاﺮﮔﻻ

5658444 .

0 ) 2 2 (

) 791760 .

1 ) ( 4 6 )(

1 6 (

) 4 )(

1 (

) 386294 .

1 ) ( 6 4 )(

1 4 (

) 6 )(

1 ) (

0 ) ( 6 1 )(

4 1 (

) 6 )(

4 (

) ) (

)(

(

) )(

(

) ) (

)(

(

) )(

) ( ) (

)(

(

) )(

) ( 2 (

2 1

2 0 2

1 0

1 2

1 0 1

2 0

0 2

0 1 0

2 1









 







 







 







 







 







 

f

x x

x x

x x

x x f

x x x

x x x x

x x f

x x x

x x x x x

x f x x x

x x x x x

f

ﻦﺗﻮﯿﻧ ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ يا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ زا ﮋﻧاﺮﮔﻻ شور ﻢﯿﻘﺘﺴﻣ جاﺮﺨﺘﺳا

نﻮﺗﻮﯿﻧ لوا ﻪﺒﺗﺮﻣ يا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ

ﮋﻧاﺮﮔﻻ لوا ﻪﺒﺗﺮﻣ يا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ ) )(

( ) ) (

( )

( ₀

0 1

0 1

0

1 x x

x x

x f x x f

f x

f 



 



) ) (

) ( ) (

) ( ( )

( ₀

0 1

0 0

0 1

1 0

1 x x

x x

x x f

x x x

x x f

f x

f 

 

 





) ( )

) ( (

1 0 1

0 0

0 1

0 0

1 f x

x x

x x x

x f x

x x x x



 







 

) ( )

(

₁

0 1

0 0

1 0

1

f x

x x

x x x

x f x

x x



 



 

Advanced Numerical Methods 143

يا ﻪﻌﻄﻗ ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ )

Piecewise Interpolation

(

ﯽﺘﻗو داﺪﻌﺗ طﺎﻘﻧ دﺎﯾز ﺪﻨﺷﺎﺑ ﮏﯾ ﺪﻨﭼ يا ﻪﻠﻤﺟ ﻪﺒﺗﺮﻣ ﻻﺎﺑ ﻞﺻﺎﺣ دﻮﺷ ﯽﻣ ﻪﮐ ﻦﮑﻤﻣ

هﺪﺷهدادداﺪﻋاردﯽﻤﮐﺮﯿﯿﻐﺗ وهدﻮﺑﯽﻧﺎﺳﻮﻧًﺎﺗاذﺎﻫيا ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼﻦﯾا. ﺪﺷﺎﺒﻧبﻮﻠﻄﻣﺖﺳا ﺪﻧاﻮﺗ ﯽﻣ نﺎﺳﻮﻧ يدﺎﯾز دﺎﺠﯾا ﺪﻨﮐ . ياﺮﺑ ﻞﺣ ﻦﯾا ﻞﮑﺸﻣ زا ﮏﯾ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﺪﻨﭼ

يﺎﻫ يا ﻪﻠﻤﺟ

. دﻮﺷ ﯽﻣهدﺎﻔﺘﺳاﻦﯿﯾﺎﭘﻪﺒﺗﺮﻣ

يا ﻪﻌﻄﻗ ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ

رد شور يﺎﻫ ﯽﻠﺒﻗ ﮏﯾ ﺪﻨﭼ يا ﻪﻠﻤﺟ ﻪﺒﺗﺮﻣ زاn ﻪﻄﻘﻧn+1 رﻮﺒﻋ هداد ﺪﺷ ﯽﻣ .

رد شور يا ﻪﻌﻄﻗ زا ﺮﯾز يا ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ زا

طﺎﻘﻧ ﺪﻨﭼ يﺎﻫ يا ﻪﻠﻤﺟ ﻪﺒﺗﺮﻣ

ﺮﺗ ﻦﯿﯾﺎﭘ رﻮﺒﻋ

.ﻢﯿﻫد ﯽﻣ

ﻦﯾا

،شور شور Spline ﺰﯿﻧ

هﺪﯿﻣﺎﻧ دﻮﺷ ﯽﻣ .

