2. 合成函数の微分

§ 2. ^{合成函数の微分}

以下f(x, y)は必要な回数だけ微分できる（十分なめらかである）とする．

x, yがtの微分可能な函数x=x(t)，y=y(t)であるとき，合成して得られるtの函

数t 7!f x(t), y(t) をtで微分することを考えよう．公式は次の定理の通り．

定理 2.1. d

dt f x(t), y(t) =fx x(t), y(t) x⁰(t) +fy x(t), y(t) y⁰(t)．

解説. fの第1変数も第2変数もtの函数になるので，それぞれについて，合成函 数の微分をして足し合わせる．

•3変数だと

d

dt f x(t), y(t), z(t) =fx x(t), y(t), z(t) x⁰(t) +fy x(t), y(t), z(t) y⁰(t) +f_z x(t), y(t), z(t) z⁰(t).

•n変数だと（右辺ではf の中のx_k(t)を単にx_kと書くことにする）

d

dt f x1(t), x2(t), . . . , xn(t)

=fx1(x1, x2, . . . , xn)x⁰₁(t) +fx2(x1, x2, . . . , xn)x⁰₂(t) +· · ·+fxn(x1, x2, . . . , xn)x⁰_n(t).

例題 2.2. f(x, y) =x^y，x(t) =t²，y(t) =t³のとき，tの函数f(x(t), y(t))を微分 する．

解. 第１の方法： fx =yx^{y 1}，fy =x^ylogx．そしてx⁰(t) = 2t，y⁰(t) = 3t²であ るから

d

dt f(x(t), y(t)) =fx(x(t), y(t))x⁰(t) +fy(x(t), y(t))y⁰(t)

=y(t)x(t)^{y(t) 1}·2t+x(t)^y(t)(logx(t))·3t²

= 2t⁴·t^{2(t3 1)}+t^2t3 ·6t²logt= 2(1 + 3 logt)t^2t3+2. 第２の方法： 具体的な函数の場合は，合成した函数を直接微分するのも良い．

g(t) :=f(x(t), y(t))とおくと，g(t) = t^2t3 =e^2t3logt．ゆえに

g⁰(t) =e^2t3logt(6t²logt+ 2t²) = 2(1 + 3 logt)t^2t3+2. もちろん対数微分法も悪くない： logg(t) = 2t³logtより

g⁰(t)

g(t) = 6t²logt+ 2t² = 2t²(3 logt+ 1).

ゆえにg⁰(t) = g(t)·2t²(3 logt+ 1) =t^2t3+2(3 logt+ 1)． ⇤

1

今度は，x, yが2変数u, vの函数の場合を考えよう．x =x(u, v)，y = y(u, v)とし て，u, vの函数f(x(u, v), y(u, v))をu, vで偏微分することを考える．

定理 2.3 (連鎖律(chain rule)). g(u, v) :=f x(u, v), y(u, v) とおくとき，

g_u(u, v) =f_x x(u, v), y(u, v) x_u(u, v) +f_y x(u, v), y(u, v) y_u(u, v), gv(u, v) =fx x(u, v), y(u, v) xv(u, v) +fy x(u, v), y(u, v) yv(u, v).

解説. uに関して偏微分するというのは，もう一つの変数vを定数と見るのである から，定理2.1と何も変わりはしない．

•公式をベクトルと行列を使って書き表そう：

(g_u, g_v) = (f_x, f_y)

✓x_u x_v yu yv

◆

• n変数の場合，ベクトルで書くことにして，x = (x1, . . . , xn)，u = (u1, . . . , un)， g(u) :=f(x(u))とおくと

guj(u) = Xn

k=1

fxk(x(u))@xk

@u_j (u) (j = 1,2, . . . , n).

例題 2.4. g(u, v) = u^v，u(x, y) = x+ 2y，v(x, y) = sin(xy)のとき，f(x, y) :=

g(u(x, y), v(x, y))について，fx，fyを求める．

解. 第１の方法： f_x =g_uu_x+g_vv_x，f_y =g_uu_y+g_vv_yであり，

gu =vu^{v 1}, gv =u^vlogu, ux = 1, uy = 2, vx=ycos(xy), vy =xcos(xy) であるから

fx =vu^{v 1} + (u^vlogu)·ycos(xy) = · · · , f_y = 2vu^{v 1}+ (u^vlogu)·xcos(xy) =· · · . 第２の方法： 具体的な函数なので，直接計算も悪くない．

f(x, y) = (x+ 2y)^sin(xy)よりlogf = sin(xy)·log(x+ 2y)となるから fx

f =ycos(xy)·log(x+ 2y) + sin(xy) x+ 2y , fy

f =xcos(xy)·log(x+ 2y) + 2 sin(xy) x+ 2y これより，fx =f ·

✓

ycos(xy)·log(x+ 2y) + sin(xy) x+ 2y

◆

，fy =· · ·． ⇤

注意 2.5. 定理2.1や定理2.3は一般論において意味があるのであって，具体的な 函数では合成函数を計算してから微分する方が楽なことが多い．

2

例 2.6. z = f(x, y)，x = rcos✓，y = rsin✓ とする．g(r,✓) := f(rcos✓, rsin✓) について： (1) (fx)²+ (fy)² = (gr)²+ 1

r² (g✓)²． 証明. 連鎖律を使うと

1

(gr =fxxr+fyyr =fxcos✓+fysin✓,

g✓ =fxx✓+fyy✓ =fx·( rsin✓) +fy ·(rcos✓).

