偏微分係数・接平面・勾配ベクトル

(1)

偏微分係数・接平面・勾配ベクトル

(2)

内容

平面の方程式偏微分係数接平面

勾配ベクトル・曲線の接線

(3)

平面の方程式

法線

^ベクトル

が中

の

轟䨩

、

定新

^・

裴

① ^P_。

が

② 相異なる

3点

に

(4)

平面の方程式

点を通り~(6=~)に垂直な平面↵を考えます．↵の任意の点に対して

~ · !

=

が成立します．の座標が( , , )_{，の座標が}( , , )

~ = 0

@ 1

A _{であるとき} != 0

@

1 A

であるので，上の条件は座標を用いると

( ) + ( ) + ( ) =

でも煮

> 表わされる

かな、Zの lこと

も

^じ

(5)

~のことを平面の法線ベクトルと呼びます．

○

「

灤

y

に0

..

1 % )

-

平面

が

₁₁ _x-

y平面平面I 2 ^つくな平面_、

(6)

具体例

+ =

について考えます．通る点を具体的に求めます．

切片切片切片 ( , , )_{を通ることから}

+ =

) + · =

( ) + =

すなわち ⇣ ⌘

·⇣ ⌘

=

12、0,0⁾^を通り ^シ^し^た

湶

^べ^うい

~ ^ー

い

• y⁼^Z⁼ ⁰

• k⁼ Z ⁼ ^o •

•

• _C₁ x= y⁼^o

p

^•

,1_,1) ^と _-2_t₌ ₂

-

←

た

が

^こら Z

Do of

^" ^←

(7)

=

= の場合~は平面に平行になり，平面↵は平面に垂直になります．

= ) ~ k 平面, ↵? 平面

II ! な

^{一面}

で

(8)

よも平面

藜親職蘂で

爺「

が糕

一、、

(9)

も、

^Z ⁼

えっいう y

^-1

や _xt

y

^- ²^Z ⁼ ²

→ 側

※ 、橤=嚚y =0 2- や洙Z = -Z2=にo

(10)

偏微分係数

(11)

2

変数内数

ca.gja.ae?D'=nlnZ=J

^は^、

y )

^まで

は

^t

臙 i. 給が潦た

^、

粘悊家で ca.es は i

^た

が幾

_ な巒 noss.si

(12)

上の関数

: !

が定義されているとします．

( , )2 に対しての関数 ( ) := ( , )

を = の近くで定義できます．さらにの関数

( ) := ( , )

を = の近くで定義することができます．

に左を石^で

定数

-D 仔り

と ^U、上半

鈊

鯲

平面

呿にご

^が

勰

-

ニ、愛が

C9. y )

(13)

この状況で，定義の中の極限が存在すれば，とに関する偏微分係数を ( , ) := ⁰( ) = lim

!

( , ) ( , )

( , ) := ⁰( ) = lim

!

( , ) ( , ) と定義できます．

が

「

璺

竺鼹

。。

だ駒塋の・

(14)

偏微分（幾何的な意味は）

変数関数

= ( , ) に対しての関数

( ) := ( , )

を考えて，( , )_{におけるに関する} 偏微分係数

( , ) = ⁰( )

を定義します． ^y⁼^b

グラフ

で鵼ば尊厳

化をきた₍a)

-

Jiii

(15)

上の関数

( , ) = + +

について考えます．( , )2 の周りで考えるとして

( ) := ( , ) = + + , ( ) := ( , ) = + +

と定義します．このとき

0( ) = + , ⁰( ) = +

から

( , ) = + , ( , ) = +

を得ます．

(か)^に ^いく^.

t t

yep_ti.it

then

○

^だ ^いい^」_y^。^で微分

ree ^~ ^{i n}

Han de

⁾こ

ない、y)⁼ 3 が₊₂

ji な

^です)⁼ ⁰⁺ ²^で²_y

t o +3 y^て^-_-^、

(16)

接平面

→

でし

たが

いい

^ばい

)

i o でよく

竽となる thy .mg

T.ca

^、^いい^t ^J

が

、い oy^、

/

接

^平面^の

方程式 ( 別

^で^は^平面

(17)

関数 ( , )のグラフ

= ( , )

の( , , ( , ))_{における接平面を求め} ます．そのために

= ( ) + ( ) + ( , ) の係数を求めます．

y=b

a.