Spline  ترﺎﺒﻋ

ﺖﺳا زا يراﻮﻧ ﻞﺑﺎﻗ فﺎﻄﻌﻧا ﻪﮐ ياﺮﺑ ﻢﺳر حﻮﻄﺳ هﺪﯿﻤﺧ زا نآ هدﺎﻔﺘﺳا

.دﻮﺷ ﯽﻣ

Advanced Numerical Methods 145

يا ﻪﻌﻄﻗ ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ

يﺎﻫ ﻞﮑﺷ ﻒﻠﺘﺨﻣ

Spline Spline ﯽﻄﺧ

Spline ود ﻪﺒﺗﺮﻣ

Spline ﯽﺒﻌﮑﻣ

) ﻪﺒﺗﺮﻣ 3 (

Spline ﯽﻄﺧ

ﻦﯾﺮﺗ هدﺎﺳ هار

لﺎﺼﺗا ﻦﯿﺑ ود ﻪﻄﻘﻧ هدﺎﻔﺘﺳا زا

ﻂﺧ ﺖﺳار ﺖﺳا .

ﻂﺧ ﺐﯿﺷ

Advanced Numerical Methods 147

Spline

ياﺮﺑ نﺎﻨﯿﻤﻃا زا ﻪﮐ ﻦﯾا يﺎﻫ ﻖﺘﺸﻣ ﻪﺒﺗﺮﻣ

رد m طﺎﻘﻧ درﻮﻣ ﺮﻈﻧ ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ

،ﺪﻨﺷﺎﺑ ﺪﯾﺎﺑ زا

.دﺮﮐهدﺎﻔﺘﺳاm+1ﻞﻗاﺪﺣﻪﺒﺗﺮﻣ ﺎﺑيا ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼﮏﯾ

رد ﻞﻤﻋ ﺮﺘﺸﯿﺑ زا Spline يﺎﻫ

ﻪﺒﺗﺮﻣ 3 ﻪﮐ رد ﺎﻫ نآ يﺎﻫ ﻖﺘﺸﻣ لوا

و مود ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ

(Cubic Splines). دﻮﺷ ﯽﻣهدﺎﻔﺘﺳاﺪﻨﻧﺎﻣ ﯽﻣ

ﻪﭼﺮﮔا رد ﻦﯾا ﺖﻟﺎﺣ يﺎﻫ ﻖﺘﺸﻣ ﻪﺒﺗﺮﻣ

مﻮﺳ و ﺮﺗﻻﺎﺑ ﻦﮑﻤﻣ ﺖﺳا ﻪﺘﺳﻮﯿﭘﺎﻧ

،ﺪﻨﺷﺎﺑ ﺎﻣا

.ﺪﻧراﺪﻧﺞﯾﺎﺘﻧيورﺮﺑيﺮﯿﮔ ﻢﺸﭼﺮﯿﺛﺎﺗﺎﻫ ﯽﮕﺘﺳﻮﯿﭘﺎﻧﻦﯾاًﻻﻮﻤﻌﻣ

Spline ود ﻪﺒﺗﺮﻣ

) Quadratic Spline (

ﻦﯾا عﻮﻧ spline ﺎﻫ ياراد ﻖﺘﺸﻣ ﻪﺒﺗﺮﻣ لوا ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ رد طﺎﻘﻧ درﻮﻣ ﺮﻈﻧ ﺪﻨﺘﺴﻫ .

رد درﻮﻣ ﯽﮕﺘﺳﻮﯿﭘ ) يﺮﺑاﺮﺑ ( يﺎﻫ ﻖﺘﺸﻣ مود

ﯽﻨﯿﻤﻀﺗ دﻮﺟو دراﺪﻧ .