ゆえに

(gr)²+ 1

r² g_✓² = (fxcos✓+fysin✓)²+ ( fxsin✓+fycos✓)² =f_x²+f_y². この例において，(fx)² + (fy)²を（結果を知らないで）書き直すということで計算 をしてみよう（実際の場面で数学を使うときはこのような状況の方が多いと思う）．

1 を書き直すと

(gr, g✓) = (fx, fy)

✓cos✓ rsin✓ sin✓ rcos✓

◆

であるから

(f_x, f_y) = (g_r, g_✓)

✓cos✓ rsin✓ sin✓ rcos✓

◆ 1

= (g_r, g_✓)

✓ cos✓ sin✓

1

r sin✓ ¹_r cos✓

◆ . ゆえに

f_x =g_rcos✓ 1

rg_✓sin✓, f_y =g_rsin✓+ 1

rg_✓cos✓.

これより(fx)²+ (fy)² = (gr)²+ 1

r² (g✓)² が出る．

(2) fxx+fyy =grr+ 1

rgr+ 1 r² g✓✓． 証明. 連鎖律より

grr = @

@r(fxcos✓+fysin✓)

= (fxxxr+fxyyr) cos✓+ (fyxxr+fyyyr) sin✓

= (fxxcos✓+fxysin✓) cos✓+ (fyxcos✓+fyysin✓) sin✓

=fxxcos²✓+ 2fxycos✓sin✓+fyysin²✓.

同様に g✓✓ = @

@✓ ( rfxsin✓+rfycos✓)

= r(fxxx✓+fxyy✓) sin✓ rfxcos✓+r(fyxx✓+fyyy✓) cos✓ rfysin✓

=r²fxxsin²✓ 2r²fxycos✓sin✓+r²fyycos²✓ rgr. ゆえに

grr+ 1

rgr+ 1

r² g✓✓ = (fxx+fyy)(cos²✓+ sin²✓) = fxx+fyy.

3

注意 2.7. 合成函数の微分に関連して，記号について改めて注意をしておきたい．

次の4個の函数は同じであろうか．

(1) d

dx f(x²) , (2) df

dx(x²), (3)f⁰(x²), (4) f(x²)⁰ (1)はx 7! f(x²)という函数を微分したもの，(2)はf の導函数 df

dx のx²における 値，(3)はfの導函数f⁰のx²における値で(2)と同じ，(4)は(1)と同じである．実 際f(x) = sinxを考えてみると，f(x²) = sin(x²)，f⁰(x) = cosxであるから，

d

dx f(x²) = f(x²)⁰ = 2xcos(x²), df

dx(x²) =f⁰(x²) = cos(x²) となって，結果は違うものになっている．

 2変数函数f(x, y)になっても事情は同じである．x, yを固定して，tの函数g(t) :=

f(tx, ty)を考え，tで微分してみよう．

g⁰(t) =fx(tx, ty)x+fy(te, ty)y. · · · ² 一々gという函数を導入するのも面倒なので，2 を

d

dt f(tx, ty) =xfx(tx, ty) +yfy(tx, ty) と書く．さらに左辺の括弧もはずして， d

dtf(tx, ty) = xfx(tx, ty) +yfy(tx, ty)と書 く．左辺においては df

dt (tx, ty)ではありえないことに注意すること¹．また右辺にお

いては，fx(tx, ty)はfのxに関する偏導函数fxの(tx, ty)における値であることに も注意．fy(tx, ty)も同様である．

 函数というのはあくまでも対応の規則のことをいうのであり，f(x, y)と書いてしまった ら，あくまでも函数f ^の点(x, y)における値を意味する．しかし規則にがんじがらめになっ ていると窮屈であるし，一方で便利なこともあるので，昔から用いられてきた，そして高校 以来なじみのある，「函数f(x, y)」という言い方も認めているのだということを銘記してほ しい．多くの場合このようなこだわりは不要であるが，合成函数の微分のところでは，函数 と函数の値の区別を厳密にしないと混乱が生じる．

【宿題】なめらかな函数f(x, y)を考える．x(r, t) :=rcosht，y(r, t) := rsinhtのと き，g(r, t) :=f(x(r, t), y(r, t))に対して次式を示せ：

(fx)² (fy)² = (gr)² 1

r² (gt)², fxx fyy =grr+ 1

r gr 1 r² gtt.

1元の函数fを1個だけの変数tで微分（偏微分ではなくて）することは考えられない．

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