ない将も稼い

s が

^、

鼠

○

c ^r re

p ⁽^x^-^a)+8⁽y^- est r (Z^-

jca.es

) ⁼ ^O

z ⁼ ^一

も

^cx^- ^a⁾^一

年

^はーい⁺ JC⁹^は₎

(18)

接平面と切断面 = との交わりは，切断面の上では = ( ) の = における接線となります．さらにに = を代入して切断面 = 上に制限すると

= ( ) + ( , )

となります．これからこの直線の傾きがであることが分かり，

= ⁰( ) = ( , ) であることが分かります．同様に

= ( , ) となりますから，結局，接平面は方程式

= ( , )( ) + ( , )( ) + ( , ) で表されます．

で

、灬

※

(19)

鼠鱥

^・

△

きた忿

^,

g

に

と近くは

(20)

例

関数

= ( , ) =

を( , ) = ( , ) = ( , )の周りで考えます．関数の偏導関数は ( , ) = , ( , ) =

となりますから，偏微分係数は

( , ) = . , ( , ) =

と計算されます．従って( , ) = ( , )_{における接平面は}

= . ( ) + ( ) + . ⇥

であることが分かります．

よい^。⁴^t

1,54

^{t 1} ⁾ ^も ^?

625=54

t.at

^が

高階型だ

んでこる^。 ¹0¹ 5 ⁼ [S ^. 5³ ⁼ 8

5¹⁰⁴_,5⁴ ) ⁼ 4 ^. ¹

8

. 5

(21)

接平面

勾配ベクトル・曲線の接線

錢 ※ たき

つに_t

y^て^-1=0

( なし )

^-

G

⁼ ô ^→ â^いい^-êster^cyst⁾⁼ ô

ない

dtf^て

(22)

曲線の接線

曲線が変数関数を用いて

( , ) = と与えられているとします．例えば単位円は

( , ) := + =

と表されます．上の点 ( , )が与えられているときに，の ( , ) における接線を求めます．

「 Xiii

+0

、 ^Cat⁾ ^この

方

^{終式} ^は ^?

(23)

曲線の接線次元的には

曲面

= ( , ) の接平面を( , , )で考えると

= ( , )·( ) + ( , )·( ) となります．

接平面と平面の交わりは座標では

( , )·( ) + ( , )·( ) = となります．これは接線の方程式となります．

「ハー

蠶 : : :

1 1

など剝

^・

1 など )

^o

い

(24)

方程式は内積を用いて

✓ ( , ) ( , )

◆

·

✓ ◆

=

と表されます．

これからベクトル

r( )( , ) :=

✓ ( , ) ( , )

◆

が接線に垂直であることが分かります．r( )( , ) _{をの}( , )_における勾配ベクトル（）と呼びます．

鮎襷

\ ₌

grad Cgi^{( 9}^.^t)

(25)

その向きは？

高

低

勾配ベクトルはが大きくなる方向に向いています．登っていくときに最もきつい方向です．

涼

(26)

YY.it

^、

信となり

韱擿、 :

(27)

例

単位円 ( , ) := + = について考えます．の偏導関数は

= , =

ですから，したがって単位円上の点( , )_の接線は

( ) + ( ) =

となります．

iii. 驅、 P

(28)

陰関数の微分

曲線が( , )の近くで ='( )と表されていて， ( , )6= が成立するとします．このとき( , )における接線は

= ( , )

( , )( ) + となりますから，接線の傾きを考えて

'⁰( ) = ( , ) ( , )

であることが分かります．例えば曲線（単位円） ( , ) = + = を > _を満たす( , )で考えると，曲線は直接的には

='( ) =p と表されますが，

'⁰( ) = = が成立することが分かります．

まさば楽では安

。

見

「

○ 南

^の

昏

_き

gca

₎

← y⁼

FT

8x⁼ 2^で

gy

⁼²y

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