فﺪﻫ زا spline ﻪﺒﺗﺮﻣ ود ﺖﺳد ﻪﺑ ندروآ

ﮏﯾ ﺪﻨﭼ يا ﻪﻠﻤﺟ ﻪﺒﺗﺮﻣ

ود ياﺮﺑ

ﺮﻫ .ﺖﺳاطﺎﻘﻧﻦﯿﺑﻪﻠﺻﺎﻓ

Advanced Numerical Methods 149

ﻞﯿﮑﺸﺗ ﻞﺣاﺮﻣ Spline

ود ﻪﺒﺗﺮﻣ

رد ﺖﻟﺎﺣ ﯽﻠﮐ ياﺮﺑ ﻪﻄﻘﻧ n+1

ﻪﻠﺻﺎﻓ n دﻮﺟو دراد . ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ ياﺮﺑ spline ﻪﺒﺗﺮﻣ

،ود

لﻮﻬﺠﻣ3n ﻢﯿﻫاﻮﺧ ﺖﺷاد و ﻪﺑ ﻪﻟدﺎﻌﻣ3n زﺎﯿﻧ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ .

1 - ﻊﺑاﻮﺗ ﺪﯾﺎﺑ رد طﺎﻘﻧ ﯽﻠﺧاد راﺪﻘﻣ يوﺎﺴﻣ ﻪﺘﺷاد ﺪﻨﺷﺎﺑ :

 



₁



1 2

1

1 1

1 1 2

1 1































i i

i i i

i

i i

i i i

i

x f c x

b x

a

x f c

x b x

a

ﺮﮔا ﻪﻄﻘﻧn+1

ﻪﺘﺷاد

،ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﻄﻘﻧn-1

ﯽﻠﺧاد ﻢﯿﻫاﻮﺧ ﺖﺷاد .

ياﺮﺑ ﻪﻄﻘﻧn-1

،ﯽﻠﺧاد 2(n-1)= 2n-2 ﻪﻟدﺎﻌﻣ

ﻞﺻﺎﺣ دﻮﺷ ﯽﻣ .

2 - ﻊﺑاﻮﺗ لوا و ﺮﺧآ ﺪﯾﺎﺑ زا طﺎﻘﻧ يزﺮﻣ ﺪﻧرﺬﮕﺑ . 2 ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺮﮕﯾد ﻞﺻﺎﺣ دﻮﺷ ﯽﻣ :

 

 

_n

n n n n

n

x b x c f x

a

x f c x b x a













2

0 1

0 1 2 0 1

نﻮﻨﮐﺎﺗ ﻪﻟدﺎﻌﻣ2n

ﺖﺳد ﻪﺑ هﺪﻣآ ﺖﺳا .

ﻞﯿﮑﺸﺗ ﻞﺣاﺮﻣ Spline

ود ﻪﺒﺗﺮﻣ

3 - ﻖﺘﺸﻣ لوا ﻊﺑاﻮﺗ رد طﺎﻘﻧ ﯽﻠﺧاد ﺪﯾﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ ﺪﻨﺷﺎﺑ .

زا ﻦﯾا ﻪﻠﺣﺮﻣ ﺰﯿﻧ ﻪﻟدﺎﻌﻣn-1 ﻞﺻﺎﺣ دﻮﺷ ﯽﻣ . ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ ﮏﯾ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺮﮕﯾد زﺎﯿﻧ ﺖﺳا .

4 - ﺮﮔا ﺖﻋﻼﻃا ﯽﻓﺎﺿا

ًﻼﺜﻣ زا ﻊﺑﺎﺗ ﺎﯾ ﻖﺘﺸﻣ نآ رد ﮏﯾ ﻪﻄﻘﻧ ﻪﺘﺷاﺪﻧ

،ﻢﯿﺷﺎﺑ

ﺪﯾﺎﺑ .ﻢﯿﺷﺎﺑﻪﺘﺷادﯽﻫاﻮﺨﻟدبﺎﺨﺘﻧاﮏﯾ

ﺪﺷﺎﺑ ﺮﻔﺻ لوا ﻪﻄﻘﻧ رد مود ﻖﺘﺸﻣ ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ًﻼﺜﻣ .

