PDF 式の両辺の log 対数微分法の説明の前に、解説すべきことがあり

対数微分法

式の両辺の

log

をとって微分する方法です。

対数微分法の説明の前に、解説すべきことがあり ます。

対数微分法 それは

(log | y | )

^′

= y

^′

y

^{の解説です。}

以前習った

(log | x | )

^′

= 1 x

と比較して、不思 議に感じる人も居るかもしれません。

どの文字について微分するのかが問題だ！

単に ^′ とかいた場合は

x

で微分するの意味なので

(log | x | )

^{′ と}

(log | y | )

^{′ は意味が違います。}

何で微分するのかをハッキリさせたいときは

d dx

や

d

dy

といった書き方をします。だからこうなり

(log | y | )

^{′ を計算するとこうなる}

(log | y | )

^′

= log | y |

^を

x

^で微分

= d

dy log | y | · dy dx

=

log |y| ^を

y ^で微分

·

y ^を x ^で 微分

= 1

y · y

^′

= y

^′

y

一旦 停止

公式

(log | y | )

^′

= y

^′

y

(log | x | )

^′

= 1 x

との違いに注意してください。

計算例

(log | 2x − 5 | )

^′

= (log | y | )

^{′ y= 2x}−5 ^とおく

= y

^′

y

^{さっき説明した}

= 2

2x − 5

^y

′= 2 ^だから

つまり合成関数の微分をしていることになります。

対数微分法

それでは本題の対数微分法を説明します。

log

^の学 習で習った公式を使うので、復習しましょう。

log

^●★

= ★ log

^●

log

^●

▲ = log ●− log ▲

log

^●■

= log

^●

+ log ■

y =

^x(x_x−⁻₂^{1)2 を微分せよ}

| y | =

^x(x_x−⁻₂¹⁾²

=

^|x|·|_|x^x₋⁻₂¹_|^{|2 なので、両辺の自然対} 数をとると

log | y | = log

^|x|·|_|x^x₋⁻₂¹_|^|2

y =

^x(x_x−⁻₂^{1)2 を微分せよ}

log●^★=★log● log^●

▲= log●−log▲ log●■= log●+ log■

log|y| = log ^|x|·|_|x^x₋⁻₂¹_|^|2

log|y| = log |x|·|x−1|² −log |x−2| log|y| = log|x|+ log |x−1|² −log |x−2| log|y| = log|x|+ 2 log |x−1|−log |x−2| 両辺をそれぞれ x ^{で微分して}

y =

^x(x_x−⁻₂^{1)2 を微分せよ}

(log |y|)^′ = (log|x|+ 2 log |x−1|−log|x−2|)^′

(log |y|)^′ = (log|x|)^′+ (2 log|x−1|)^′−(log|x−2|)^′ (log |y|)^′ = (log|x|)^′+ 2(log|x−1|)^′−(log |x−2|)^′

y^′

y = 1

x + 2 · 1

x−1 − 1 x−2 y^′

y = 1

x + 2

x−1 − 1 x−2

y =

^x(x_x−⁻₂^{1)2 を微分せよ}

y^′

y = 1

x + 2

x−1 − 1 x−2 y^′

y = (x−1)(x−2) + 2x(x−2)−x(x−1) x(x−1)(x−2)

y^′

y = x²−3x+ 2 + 2x²−4x − x²+x x(x−1)(x−2)

y^′

= 2x²−6x+ 2

− −

y =

^x(x_x−⁻₂^{1)2 を微分せよ}

y^′

y = 2x²−6x+ 2 x(x−1)(x−2) y^′

y = 2(x²−3x+ 1) x(x−1)(x−2) y^′

y ×y = y× 2(x²−3x+ 1) x(x−1)(x−2) y^′ = x(x−1)²

x−2 · 2(x²−3x+ 1) x(x−1)(x−2)

y =

^x(x_x−⁻₂^{1)2 を微分せよ}

y^′ = x(x−1)²

x−2 · 2(x²−3x+ 1) x(x−1)(x−2)

y^′ = 2(x−1)(x²−3x+ 1) (x−2)²

あぁ疲れた