§ 6. 合成函数の微分： Laplacian に関連する計算例
例 6.1. z = f(x, y)，x = rcos✓，y = rsin✓ とする．g(r,✓) := f(rcos✓, rsin✓) について： (1) (fx)2+ (fy)2 = (gr)2+ 1
r2 (g✓)2． 証明. 連鎖律を使うと
(⇤)
(gr=fxxr+fyyr=fxcos✓+fysin✓,
g✓ =fxx✓+fyy✓ =fx·( rsin✓) +fy·rcos✓.
ゆえに (gr)2+ 1
r2 (g✓)2 = (fxcos✓+fysin✓)2+ ( fxsin✓+fycos✓)2 = (fx)2+ (fy)2. この例において，(fx)2 + (fy)2を（結果を知らないで）書き直すということで計算 をしてみよう（実際の場面で数学を使うときはこのような状況の方が多いと思う）．
(⇤)を書き直すと（あとの注意6.2の(⇤⇤)を使うのもよい）
(gr, g✓) = (fx, fy)
✓cos✓ rsin✓ sin✓ rcos✓
◆
であるから
(fx, fy) = (gr, g✓)
✓cos✓ rsin✓ sin✓ rcos✓
◆ 1
= (gr, g✓)
✓ cos✓ sin✓
1
r sin✓ 1r cos✓
◆ .
ゆえに転置行列を考えると1
✓fx
fy
◆
=
✓cos✓ 1r sin✓ sin✓ 1r cos✓
◆✓gr
g✓
◆
であるから
(fx)2+ (fy)2 = (fx, fy)
✓fx
fy
◆
= (gr, g✓)
✓ cos✓ sin✓
1
r sin✓ 1r cos✓
◆✓cos✓ 1r sin✓ sin✓ 1r cos✓
◆✓gr
g✓
◆
= (gr, g✓)
✓1 0 0 r12
◆✓gr
g✓
◆
= (gr)2+ 1 r2 (g✓)2. (2) fxx+fyy =grr+ 1
rgr+ 1 r2 g✓✓． 証明. 連鎖律より
grr = @
@r(fxcos✓+fysin✓)
= (fxxxr+fxyyr) cos✓+ (fyxxr+fyyyr) sin✓
= (fxxcos✓+fxysin✓) cos✓+ (fyxcos✓+fyysin✓) sin✓
=fxxcos2✓+ 2fxycos✓sin✓+fyysin2✓.
1もちろん，fx=· · ·，fy=· · · として，(fx)2，(fy)2を計算してもよい．
1
同様に g✓✓ = @
@✓ ( rfxsin✓+rfycos✓)
= r(fxxx✓+fxyy✓) sin✓ rfxcos✓+r(fyxx✓+fyyy✓) cos✓ rfysin✓
=r2fxxsin2✓ 2r2fxycos✓sin✓+r2fyycos2✓ rgr. ゆえに
grr+ 1
rgr+ 1
r2 g✓✓ = (fxx+fyy)(cos2✓+ sin2✓) = fxx+fyy. 注意 6.2. 極座標 x = rcos✓，y = rsin✓にするとき，r = p
x2+y2 であるが，
✓= arctan y
x とするのは誤りである． ⇡
2 <arctant < ⇡
2 ( 1< t <1)として いるので．たとえばx <0かつy < 0のときを考えてみよ2．しかし，✓を微分する にあたっては，✓ = arctan y
x としておいても問題はない．
(⇤⇤) @r
@x = x
r , @r
@y = y
r , @✓
@x = y
r2 = sin✓
r , @✓
@y = x
r2 = cos✓ r . 定義 6.3. 写像f 7!fxx+fyy，すなわち微分作用素 := @2
@x2 + @2
@y2 を2次元の
ラプラシアン
Laplacianと呼ぶ．先の計算により，Laplacianの極座標表示は
@2
@r2 + 1 r
@
@r + 1 r2
@2
@✓2 · · · 1 例 6.4. 空間の極座標（次ページの図参照）：
x=rsin✓cos', y=rsin✓sin', z =rcos✓.
ただしr=0，05✓ 5⇡，05' <2⇡とする．ここでは3次元のLaplacian := @2
@x2 + @2
@y2 + @2
@z2 を考え，その極座標表示が次で与えられることを示そう．
= @2
@r2 + 2 r
@
@r + 1 r2
⇣ @2
@✓2 + 1 tan✓
@
@✓ + 1 sin2✓
@2
@'2
⌘
3変数の連鎖律を用いても計算は可能であるが，結構大変である（A4用紙2枚 位）．ここでは円柱座標を介して計算してみよう．
定義 6.5. 円柱座標とは
x=⇢cos', y=⇢sin', z =z で定義される座標系(⇢,', z)のことである．
まず変数x, yで 1 を適用すると（すなわち円柱座標での の表示は）
= @2
@⇢2 + 1
⇢
@
@⇢ + 1
⇢2
@2
@'2 + @2
@z2 · · · 2
2主値にこだわるからこういうことになる．
2
'
✓ r O
x
y z
P
⇢
O P
x y
z
'
そして円柱座標から極座標へと移ろう：
z=rcos✓, ⇢=rsin✓, '='.