ﻦﯾا طﺮﺷ ﻪﺑ نآ ﯽﻨﻌﻣ ﺖﺳا ﻪﮐ ود ﻪﻄﻘﻧ لوا ار ﺎﺑ ﻂﺧ ﺖﺳار ﻪﺑ ﺮﮕﯾﺪﮑﯾ ﻞﺼﺘﻣ ﻢﯿﻨﮐ .

i i

i i

i

i

x b a x b

a

_{1 1}



_1

 2

_1

 2

1

 0

a

Advanced Numerical Methods 151

Spline ود ﻪﺒﺗﺮﻣ

: لﺎﺜﻣ

ﺮﺑ يﺎﻫ هداد دﻮﺟﻮﻣ

رد لوﺪﺟ ﺮﯾز ﮏﯾ Spline ﻪﺒﺗﺮﻣ

مود شزاﺮﺑ هدﺮﮐ و زا نآ

ياﺮﺑ .ﺪﯿﻨﮐهدﺎﻔﺘﺳاx=5ردﻊﺑﺎﺗراﺪﻘﻣﻪﺒﺳﺎﺤﻣ

ﻪﺑ يازا 4 ﻪﻄﻘﻧ هداد هﺪﺷ 3 ﻪﻠﺻﺎﻓ ﯽﻧﺎﯿﻣ دﻮﺟو دراد

.ﺪﻧﻮﺷﻦﯿﯿﻌﺗﺪﯾﺎﺑلﻮﻬﺠﻣ3(3)= 9ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ

x f(x)

3 2.5

4.5 1.0

7 2.5

9 0.5

لوا مﺎﮔ : ﻊﺑﺎﺗ ﺮﯾدﺎﻘﻣ يوﺎﺴﺗ

ﻪﮐ ﯽﻧﺎﯿﻣ طﺎﻘﻧ رد 4

= 2 - ) 3 (

2 .ﺪﻫد ﯽﻣ ﺖﺳد ﻪﺑ طﺮﺷ

Spline ود ﻪﺒﺗﺮﻣ

: لﺎﺜﻣ

مﺎﮔ مود : ﻦﯿﯿﻌﺗ راﺪﻘﻣ ﻊﺑاﻮﺗ

رد طﺎﻘﻧ يزﺮﻣ ﻪﮐ 2

طﺮﺷ .ﺪﯾآ ﯽﻣﺖﺳد ﻪﺑ

مﺎﮔ مﻮﺳ : لﺎﻤﻋا طﺮﺷ ﯽﮕﺘﺳﻮﯿﭘ

تﺎﻘﺘﺸﻣ لوا

رد طﺎﻘﻧ ﯽﻧﺎﯿﻣ

ﻪﮐ طﺮﺷ 4-2= 2 ﻪﺑ ﺮﺠﻨﻣ

ﺮﮕﯾد .دﻮﺷ ﯽﻣ

مﺎﮔ مرﺎﻬﭼ : ﻖﺘﺸﻣ مود رد

ﻪﻄﻘﻧ . ﺪﺷﺎﺑﺮﻔﺻلوا

1

 0 a

ﺎﺑ ﻦﯿﯿﻌﺗ ﻖﯿﻗد a₁ داﺪﻌﺗ تﻻﻮﻬﺠﻣ ﻪﺑ

8 دﺪﻋ ﺶﻫﺎﮐ ﺪﺑﺎﯾ ﯽﻣ . ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ ﺪﯾﺎﺑ 8 ﻪﻟدﺎﻌﻣ