変数z,⇢で 1 を適用して 2 の @2
@z2 + @2
@⇢2 の部分を書き換える：
@2
@z2 + @2
@⇢2 = @2
@r2 + 1 r
@
@r + 1 r2
@2
@✓2. 残るは 1
⇢
@
@⇢ の部分の書き換えである．連鎖律から @
@⇢ = @r
@⇢
@
@r + @✓
@⇢
@
@✓ であ り，注意6.2の(⇤⇤)より，@r
@⇢ = ⇢
r = sin✓，@✓
@⇢ = cos✓
r であるから，
1
⇢
@
@⇢ = 1 rsin✓
⇣sin✓ @
@r + cos✓ r
@
@✓
⌘= 1 r
@
@r + 1 r2
1 tan✓
@
@✓ .
以上から所要の結果を得る． ⇤
Laplacianの重要な性質として，直交変換で不変なことがある．
定義 6.6. 実n次正方行列T が直交行列()def tT T =I（n次単位行列）．
注意 6.7. dettT = detT であるから，T が直交行列ならdetT =±1である．とく にT は正則行列であって，T 1 = tT．したがってTtT =Iでもある．直交行列で表 されるRnの線型変換x7!Txを直交変換と呼ぶ．ここではxは縦ベクトル．
2次元や3次元のLaplacianと同様に，n次元のLaplacian を次で定義する：
:= @2
@x21 +· · ·+ @2
@x2n 定理 6.8. 直交行列T による直交変換u :=Txにより，
@2
@u21 +· · ·+ @2
@u2n = @2
@x21 +· · ·+ @2
@x2n.
3
証明. T = (tjk)を直交行列とする．u=Tx () x=T 1u = tTu であるから，
xj = Pn
k=1
tkjuk．連鎖律により @
@uk
= Pn
j=1
@xj
@uk
@
@xj
= Pn
j=1
tkj @
@xj
．再び連鎖律によ り， @2
@u2k = Pn
j=1
tkj
Pn i=1
@xi
@uk
@2
@xi@xj
= Pn
j=1
tkj
Pn i=1
tki @2
@xi@xj
．ゆえに Xn
k=1
@2
@u2k = Xn
k=1
Xn j=1
tkj Xn
i=1
tki @2
@xi@xj
= Xn
i=1
Xn j=1
✓Xn k=1
tkitkj
◆ @2
@xi@xj
.
ここでPn
k=1
tkitkjは行列tT T =Iの(i, j)成分に等しいから ij（Kroneckerのdelta）．
ゆえに定理の証明終わり． ⇤
例題 6.9. Van der Mondeの行列式
f(x1, . . . , xn) := det 0 BB B@
1 1 · · · 1
x1 x2 · · · xn
... ... . .. ... xn1 1 xn2 1 · · · xnn 1
1 CC CA
は f = 0をみたす（実はf(x) = ( 1)n(n 1)/2D．ただしD:= Q
i<j
(xi xj)）．
解. まず行列式を第j列で展開するとf(x) = Pn
i=1
xij 1 ij （ ij は第(i, j)余因子）．
ij はxjを含まないことに注意すれば，@2f
@x2j = Pn
i=1
(i 1)(i 2)xij 3 ij． ) f(x) =
Pn i=1
(i 1)(i 2)
eeeeeeeeeeee Pn
j=1
xij 3 ij = 0.
波下線部は第i行をxi1 3, . . . , xin 3で置き換えたf(x)の第i行での展開であることに
注意． ⇤
注意 6.10. 代数学における定理（交代式は必ずDで割れる）を使って，実はほと
んど何も計算せずにこの例題が示せる（座標の置換は直交変換であるので， Dは Dよりも真に次数の低い交代式となって，0とならざるを得ない）．
【宿題】なめらかな函数f(x, y)を考える．x(r, t) :=rcosht，y(r, t) := rsinhtのと き，g(r, t) :=f(x(r, t), y(r, t))に対して次式を示せ：
(fx)2 (fy)2 = (gr)2 1
r2 (gt)2, fxx fyy =grr+ 1
r gr 1 r2 gtt.
4