ار .دﺮﮐﻞﺣنﺎﻣز ﻢﻫرﻮﻃ ﻪﺑ

Advanced Numerical Methods 153

Spline ود ﻪﺒﺗﺮﻣ

: لﺎﺜﻣ

ﺎﺑ ﻞﺣ هﺎﮕﺘﺳد تﻻدﺎﻌﻣ قﻮﻓ ﻢﯿﻫاﻮﺧ ﺖﺷاد :

ياﺮﺑ ﺮﻫ ﻪﻠﺻﺎﻓ ﮏﯾ ﻊﺑﺎﺗ ﺖﺳد ﻪﺑ ﺪﯾآ ﯽﻣ :

66 . 0 ) 5

2

(

 f

Spline ﻪﺳ ﻪﺒﺗﺮﻣ

) Qubic Spline (

فﺪﻫ زا spline ﻪﺒﺗﺮﻣ ﻪﺳ ﺖﺳد ﻪﺑ ندروآ ﮏﯾ ﺪﻨﭼ يا ﻪﻠﻤﺟ ﻪﺒﺗﺮﻣ ﻪﺳ ياﺮﺑ ﺮﻫ ﻪﻠﺻﺎﻓ

ﻦﯿﺑ طﺎﻘﻧ ﺖﺳا .

ﻞﯿﮑﺸﺗ ﻞﺣاﺮﻣ Spline

ﻪﺳ ﻪﺒﺗﺮﻣ

 

i i i i

i

x a x b x c x d

f 

³



²

 

رد ﺖﻟﺎﺣ ﯽﻠﮐ ياﺮﺑ ﻪﻄﻘﻧ n+1

) i=0,1,2,…,n (،

ﻪﻠﺻﺎﻓ n دﻮﺟو دراد . ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ 4n

لﻮﻬﺠﻣ ﻢﯿﻫاﻮﺧ ﺖﺷاد و ﻪﺑ ﻪﻟدﺎﻌﻣ4n زﺎﯿﻧ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ .

1 - ﻊﺑاﻮﺗ ﺪﯾﺎﺑ رد طﺎﻘﻧ ﯽﻠﺧاد راﺪﻘﻣ يوﺎﺴﻣ ﻪﺘﺷاد ﺪﻨﺷﺎﺑ .

ﺮﮔا ﻪﻄﻘﻧn+1

ﻪﺘﺷاد

،ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﻄﻘﻧn-1

ﯽﻠﺧاد ﻢﯿﻫاﻮﺧ ﺖﺷاد . ياﺮﺑ ﻪﻄﻘﻧn-1

،ﯽﻠﺧاد

ﻪﻟدﺎﻌﻣ2n-2 ﻞﺻﺎﺣ دﻮﺷ ﯽﻣ .

2 - ﻊﺑاﻮﺗ لوا و ﺮﺧآ ﺪﯾﺎﺑ زا طﺎﻘﻧ يزﺮﻣ ﺪﻧرﺬﮕﺑ . 2 ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺮﮕﯾد ﻞﺻﺎﺣ دﻮﺷ ﯽﻣ .

3 - ﻖﺘﺸﻣ لوا ﻊﺑاﻮﺗ رد طﺎﻘﻧ ﯽﻠﺧاد ﺪﯾﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ ﺪﻨﺷﺎﺑ . ) ﻪﻟدﺎﻌﻣn-1 (

4 - ﻖﺘﺸﻣ مود ﻊﺑاﻮﺗ رد طﺎﻘﻧ ﯽﻠﺧاد ﺪﯾﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ ﺪﻨﺷﺎﺑ . ) ﻪﻟدﺎﻌﻣn-1 (

5 - ﻖﺘﺸﻣ مود ار رد طﺎﻘﻧ يزﺮﻣ ﺮﻔﺻ راﺮﻗ ﻢﯿﻫد ﯽﻣ . ) 2 ﻪﻟدﺎﻌﻣ (